2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第十章　第7讲　二项分布及其应用

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第十章　第7讲　二项分布及其应用

‎ [基础题组练]‎ ‎1．(2020·马鞍山一模)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过2年的概率为(　　)‎ A．0.75　　 B．0.6　　　‎ C．0.52　　 D．0.48‎ 解析：选A.设一个这种元件使用到1年时还未损坏为事件A，使用到2年时还未损坏为事件B，则由题意知P(AB)＝0.6，P(A)＝0.8，则这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)＝＝＝0.75，故选A.‎ ‎2．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为(　　)‎ A．0.25　　　　　　　　 B．0.30‎ C．0.31 D．0.35‎ 解析：选C.设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3人使用设备的概率 P1＝P(BCD＋ACD＋ABD＋ABC) ‎ ‎＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，‎ ‎4人使用设备的概率 P2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，‎ 故所求概率P＝0.25＋0.06＝0.31.‎ ‎3．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：‎ 使用时间/天 ‎10～20‎ ‎21～30‎ ‎31～40‎ ‎41～50‎ ‎51～60‎ 个数 ‎10‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎20‎ 若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选D.由表可知元件使用寿命在30天以上的概率为＝，则所求概率为C×＋＝.‎ ‎4．(2020·河南中原名校联盟一模)市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电器的合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选A.因为大约的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器的合格率约为，所以某家用小电器是在网上购买的，且被投诉的概率约为×＝，又实体店里的家用小电器的合格率约为，所以某家用小电器是在实体店里购买的，且被投诉的概率约为×＝，故工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P＝＝.‎ ‎5．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(　　)‎ A．0.7 B．0.6‎ C．0.4 D．0.3‎ 解析：选B.由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX＝10p·(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)＜P(X＝6)，得Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，即(1－p)2＜p2，所以p＞0.5，所以p＝0.6.‎ ‎6．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．‎ 解析：该同学通过测试的概率P＝C×0.62×0.4＋0.63＝0.432＋0.216＝0.648.‎ 答案：0.648‎ ‎7．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“‎ ‎4个人去的景点不相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝________．‎ 解析：小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，即n(B)＝108，4个人去的景点不同的情况有A＝4×3×2×1＝24种，即n(AB)＝24，所以P(A|B)＝＝＝.‎ 答案： ‎8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________，该选手回答了5个问题结束的概率为________．‎ 解析：依题意，该选手第2个问题回答错误，第3，4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P＝0.8×0.2×0.82＋0.2×0.2×0.82＝1×0.2×0.82＝0.128.‎ 依题意，设答对的事件为A，可分第3个正确与错误两类，若第3个正确则有AA或A两类情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032 0.该选手第3个问题的回答是错误的，第1，2两个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以，所求概率为0.032 0＋0.072＝0.104.‎ 答案：0.128　0.104‎ ‎9．(2020·湖南两市联考)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．一个运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为，，，他们出线与未出线是相互独立的．‎ ‎(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；‎ ‎(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分数之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．‎ 解：(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，‎ 则P(D)＝1－P()＝1－××＝.‎ ‎(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.‎ P(ξ＝0)＝P()＝；‎ P(ξ＝1)＝P(A)＋P(B)＋P( C)＝；‎ P(ξ＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝；‎ P(ξ＝3)＝P(ABC)＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎10．(2020·河北“五个一名校联盟”模拟)空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上 为严重污染．一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图．‎ ‎(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数；‎ ‎(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列．‎ 解：(1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，所以该样本中空气质量为优良的频率为＝，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×＝18.‎ ‎(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B.‎ 所以P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝C＝，‎ P(ξ＝2)＝C＝，‎ P(ξ＝3)＝＝.‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·南昌模拟)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选D.记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1，2，3.由题意，事件Ai，Bi，Ci(i＝1，2，3)相互独立，则P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝，i＝1，2，3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P＝AP(AiBiCi)＝6×××＝.‎ ‎2．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(　　)‎ A. B．× C.× D．C×× 解析：选B.由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为×.‎ ‎3．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①P(B)＝；‎ ‎②P(B|A1)＝；‎ ‎③事件B与事件A1相互独立；‎ ‎④A1，A2，A3是两两互斥的事件；‎ ‎⑤P(B)的值不能确定，它与A1，A2，A3中哪一个发生都有关．‎ 解析：由题意知A1，A2，A3是两两互斥的事件，‎ P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝，‎ P(B|A1)＝＝，‎ P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，‎ 而P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)‎ ‎＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)‎ ‎＝×＋×＋×＝.故正确的为②④.‎ 答案：②④‎ ‎4．已知甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否之间没有影响．‎ ‎(1)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率是________；‎ ‎(2)若甲、乙各试跳两次，则甲比乙的成功次数多一次的概率是________．‎ 解析：(1)记“甲在第i次试跳成功”为事件Ai，“乙在第i次试跳成功”为事件Bi，“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.‎ 法一：P(C)＝P(A11)＋P(1B1)＋P(A1B1) ‎ ‎＝P(A1)P(1)＋P(1)P(B1)＋P(A1)P(B1)‎ ‎＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88.‎ 法二：由对立事件的概率计算公式得P(C)＝1－P(11)＝1－P(1)P(1)＝1－0.3×0.4＝0.88.‎ ‎(2)设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi，“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni，所以所求概率P＝P(M1N0)＋P(M2N1)＝P(M1)P(N0)＋P(M2)P(N1)＝C×0.7×0.3×0.42＋0.72×C×0.6×0.4＝0.302 4.‎ 答案：(1)0.88　(2)0.302 4‎ ‎5．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．‎ ‎(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；‎ ‎(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；‎ ‎(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？‎ 解：(1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件A1为“甲连续射击4次，全部击中目标”．由题意知，射击4次相当于做4次独立重复试验．‎ 故P(1)＝C＝.‎ 所以P(A1)＝1－P(1)＝1－＝.‎ 所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为.‎ ‎(2)记“甲射击4次，恰好有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰好有3次击中目标”为事件B2，‎ 则P(A2)＝C××＝，‎ P(B2)＝C×＝.‎ 由于甲、乙射击相互独立，‎ 故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝×＝.‎ 所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.‎ ‎(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中“为事件Di(i＝1，2，3，4，5)，‎ 则A3＝D5D43(21∪2D1∪D21)，且P(Di)＝.‎ 由于各事件相互独立，故 P(A3)＝P(D5)P(D4)P(3)P(21＋2D1＋D21)‎ ‎＝×××＝.‎ 所以乙恰好射击5次后被终止射击的概率为.‎ ‎6．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人．‎ ‎(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，‎ 求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；‎ ‎(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列．‎ 解：(1)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为CC，所以所求的概率P(A)＝＝＝.‎ ‎(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为＝，‎ 故X～B.‎ 所以P(X＝0)＝C＝，‎ P(X＝1)＝C＝，‎ P(X＝2)＝C＝，‎ P(X＝3)＝C＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P