江西省信丰中学2020届高三数学上学期第二次周考理A层13班2（含解析）
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江西省信丰中学 2020 届高三数学上学期第二次周考（理 A 层）（13 班）
一选择题（50 分）
1 设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且 cos α＝1
5
x，则 tan α＝( )
A.4
3
B.3
4
C．－3
4
D．－4
3
2 要得到函数 y＝sin
4x－π
3 的图像，只需将函数 y＝sin 4x 的图像( )
A．向左平移π
12
个单位 B．向右平移π
12
个单位
C．向左平移π
3
个单位 D．向右平移π
3
个单位
3 若函数 y＝cos
ωx＋π
6 (ω∈N*)图像的一个对称中心是
π
6
，0
，则ω的最小值为
( )
A．1 B．2
C．4 D．8
4 设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当 x>0 时，xf′(x)－f(x)<0，
则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
5 已 知 函 数 log 1 ( 0, 1)af x x a a ， 若 1 2 3 4x x x x ， 且
1 2 3 4f x f x f x f x ，则
1 2 3 4
1 1 1 1
x x x x
（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 随 a 值变化
6 若函数 f(x)＝sin
ωx＋π
6 (ω>0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离为π
2
，且该函数
图像关于点(x0,0)成中心对称，x0∈
0，π
2 ，则 x0＝( )
- 2 -
A.5π
12
B.π
4
C.π
3
D.π
6
7．若函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)
ω＞0，且|φ|＜π
2 在区间
π
6
，2π
3 上是单调减函数，
且函数值从 1 减少到－1，则 f
π
4 ＝( )
A.1
2
B. 2
2
C. 3
2
D．1
8 函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为( )
A.
kπ－1
4
，kπ＋3
4 ，k∈Z
B.
2kπ－1
4
，2kπ＋3
4 ，k∈Z
C.
k－1
4
，k＋3
4 ，k∈Z
D.
2k－1
4
，2k＋3
4 ，k∈Z
9 已知函数 f(x)＝ 3sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线 y＝f(x)与直线 y＝1 的交点
中，若相邻交点距离的最小值为π
3
，则 f(x)的最小正周期为( )
A.π
2
B.2π
3
C．π D．2π
10 已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当 x＝2π
3
时，函数 f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )
A．f(2)＜f(－2)＜f(0) B．f(0)＜f(2)＜f(－2)
C．f(－2)＜f(0)＜f(2) D．f(2)＜f(0)＜f(－2)
- 3 -
二填空题（20 分）
11．已知函数 f(x)＝sin
2x＋π
6 ，其中 x∈
－π
6
，α
.当α＝π
3
时，f(x)的值域是______；
若 f(x)的值域是
－1
2
，1
，则 a 的取值范围是______．
12 已知 cos
π
6
－θ
＝a(|a|≤1)，则 cos
5π
6
＋θ
＋sin
2π
3
－θ
的值是________．
13 已知函数 f(x)＝
a－2x－1，x≤1，
logax，x>1， 若 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数 a
的取值范围为________．
14 已知函数 0cos3sin xxxf ，若方程 1xf 在 ，0 上有且只有四个实
数根，则实数 的取值范围为 ．
三。解答题（46 分）
15（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 1 cos
1 sin
x t
y t
（ t 为参数，
0 a ），
以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
2cos .
- 4 -
（Ⅰ）若
4
，求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求 sin 的取值范围.
16（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已
知曲线C : )0(cossin 2 aa ，直线l 过点 )4,2( P ，且倾斜角为
4
.
（Ⅰ）写出曲线C 的平面直角坐标方程和直线l 的参数方程；
（Ⅱ）设曲线 C 经过伸缩变换
yy
xx
'
'
2
1
得到曲线 'C ,直线 l 与曲线 'C 分别交于 NM、 ,若
PM , MN , PN 成等比数列，求 a 的值．
17（13 分）已知函数 1(xf x e ax a 为常数），曲线 y f x 在与 y 轴的交点 A 处的
切线斜率为 1 .
（1）求 a 的值及函数 y f x 的单调区间；
（2）若 21
lx x ，且 1 2f x f x ，试证明： 1 2 2ln2x x .
18（本小题满分 13 分）设函数 lnxf x ae x x ，其中 Ra ， e 是自然对数的底数.
（Ⅰ）若 f x 是 0, 上的增函数，求 a 的取值范围；
（Ⅱ）若 2
2
ea ，证明： 0f x .
