2018《单元滚动检测卷》高考数学（理）（苏教版）精练检测九 平面解析几何

2018《单元滚动检测卷》高考数学（理）（苏教版）精练检测九 平面解析几何

单元滚动检测九　平面解析几何 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．‎ ‎2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．‎ ‎3．本次考试时间120分钟，满分160分．‎ ‎4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．‎ 第Ⅰ卷 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)‎ ‎1．(2016·泰州模拟)若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为________．‎ ‎2．(2016·镇江、常州联考)若在平面直角坐标系内过点P(1，)且与原点的距离为d的直线有两条，则d的取值范围为__________．‎ ‎3．(2016·烟台调研)圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为________．‎ ‎4．(2016·福州质检)直线y＝x与椭圆C：＋＝1(a>b>0)的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为__________．‎ ‎5．(2016·兰州诊断考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为F1F2，则椭圆C的离心率e＝________.‎ ‎6．(2016·无锡模拟)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线－＝1的渐近线的距离为________．‎ ‎7．(2016·山西四校联考)已知双曲线－＝1(b>0)，过其右焦点F作圆x2＋y2＝9的两条切线，切点记作C，D，双曲线的右顶点为E，∠CED＝150°，则双曲线的离心率为________．‎ ‎8．我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设F1，F2是“优美椭圆”C：‎ ＋＝1(a>b>0)的两个焦点，则椭圆C上满足∠F1PF2＝90°的点P的个数为____________．‎ ‎9．(2016·泰州模拟)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足为PF1∶F1F2∶PF2＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于____________．‎ ‎10．(2016·深圳调研)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为______________．‎ ‎11．(2016·长春质检)若F(c,0)是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为，则该双曲线的离心率e＝______.‎ ‎12．(2016·郑州质检)已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(6，)，则PA＋PM的最小值是________．‎ ‎13．(2016·湖南六校联考)已知A，B分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当＋＋＋ln|m|＋ln|n|取最小值时，椭圆C的离心率为________．‎ ‎14．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是__________．第Ⅱ卷 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(14分)已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线l：x－2y＝0上．‎ ‎(1)求此椭圆的离心率；‎ ‎(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2＋y2＝4上，求此椭圆的方程.‎ ‎16.(14分)(2016·苏州模拟)已知动点P到定点F(1,0)和到直线x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx＋n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点(与A，B不重合)．‎ ‎(1)求曲线E的方程；‎ ‎(2)当直线l与圆x2＋y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值．若有，求出其最大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由.‎ ‎17.(14分)(2016·四川高中名校联盟测试)如图，已知F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过点F2的直线l与椭圆E交于A，B两点，直线l，AF1，BF1的斜率分别为k，k1，k2，且满足k1k2＋k2＝0(k≠0)．‎ ‎(1)若a＝2，b＝，求直线l的方程；　(2)若k＝，求的值.‎ ‎18.(16分)(2016·扬州模拟)已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F(，0)，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C上异于A，B的动点，且△ADB面积的最大值为12.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求证：当点P(x0，y0)在椭圆C上运动时，直线l：x0x＋y0y＝2与圆O：x2＋y2＝1恒有两个交点，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．‎ ‎19.(16分)如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连结而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程.‎ ‎20.(16分)已知椭圆C的中心在原点O，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝，且经过点 A(1，)．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)已知P，Q是椭圆C上的两点．‎ ‎(ⅰ)若OP⊥OQ，求证：＋为定值；‎ ‎(ⅱ)当＋为(ⅰ)中所求定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由.