2018届高三数学一轮复习： 第8章 第8节 曲线与方程

2018届高三数学一轮复习： 第8章 第8节 曲线与方程

第八节　曲线与方程 ‎ [考纲传真]　1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．‎ ‎1．曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：‎ ‎(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．‎ ‎(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．‎ 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．‎ ‎2．求动点轨迹方程的一般步骤 ‎(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．‎ ‎(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．‎ ‎(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.‎ ‎(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．‎ ‎(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．‎ ‎3．两曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解．‎ 若此方程组无解，则两曲线无交点．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　　)‎ ‎(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　　)‎ ‎(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　　)‎ ‎(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　　)‎ ‎[解析]　由曲线与方程的定义，知(2)，(3)，(4)不正确，只有(1)正确．‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)‎ A．双曲线　　　　　　 B.椭圆 C．圆 D.抛物线 D　[由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．]‎ ‎3．(2016·广州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)‎ A．x2＝4y　　　　　　　 B.y2＝3x C．x2＝2y D.y2＝4x A　[设点P(x，y)，则Q(x，－1)．‎ ‎∵·＝·，‎ ‎∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，‎ 即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，‎ ‎∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.故选A.]‎ ‎4．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________．‎ ‎(x－10)2＋y2＝36(y≠0)　[设A(x，y)，则D ‎∴|CD|＝＝3，‎ 化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形，‎ ‎∴A不能落在x轴上，即y≠0.]‎ ‎5．(2017·郑州模拟)在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为__________．‎ －＝1(x>)　[以BC的中点为原点，中垂线所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．‎ 则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.‎ 所以|AB|－|AC|＝2，‎ 所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，‎ 且a＝，c＝2，所以b＝，‎ 所以轨迹方程为－＝1(x>)．]‎ 直接法求轨迹方程 ‎　已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程．‎ ‎[解]　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O‎1A|＝|O‎1M|.2分 当O1不在y轴上时，‎ 过O1作O1H⊥MN交MN于H，‎ 则H是MN的中点，‎ ‎∴|O1M|＝.5分 又|O1A|＝，‎ ‎∴＝，‎ 化简得，y2＝8x(x≠0).10分 当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，‎ ‎∴ 动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.12分 ‎[规律方法]　1.如果动点满足的条件是易于用x，y表达的与定点、定直线有关的几何量的等量关系时，等量关系又易于表达成含有x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程．‎ ‎2．运用直接法应注意的问题：‎ ‎(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．‎ ‎(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．‎ ‎[变式训练1]　已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程．‎ ‎[解]　设点P(x，y)，则＝(x＋1，y)，‎ ＝(x－1，y)，＝(2,0).3分 故·＝2(x＋1)，‎ ·＝·＝(x＋1)×(x－1)＋y2＝x2＋y2－1，·＝－2(x－1)＝2(1－x).6分 因为·，·，·成公差小于零的等差数列，所以2(x2＋y2－1)＝2(x＋1)＋2(1－x).10分 且·－·＝2(1－x)－2(x＋1)＝－4x<0，‎ 整理得，x2＋y2＝3(x>0)，‎ 故点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x>0).12分 定义法求轨迹方程 ‎　如图881所示，已知点C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)．P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在的直线上，且·＝0，＝2 .当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．‎ 图881‎ ‎[解]　由(x＋)2＋y2＝4知圆心C(－，0)，半径r＝2.2分 ‎∵·＝0，＝2，‎ ‎∴MQ⊥AP，点M为AP的中点，‎ 因此QM垂直平分线段AP.6分 如图，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，‎ ‎∴||QC|－|QA||＝‎ ‎||QC|－|QP||＝|CP|＝2.‎ 又|AC|＝2>2.8分 根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线.10分 由c＝，a＝1，得b2＝1，‎ 因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.12分 ‎[迁移探究]　若将本例中的条件“圆C的方程(x＋)2＋y2＝‎4”‎改为“圆C的方程(x＋)2＋y2＝‎16”‎，其他条件不变，求点Q的轨迹方程．‎ ‎[解]　由(x＋)2＋y2＝16知圆心C(－，0)，半径r＝4.2分 ‎∵·＝0，＝2 ，‎ ‎∴QM垂直平分AP，连接AQ，‎ 则|AQ|＝|QP|，6分 ‎∴|QC|＋|QA|＝|QC|＋|QP|＝r＝4.8分 根据椭圆定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆.10分 由c＝，a＝2，得b＝.‎ 因此点Q的轨迹方程为＋＝1.12分 ‎[规律方法]　1.定义法求轨迹方程，关键是理解解析几何中有关曲线的定义．‎ 在求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，优化解题过程．‎ ‎2．利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．‎ ‎[变式训练2]　(2016·全国卷Ⅰ选编)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎(1)证明|EA|＋|EB|为定值；‎ ‎(2)求点E的轨迹方程，并求它的离心率．‎ ‎[解]　(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，‎ 所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，‎ 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.3分 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，‎ 所以|EA|＋|EB|＝4.5分 ‎(2)由圆A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0)‎ 因此|AB|＝2，则|EA|＋|EB|＝4>|AB|.8分 由椭圆定义，知点E的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x轴的交点)，‎ 所以a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3.10分 所以点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．‎ 故曲线方程的离心率e＝＝.12分 相关点(代入)法求轨迹方程 ‎　如图882所示，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|. ‎ ‎【导学号：01772336】‎ 图882‎ ‎(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．‎ ‎[解]　(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，‎ ‎∵点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，∴xP＝x，且yP＝y.2分 ‎∵P在圆x2＋y2＝25上，‎ ‎∴x2＋2＝25，整理得＋＝1，‎ 故轨迹C的方程是＋＝1.5分 ‎(2)过点(3,0)且斜率为的直线l的方程是y＝(x－3)，7分 设此直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 将直线方程y＝(x－3)代入C的方程＋＝1得：‎ ＋＝1，化简得x2－3x－8＝0，‎ ‎∴x1＝，x2＝，10分 则|AB|＝＝＝.‎ ‎∴直线被曲线C所截线段的长度为.12分 ‎[规律方法]　1.相关点法求轨迹方程，形成轨迹的动点P(x，y)随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的．‎ ‎2．“相关点法”的基本步骤：‎ ‎(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)．‎ ‎(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 ‎(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．‎ ‎[变式训练3]　(2017·武汉模拟)P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是__________．‎ ＋＝1　[作P关于O的对称点M，连接F‎1M，F‎2M，则四边形F1PF‎2M为平行四边形，‎ 所以＋＝＝－2.‎ 又＝＋，‎ 所以＝－.‎ 设Q(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝－，且y0＝－，‎ 又点P(x0，y0)在椭圆＋＝1上，‎ 则有＋＝1，即＋＝1.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．求轨迹方程的常用方法 ‎(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.‎ ‎(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．‎ ‎(3)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．‎ ‎(4)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．‎ ‎2．曲线的方程与方程的曲线是从两个方面揭示方程与曲线的对应关系，体现数与形的辨证统一．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应的．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是不是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．‎ ‎2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．‎