- 5 -
2019 高三（13）班第二次周考试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A A A C D C A
5 ． A 【 解 析 】 不 妨 设 1a＞ ， 则 令 1 0af x log x b （ ） ＞ ， 则 1alog x b 或
1alog x b ；故 1 2 3 41 1 1 1b b b bx a x a x a x a ， ， ， ，
故 2 2
1 4 2 3
1 1 2 1 1 2
1 1b bx x a x x a
， ；
2
2 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1 2 2 2 2 21 1 1 1
b
b b b b
a
x x x x a a a a
故 故选 A．
6 解析：选 A 由题意得T
2
＝π
2
，T＝π，ω＝2.又 2x0＋π
6
＝kπ(k∈Z)，x0＝kπ
2
－π
12
(k
∈Z)，而 x0∈
0，π
2 ，所以 x0＝5π
12
.
7 解析：选 C 由题意得函数 f(x)的周期 T＝2
2π
3
－π
6 ＝π，所以ω＝2，此时 f(x)＝
sin(2x＋φ)，将点
π
6
，1
代入上式得 sin
π
3
＋φ
＝1
|φ|＜π
2 ，所以φ＝π
6
，所以 f(x)
＝sin
2x＋π
6 ，于是 f
π
4 ＝sin
π
2
＋π
6 ＝cosπ
6
＝ 3
2
.
8 解析：选 D 由图像知，周期 T＝2
5
4
－1
4 ＝2，
∴2π
ω
＝2，∴ω＝π.
由π×1
4
＋φ＝π
2
＋2kπ，得φ＝π
4
＋2kπ，k∈Z，
不妨取φ＝π
4
，∴f(x)＝cos
πx＋π
4 .
- 6 -
由 2kπ＜πx＋π
4
＜2kπ＋π，
得 2k－1
4
＜x＜2k＋3
4
，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为
2k－1
4
，2k＋3
4 ，k∈Z，故选 D.
9 解析：选 C 由题意得函数 f(x)＝2sin
ωx＋π
6 (ω＞0)，又曲线 y＝f(x)与直线 y＝1
相邻交点距离的最小值是π
3
，由正弦函数的图像知，ωx＋π
6
＝π
6
和ωx＋π
6
＝5π
6
对应的 x 的
值相差π
3
，即2π
3ω
＝π
3
，解得ω＝2，所以 f(x)的最小正周期是 T＝2π
ω
＝π.
10 解析：选 A 由题意，得 T＝2π
ω
＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝Asin(2x＋φ)，
而当 x＝2π
3
时，2×2π
3
＋φ＝2kπ＋3π
2
(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋π
6
(k∈Z)，
又φ>0，∴可取 f(x)＝Asin
2x＋π
6 .
当 2x＋π
6
＝2kπ＋π
2
(k∈Z)，
即 x＝π
6
＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值．
下面只需判断 2，－2,0 与最近的最大值处的对称轴距离大小，距离越大，函数值越小，
当 k＝0 时，x＝π
6
，|0－π
6 |≈0.52，|2－π
6 |≈1.48，
当 k＝－1 时，x＝－5π
6
，|－2－
－5π
6 |≈0.6，
二。填空题
- 7 -
11 解析：若－π
6
≤x≤π
3
，则－π
6
≤2x＋π
6
≤5π
6
，
此时－1
2
≤sin
2x＋π
6 ≤1，
即 f(x)的值域是
－1
2
，1
.
若－π
6
≤x≤α，则－π
6
≤2x＋π
6
≤2α＋π
6
.
因为当 2x＋π
6
＝－π
6
或 2x＋π
6
＝7π
6
时，
sin
2x＋π
6 ＝－1
2
，所以要使 f(x)的值域是
－1
2
，1
，
则π
2
≤2α＋π
6
≤7π
6
，即π
3
≤2α≤π，
所以π
6
≤α≤π
2
，即α的取值范围是
π
6
，π
2 .
11 答案：
－1
2
，1 π
6
，π
2
12 答案：0 13 答案：(2,3] 14 7 25
2 6
，
三解答题
15、解：（Ⅰ）当
4
时，直线的l 参数方程为
21 2
21 2
x t
y t
.
所以其普通方程为 y x . 对于曲线C ，由 2cos ，得 2 2 cos ，
所以其直角坐标方程为 2 2 2x y x .
（Ⅱ）由题意得，直线 l 过定点 1, 1P ， 为其倾斜角，曲线C ： 2 21 1x y ，表
示以 1,0C 为圆心，以 1 为半径的圆. 当
2
时，直线 l 为 1x ，此时直线 l 与圆C
- 8 -
不相交.
当
2
时，设 tank 表示直线的斜率，则 l ： 1 0kx y k .
设圆心C 到直线l 的距离为
2
2 1
1
kd
k
. 当直线 l 与圆C 相切时，令 1d ，解得 0k 或
4
3k .
