2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第十章　6 第6讲　离散型随机变量及其分布列

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第十章　6 第6讲　离散型随机变量及其分布列

‎[基础题组练]‎ ‎1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C.设X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P p ‎2p 即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功．由p＋2p＝1，得p＝，故应选C.‎ ‎2．设随机变量Y的分布列为 Y ‎－1‎ ‎2‎ ‎3‎ P m 则“≤Y≤”的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C.依题意知，＋m＋＝1，则m＝.‎ 故P＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＋＝.‎ ‎3．设随机变量X的概率分布列如下表所示：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a 若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D.由分布列的性质，得a＋＋＝1，所以a＝.而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.‎ ‎4．已知离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.5‎ ‎1－2q q 则P(∈Z)＝(　　)‎ A．0.9　　　　　　　　　 B．0.8‎ C．0.7 D．0.6‎ 解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q＋q＝1，解得 q＝0.3，所以P(∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.‎ ‎5．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________．‎ 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，‎ 其中X＝2对应(1，1)；X＝3对应(1，2)，(2，1)；X＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.‎ 答案： ‎6．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．‎ 解析：设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，所以a＝，‎ 由得－≤d≤.‎ 答案： ‎7．若离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎9c2－c ‎3－8c 则常数c＝________，P(X＝1)＝________．‎ 解析：由分布列的性质知， 解得c＝，故P(X＝1)＝3－8×＝.‎ 答案：　 ‎8．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X的分布列为________．‎ 解析：X的所有可能值为0，1，2.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 答案：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎9.抛掷一枚质地均匀的硬币3次．‎ ‎(1)写出正面向上次数X的分布列；‎ ‎(2)求至少出现两次正面向上的概率．‎ 解：(1)X的可能取值为0，1，2，3.‎ P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；‎ P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎(2)至少出现两次正面向上的概率为 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.‎ ‎10．(2020·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．‎ ‎(1)求该顾客中奖的概率；‎ ‎(2)求该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．‎ 解：(1)该顾客中奖的概率P＝1－＝1－＝.‎ ‎(2)X的所有可能取值为0，10，20，50，60，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，‎ P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，‎ P(X＝60)＝＝.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ P ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．‎ ‎(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；‎ ‎(2)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列．‎ 解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则P(B)＝＝＝，所以P(A)＝1－P(B)＝.‎ ‎(2)X的取值为1，2，3，4，‎ P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎2.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．‎ ‎(1)求小波参加学校合唱团的概率；‎ ‎(2)求X的分布列．‎ 解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28(种)，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.‎ ‎(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为 X ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎3.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X表示终止时所需要的取球次数．‎ ‎(1)求袋中原有白球的个数；‎ ‎(2)求随机变量X的分布列；‎ ‎(3)求甲取到白球的概率．‎ 解：(1)设袋中原有n个白球，‎ 由题意知＝＝＝，‎ 所以n(n－1)＝6，解得n＝3或n＝－2(舍去)．‎ 即袋中原有3个白球．‎ ‎(2)由题意知X的可能取值为1，2，3，4，5.‎ P(X＝1)＝；‎ P(X＝2)＝＝；‎ P(X＝3)＝＝；‎ P(X＝4)＝＝；‎ P(X＝5)＝＝.‎ 所以取球次数X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球．‎ 设“甲取到白球”的事件为A，‎ 则P(A)＝P(X＝1或X＝3或X＝5)．‎ 因为事件“X＝1”“X＝3”“X＝5”两两互斥，‎ 所以P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝＋＋＝.‎