‎ 答案解析 ‎1. 解析　由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝.‎ ‎2．0b>0)在第一象限的交点为A，依题意有点A的坐标为(c，c)，又点A在椭圆C上，故有＋＝1，因为b2＝a2－c2，所以＋＝1，‎ 所以c4－3a2c2＋a4＝0，即e4－3e2＋1＝0，解得e2＝，‎ 又因为C是椭圆，所以032.‎ 综合①②知(y＋y)min＝32.‎ ‎15．解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由 得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝，y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2＝，‎ ‎∴线段AB的中点坐标为(，)．‎ ‎∵线段AB的中点在直线l上，‎ ‎∴－＝0，‎ ‎∴a2＝2b2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，‎ ‎∴椭圆的离心率e＝＝.‎ ‎(2)由(1)知b＝c，从而椭圆的右焦点F的坐标为(b,0)，‎ 设点F(b,0)关于直线l：x－2y＝0的对称点的坐标为(x0，y0)，‎ 则·＝－1且－2·＝0，‎ ‎∴x0＝b，y0＝b.‎ 由已知得x＋y＝4，∴(b)2＋(b)2＝4，‎ ‎∴b2＝4，又由(1)知a2＝2b2＝8，‎ ‎∴椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎16．解　(1)设点P(x，y)，由题意可得＝，‎ 整理可得＋y2＝1.曲线E的方程是＋y2＝1.‎ ‎(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由已知可得AB＝.‎ 当m＝0时，不合题意；‎ 当m≠0时，由直线l与圆x2＋y2＝1相切，‎ 可得＝1，即m2＋1＝n2.‎ 联立 消去y，得(m2＋)x2＋2mnx＋n2－1＝0，‎ Δ＝4m2n2－4(m2＋)(n2－1)＝2m2>0，‎ x1＝，x2＝，‎ S四边形ACBD＝AB·|x2－x1|＝＝≤，‎ 当且仅当2|m|＝，即m＝±时等号成立，此时n＝±，‎ 经检验可知，直线y＝x－和直线y＝－x＋符合题意．‎ ‎17．解　(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，‎ ‎∴直线l的方程为y＝k(x－c)，将其代入＋＝1，‎ 整理得(b2＋a2k2)x2－2a2k2cx＋a2k2c2－a2b2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，‎ 而k1＝＝，k2＝，‎ 由已知k1k2＋k2＝0且k≠0，‎ 得＋k2＝0，‎ 则(x1－c)(x2－c)＋(x1＋c)(x2＋c)＝0，‎ 即x1x2＋c2＝0⇔＋c2＝0‎ ‎⇔|k|ac＝a2－c2⇔|k|＝－e.‎ ‎∵a＝2，b＝，∴c＝1，即有e＝＝，‎ ‎∴k＝±，则直线l的方程为3x－4y－3＝0或3x＋4y－3＝0.‎ ‎(2)若k＝，则由(1)知|k|＝－e，∴e＝.‎ ‎∵AB＝|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝，‎ 由椭圆定义可知AF1＋BF1＋AB＝4a，‎ ‎∴＝－1‎ ‎＝－1＝－1＝－1‎ ‎＝(＋4)－1＝(＋4)－1＝，‎ 即＝.‎ ‎18．解　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 由已知可得(S△ADB)max＝·2a·b＝ab＝12，①‎ ‎∵F(，0)为椭圆右焦点，∴a2＝b2＋7，②‎ 由①②可得a＝4，b＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)∵P(x0，y0)是椭圆上的动点，∴＋＝1，‎ ‎∴y＝9－，‎ ‎∴圆心O到直线l：x0x＋y0y＝2的距离 d＝＝＝<1(0≤x≤16)，‎ ‎∴直线l：x0x＋y0y＝2与圆O：x2＋y2＝1恒有两个交点．‎ L＝2＝2(r为圆x2＋y2＝1的半径)，‎ ‎∵0≤x≤16，∴9≤x＋9≤16，∴≤L≤.‎ ‎19．解　(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，‎ 且A(－1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左右顶点．‎ 设C1的半焦距为c，‎ 由＝及a2－c2＝b2＝1，得a＝2，‎ ‎∴a＝2，b＝1.‎ ‎(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．‎ 易知，直线l与x轴不重合也不垂直，‎ 设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，整理得 ‎(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)‎ 设点P的坐标为(xp，yp)，‎ ‎∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．‎ 由求根公式，得xp＝，从而yp＝，‎ ‎∴点P的坐标为(，)．‎ 同理，由 得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．‎ ‎∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．‎ ‎∵AP⊥AQ，∴·＝0，即[k－4(k＋2)]＝0.‎ ‎∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.‎ 经检验，k＝－符合题意．‎ 故直线l的方程为8x＋3y－8＝0.‎ ‎20．解　(1)由题意，设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 将点A(1，)代入，得＋＝1，‎ 结合离心率e＝＝，a2－b2＝c2，解得a＝2，b＝，‎ 故椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)(ⅰ)①若P，Q分别为椭圆长轴和短轴的端点，则＋＝；‎ ‎②若P，Q都不为椭圆长轴和短轴的端点，‎ 设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则OP：y＝kx，OQ：y＝－x，‎ 由解得x＝，y＝，‎ 由解得x＝，y＝，‎ ‎∴＋＝＋＝＝.‎ 综合①②可知，＋为定值.‎ ‎(ⅱ)对于椭圆C上的任意两点P，Q，当＋＝时，‎ 不妨设OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，‎ 易得x＝，y＝，x＝，y＝，‎ 由＋＝，得＋＝，‎ 即8kk＋7k＋7k＋6＝7(kk＋k＋k＋1)，亦即k1k2＝±1.‎ 当＋为定值时，OP⊥OQ不一定成立．‎