则当直线 l 与圆C 有两个不同的交点时， 40 3k . 因为 0, ，由 40 tan 3
，可
得 40 sin 5
， 即 sin 的取值范围为 40, 5
.
16 解：（Ⅰ）由 cossin 2 a 得， cossin 22 a ……….. 1 分
又∵
sin
cos
y
x ，∴曲线C 的平面直角坐标方程为： axy 2 ……….. 3 分
直线l 的参数方程为：
ty
tx
2
24
2
22
……….. 5 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）曲线C ： axy 2 ，经过伸缩变换
yy
xx
'
'
2
1
得到曲线 'C 的方程为：
axy 22 ……….. 6 分
ty
tx
2
24
2
22
将 得，代入 axy 22 0)4(8)4(222 atat
设这个方程的两个实数根分别为 1t ， 2t ，则
)4(8
)4(22
21
21
att
att ……….. 8 分
由 PM , MN , PN 成等比数列，得 2）（MN PM PN ，
由参数t 的几何意义知 21
2
21 tttt ）（ ，即 21
2
21 5 tttt ）（
所以 ）（ aa 440)4(8 2 ，
- 9 -
又因为 0a ，所以 1a 。 ……….. 10 分
17.(1)由 1xf x e ax ，得 xf x e a ，
因为曲线 y f x 在与 y 轴的焦点 A 处的切线斜率为 1 ，
所以 0 1 1f a ，所以 2a ，
所以 2 1 2x xf x e x f x e ，
由 2 0xf x e ，得 ln2x ，由 2 0xf x e ，得 ln2x ，
所以函数 y f x 的单调递减区间为 ,ln2 ，单调递增区间为 ln2, .（5 分）
所以 2ln2g x f x f x 在 ln2, 上单调递增，
又 ln2 0g ，所以当 ln2x 时， 2ln2 ln2 0g x f x f x g ，
即 2ln2f x g x ，所以 2 22ln2f x g x ，
又因为 1 2f x f x ，所以 1 22ln2f x f x ，
由于 2 ln2x ，所以 22ln2 ln2x ，
因为 1 ln2x ，由（1）知函数 y f x 在区间 ,ln2 上单调递增，
所以 1 22ln2x x ，即 1 2 2ln2x x . （13 分）
18．解：（Ⅰ） e 1 lnxf x a x ，．．．．．．．．．．．．1 分
f x 是 0, 上的增函数等价于 0f x 恒成立. ．．．．．．．．．．．．2 分
- 10 -
令 0f x ，得 1 ln
ex
xa ，令 1 ln
ex
xg x （ 0x ）.以下只需求 g x 的最大值.
求导得 1e 1 lnxg x xx
，．．．．．．．．．．．．3 分
令 1 1 lnh x xx
， 2
1 1 0h x x x
， h x 是 0, 上的减函数，
又 1 0h ，故 1 是 h x 的唯一零点，
当 0,1x ， 0h x ， 0g x ， g x 递增；
当 1,x ， 0h x ， 0g x ， g x 递减；
故当 1x 时， g x 取得极大值且为最大值 11 eg ，
所以 1
ea ，即 a 的取值范围是 1 ,e
.．．．．．．．．．．．．6 分
（Ⅱ） 0f x e ln 0
xa xx
.
令 e ln
xaF x xx
（ 0x ），以下证明当 2
2
ea 时， F x 的最小值大于 0.
求导得
2
1 e 1xa xF x x x
2
1 1 exa x xx
.
①当 0 1x 时， 0F x ， 1F x F e 0a ；
②当 1x 时，
2
1a xF x x
e 1
x x
a x
，令 e 1
x xG x a x
，
则 exG x 2
1 0
1a x
，又 2 22 eG a
2e 2 0a
a
，
取 1,2m 且使
2e1
m
a m
，即
2
2
e1 e 1
am a
，
则 e 1
m mG m a m
2 2e e 0 ，
因为 2 0G m G ，故 G x 存在唯一零点 0 1,2x ，．．．．．．．．．．．．9 分
即 F x 有唯一的极值点且为极小值点 0 1,2x ，又 0
0 0
0
e ln
xaF x xx
，
- 11 -
且
0 0
0
0
e 01
x xG x a x
，即
0 0
0
e 1
x x
a x
，故 0 0
0
1 ln1F x xx
，
因为 0 2
00
1 1 0
1
F x xx
，故 0F x 是 1,2 上的减函数.
所以 0 2F x F 1 ln 2 0 ，所以 0F x .
综上，当 2
2
ea 时，总有 0f x .．．．．．．．．．．．．13 分
