2018届高三数学一轮复习： 第10章 第4节 随机事件的概率

2018届高三数学一轮复习： 第10章 第4节 随机事件的概率

第四节　随机事件的概率 ‎ [考纲传真]　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．‎ ‎1．概率和频率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．‎ ‎2．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A ‎(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 A＝B 并事件(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B ‎(或A＋B)‎ 交事件(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B ‎(或AB)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅‎ 且A∪B＝Ω ‎3.概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)＝1.‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F)＝0.‎ ‎(4)互斥事件概率的加法公式．‎ ‎①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；‎ ‎②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)‎ ‎(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．(　　)‎ ‎(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)‎ ‎(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．‎ 在上述事件中，是对立事件的为(　　)‎ A．①　　　 B.②　　‎ C.③　　　 D.④‎ B　[至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生，∴②中两事件是对立事件．]‎ ‎3．(2016·天津高考)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)‎ A.　　　 B.　　‎ C.　　　 D. A　[事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”‎ 这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝.]‎ ‎4．(2017·郑州调研)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是________．‎ 　[从A，B中各取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种情况，‎ 其中和为4的有两种情况(2,2)，(3,1)，‎ 故所求事件的概率P＝＝.]‎ ‎5．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．(填序号)‎ ‎①至多有一次中靶；②两次都中靶；③只有一次中靶；④两次都不中靶 ‎④‎ 随机事件间的关系 ‎　(2017·中山模拟)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是(　　)‎ A．①　　　 B.②④　　‎ C.③　　　 D.①③‎ C　[从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数，‎ 其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．‎ 又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件．]‎ ‎[规律方法]　1.本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．‎ ‎2．准确把握互斥事件与对立事件的概念．‎ ‎(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．‎ ‎(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件有且仅有一个发生．‎ ‎[变式训练1]　口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2球至少有1个白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________. ‎ ‎【导学号：01772392】‎ ‎①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．‎ ‎①④　[当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则③不正确．显然A与D是对立事件，①正确；C∪E为必然事件，④正确．由于P(B)＝，P(C)＝，所以⑤不正确．]‎ 随机事件的频率与概率 ‎　(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出 险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保　费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险 次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；‎ ‎(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；‎ ‎(3)求续保人本年度平均保费的估计值．‎ ‎[解]　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为‎0.55.4‎分 ‎(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为‎0.3.8‎分 ‎(3)由所给数据得 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎10分 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.‎ 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.12分 ‎[规律方法]　1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．‎ ‎2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．‎ ‎[变式训练2]　(2017·西安质检)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：‎ ‎(1)在4月份任选一天，估计西安市在该天不下雨的概率；‎ ‎(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．‎ ‎[解]　(1)由4月份天气统计表知，在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，2分 以频率估计概率，在4月份任选一天，西安市不下雨的概率为＝.5分 ‎(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率f＝＝.10分 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.12分 互斥事件与对立事件的概率 ‎　某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至 ‎4件 ‎5至 ‎8件 ‎9至 ‎12件 ‎13至 ‎16件 ‎17件及 以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间 ‎(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； ‎ ‎【导学号：01772393】‎ ‎(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)．‎ ‎[解]　(1)由题意，得 解得x＝15，且y＝20.2分 该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体，100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计．‎ 又＝＝1.9，‎ ‎∴估计顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟.5分 ‎(2)设B，C分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”．设A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．”7分 将频率视为概率，得P(B)＝＝，‎ P(C)＝＝.‎ ‎∵B，C互斥，且＝B＋C，‎ ‎∴P()＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，10分 因此P(A)＝1－P()＝1－＝，‎ ‎∴一位顾客一次购物结算时间不超过2分钟的概率为‎0.7.12‎分 ‎[规律方法]　1.(1)求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．‎ ‎(2)结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误．‎ ‎2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．‎ ‎[变式训练3]　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1‎ ‎ 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：‎ ‎(1)P(A)，P(B)，P(C)；‎ ‎(2)1张奖券的中奖概率；‎ ‎(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．‎ ‎[解]　(1)P(A)＝，‎ P(B)＝＝，2分 P(C)＝＝.‎ 故事件A，B，C的概率分别为，，.5分 ‎(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.‎ ‎∵A，B，C两两互斥，‎ ‎∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)‎ ‎＝＝，8分 故1张奖券的中奖概率约为.‎ ‎(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，‎ ‎∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝，‎ 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.12分 ‎[思想与方法]‎ ‎1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．‎ ‎2．对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生．‎ ‎3．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：‎ ‎(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．‎ ‎(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．‎ ‎2．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是特殊的互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．‎ ‎3．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．‎