2018届高三数学（理）一轮复习函数方程与应用考点专练
板块命题点专练（三）
命题点一 基本初等函数(Ⅰ)
命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题
1.(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y＝10lg x的定义域和值域相
同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝ 1
x
解析：选 D 函数 y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数 y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数 y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
函数 y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
函数 y＝ 1
x
的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选 D.
2．(2016·全国丙卷)已知 a＝24
3
，b＝42
5
，c＝251
3
，则( )
A．b
1 时，函数 f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数 g(x)＝logax 单调递增，且
过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知 C错；当 00)单调递增，函
数 g(x)＝logax单调递减，且过点(1,0)，排除 A，又由幂函数的图象性质可知 B错，因此选
D.
5．(2015·山东高考)若函数 f(x)＝2x＋1
2x－a
是奇函数，则使 f(x)>3 成立的 x 的取值范围为
( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
解析：选 C 因为函数 y＝f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，即
2－x＋1
2－x－a
＝－
2x＋1
2x－a
.化简
可得 a＝1，则
2x＋1
2x－1
>3，即
2x＋1
2x－1
－3>0，即
2x＋1－32x－1
2x－1
>0，故不等式可化为
2x－2
2x－1
<0，即
1<2x<2，解得 00，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则 a
＋b＝________.
解析：当 a>1时，函数 f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得
a－1＋b＝－1，
a0＋b＝0
无解．当 00，b>0，ab＝8，则当 a的值为________时，log2a·log2(2b)
取得最大值．
解析：由于 a>0，b>0，ab＝8，所以 b＝8
a
.
所以 log2a·log2(2b)＝log2a·log2
16
a ＝log2a·(4－log2a)＝－(log2a－2)2＋4，
当且仅当 log2a＝2，即 a＝4时，log2a·log2(2b)取得最大值 4.
答案：4
命题点二 函数与方程
命题指数：☆☆☆ 难度：高、中 题型：选择题、填空题
1.(2014·湖北高考)已知 f(x) 是定义在 R上的奇函数，当 x≥0 时， f(x)＝x2－3x. 则函
数 g(x)＝f(x)－x＋3 的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－ 7，1,3} D．{－2－ 7，1,3}
解析：选 D 当 x≥0时，函数 g(x)的零点即方程 f(x)＝x－3的根，由 x2－3x＝x－3，
解得 x＝1 或 3；当 x<0时，由 f(x)是奇函数得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即 f(x)＝－x2－
3x.由 f(x)＝x－3得 x＝－2－ 7(正根舍去)．选 D.
2．(2014·北京高考)已知函数 f(x)＝6
x
－log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是
( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析：选 C 因为 f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝3
2
－log24＝－
1
2
<0，
所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选 C.
3.
2016·山东高考已知函数 fx＝
|x|，x≤m，
x2－2mx＋4m，x＞m， 其中 m＞0.若存在实数 b，
使得关于 x的方程 f(x)＝b有三个不同的根，则 m的取值范围是________．
解析：作出 f(x)的图象如图所示．当 x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x
－m)2＋4m－m2，∴要使方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则 4m－m2＜
m，即 m2－3m＞0.又 m＞0，解得 m＞3.
答案：(3，＋∞)
4．(2015·湖北高考)函数 f(x)＝2sin xsin
x＋π
2 －x2的零点个数为________．
解析：f(x)＝2sin xsin
x＋π
2 －x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，由 f(x)＝0，得 sin 2x＝
x2.
设 y1＝sin 2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象
知，两个函数图象有两个交点，故函数 f(x)有两个零点．
答案：2
命题点三 函数模型及其应用
命题指数：☆☆☆ 难度：高、中 题型：选择题、填空题
1.(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1升汽油行驶的里程，下图描述
了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗 1升汽油，乙车最多可行驶 5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以 80千米/小时的速度行驶 1小时，消耗 10升汽油
D．某城市机动车最高限速 80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
解析：选 D 根据图象知消耗 1升汽油，乙车最多行驶里程大于 5千米，故选项 A错；
以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油
最少，故选项 B错；甲车以 80千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升，行驶 1小
时，里程为 80千米，消耗 8升汽油，故选项 C错；最高限速 80千米/小时，丙车的燃油效
率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项 D对．
2．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数
关系 y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在 0℃的保鲜时间是
192小时，在 22℃的保鲜时间是 48小时，则该食品在 33℃的保鲜时间是________小时．
解析：由已知条件，得 192＝eb，∴b＝ln 192.
又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，
∴e11k＝
48
192
1
2 ＝
1
4
1
2 ＝
1
2
.
设该食品在 33℃的保鲜时间是 t小时，则 t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×
1
2 3
＝24.
答案：24
