【数学】2019届一轮复习北师大版2-5 指数与指数函数学案
§2.5 指数与指数函数
最新考纲
考情考向分析
1.了解指数函数模型的实际背景．
2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象．
4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.
1．分数指数幂
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0
0时，y>1；当x<0时，00时，01
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
知识拓展
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝()n＝a(n∈N*)．( × )
(2)分数指数幂可以理解为个a相乘．( × )
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( √ )
(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.( × )
(5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．( √ )
题组二 教材改编
2．[P59A组T4]化简(x＜0，y＜0)＝________.
答案 －2x2y
3．[P56例6]若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________.
答案
解析 由题意知＝a2，所以a＝，
所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.
4．[P59A组T7]已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
答案 c>0，
即a>b>1，
又c＝<0＝1，
∴c0)的值是________．
答案
解析 ＝＝＝.
2．计算：＋－10(－2)－1＋π0＝________.
答案 －
解析 原式＝－2＋－＋1，
＝＋10－10－20＋1＝－.
3．(2017·兰州模拟)化简：＝________.( a>0)
答案 a2
解析 原式＝
＝＝a2.
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
题型二 指数函数的图象及应用
典例 (1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
答案 A
解析 f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)≤0.符合条件的图象只有A.
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
答案 [－1,1]
解析 曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知，如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
跟踪训练 (1)已知实数a，b满足等式2 018a＝2 019b，下列五个关系式：
①0－3.又a<0，∴－30)，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增，
所以函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．
命题点3 指数函数性质的综合应用
典例 已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝，
令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.
则u在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝u在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是
(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.
思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练 (1)已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．[－3,0)
C．[－3，－1] D．{－3}
答案 B
解析 当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，
当a≤x＜0时，f(x)∈，
∴[－8,1]，
即－8≤－＜－1，即－3≤a＜0，
∴实数a的取值范围是[－3,0)．
(2)(2017·江淮十校第三次联考)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)＞f(cx) D．与x有关，不确定
答案 A
解析 ∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)关于x＝1对称，
易知b＝2，c＝3，
当x＝0时，b0＝c0＝1，∴f(bx)＝f(cx)，
当x＞0时，3x＞2x＞1，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(bx)0，a≠1)在区间上有最大值3，最小值， 试求a，b的值．
错解展示：
现场纠错
解 令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵x∈，∴t∈[－1,0]．
①若a>1，函数f(t)＝at在[－1,0]上为增函数，
∴at∈，b＋a∈，
依题意得解得
②若01，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．01，∴a0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 B
解析 由f(1)＝得a2＝，
所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.
7．已知函数f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是__________．
答案 (0,1)
解析 因为f(x)＝a－x＝x，且f(－2)>f(－3)，
所以函数f(x)在定义域上单调递增，
所以>1，解得0x＋4的解集为________．
答案 (－1,4)
解析 原不等式等价为>2－x－4，
又函数y＝2x为增函数，∴－x2＋2x>－x－4，
即x2－3x－4<0，∴－10且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
答案
解析 (数形结合法)
当01时，解得01矛盾．
综上，a的取值范围是.
10．当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是____________．
答案 ∪(1，)
解析 当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，
若a>1，y＝ax是增函数，则有a2<2，可得－或a<－，故有0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，
所以
所以a2＝4，又a＞0，所以a＝2，b＝3.
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则x∈(－∞，1]时，x＋x－m≥0恒成立，
即m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝x与y＝x均为减函数，所以y＝x＋x也是减函数，所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值.所以m≤.即m的取值范围是.
13．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时，f(x)＝－＋，则此函数的值域为________．
答案
解析 设t＝，当x≥0时，2x≥1，∴00，∴x＝1.
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，
∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)恒成立，
∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．
