- 2021-05-12 发布 |
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文档介绍
2018届高三数学一轮复习: 第2章 第12节 课时分层训练15
课时分层训练(十五) 导数与函数的极值、最值 A组 基础达标 (建议用时:30分钟) 一、选择题 1.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( ) A.y=x3 B.y=ln(-x) C.y=xe-x D.y=x+ D [由题可知,B,C选项中的函数不是奇函数,A选项中,函数y=x3单调递增(无极值),而D选项中的函数既为奇函数又存在极值.] 2.当函数y=x·2x取极小值时,x等于( ) 【导学号:01772089】 A. B.- C.-ln 2 D.ln 2 B [令y′=2x+x·2xln 2=0, ∴x=-. 经验证,-为函数y=x·2x的极小值点.] 3.函数f(x)=x2-ln x的最小值为( ) A. B.1 C.0 D.不存在 A [f′(x)=x-=,且x>0,令f′(x)>0,得x>1,令f′(x)<0,得0< x<1,所以f(x)在x=1处取得极小值也是最小值,且f(1)=-ln 1=.] 4.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( ) 【导学号:01772090】 A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞) C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) B [∵f′(x)=3x2+2ax+(a+6), 由已知可得f′(x)=0有两个不相等的实根, ∴Δ=4a2-4×3(a+6)>0,即a2-3a-18>0, ∴a>6或a<-3.] 5.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)图象的是( ) A B C D D [因为[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f′(x)]ex,且x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,所以f(-1)+f′(-1)=0.选项D中,f(-1)>0,f′(-1)>0,不满足f′(-1)+f(-1)=0.] 二、填空题 6.函数f(x)=x3+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是________. 【导学号:01772091】 - [f′(x)=x2+2x-3,令f′(x)=0得x=1(x=-3舍去),又f(0)=-4,f(1)=-,f(2)=-,故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)=-.] 7.设a∈R,若函数y=ex+ax有大于零的极值点,则实数a的取值范围是________. (-∞,-1) [∵y=ex+ax,∴y′=ex+a. ∵函数y=ex+ax有大于零的极值点, 则方程y′=ex+a=0有大于零的解, ∵x>0时,-ex<-1,∴a=-ex<-1.] 8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p元,销量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2,则该商品零售价定为________元时利润最大,利润的最大值为________元. 30 23 000 [设该商品的利润为y元,由题意知, y=Q(p-20)=-p3-150p2+11 700p-166 000, 则y′=-3p2-300p+11 700, 令y′=0得p=30或p=-130(舍), 当p∈(0,30)时,y′>0,当p∈(30,+∞)时,y′<0, 因此当p=30时,y有最大值,ymax=23 000.] 三、解答题 9.已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R). (1)要使f(x)在(0,2)上单调递增,试求a的取值范围; (2)当a<0时,若函数满足y极大=1,y极小=-3,试求y=f(x)的解析式. [解] (1)f′(x)=-3x2+2ax. 依题意f′(x)≥0在(0,2)上恒成立, 即2ax≥3x2.∵x>0,∴2a≥3x,∴2a≥6,∴a≥3, 即a的取值范围是[3,+∞).5分 (2)∵f′(x)=-3x2+2ax=x(-3x+2a). ∵a<0,当x∈时,f′(x)≤0,f(x)递减. 当x∈时,f′(x)>0,f(x)递增. 当x∈[0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)递减. 8分 ∴⇒ ∴f(x)=-x3-3x2+1. 12分 10.据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距18 km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km). (1)试将y表示为x的函数; (2)若a=1,且x=6时,y取得最小值,试求b的值. [解] (1)设点C受A污染源污染程度为,点C受B污染源污染程度为,其中k为比例系数,且k>0,从而点C处受污染程度y=+.5分 (2)因为a=1,所以y=+, y′=k,8分 令y′=0,得x=, 又此时x=6,解得b=8,经验证符合题意, 所以,污染源B的污染强度b的值为8.12分 B组 能力提升 (建议用时:15分钟) 1.(2017·石家庄一模)若函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象与x轴相切于一点A(m,0)(m≠0),且f(x)的极大值为,则m的值为( ) 【导学号:01772092】 A.- B.- C. D. D [由题意可得f(m)=m3+am2+bm=0,m≠0,则m2+am+b=0 ①,且f′(m)=3m2+2am+b=0 ②,①-②化简得m=-,f′(x)=3x2+2ax+b的两根为-和-,则b=,f=,解得a=-3,m=,故选D.] 2.(2016·北京高考改编)设函数f(x)=则f(x)的最大值为________. 2 [当x>0时,f(x)=-2x<0;当x≤0时,f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x +1),当x<-1时,f′(x)>0,f(x)是增函数,当-1<x<0时,f′(x)<0,f(x)是减函数,∴f(x)≤f(-1)=2,∴f(x)的最大值为2.] 3.已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16. (1)求a,b的值; (2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值. [解] (1)因为f(x)=ax3+bx+c, 故f′(x)=3ax2+b.2分 由于f(x)在点x=2处取得极值c-16, 故有即 化简得解得 5分 (2)由(1)知f(x)=x3-12x+c, f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2), 令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2. 当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 故f(x)在(-∞,-2)上为增函数; 7分 当x∈(-2,2)时,f′(x)<0, 故f(x)在(-2,2)上为减函数; 8分 当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0, 故f(x)在(2,+∞)上为增函数. 由此可知f(x)在x=-2处取得极大值, f(-2)=16+c, f(x)在x=2处取得极小值f(2)=c-16. 由题设条件知16+c=28,解得c=12. 10分 此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3, f(2)=-16+c=-4, 因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4. 12分查看更多