2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第二章　5 第5讲　指数与指数函数

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第二章　5 第5讲　指数与指数函数

‎[基础题组练]‎ ‎1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)‎ 解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．‎ ‎2．化简4a·b÷的结果为(　　)‎ A．－　　　　　　　　　 B．－ C．－ D．－6ab 解析：选C.原式＝a－()b＝－6ab－1＝－，故选C.‎ ‎3．下列各式比较大小正确的是(　　)‎ A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62‎ C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1‎ 解析：选B.A中，因为函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.B中，因为y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，所以0.6－1>0.62.C中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．因为y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.‎ ‎4．(2020·宁波效实中学高三质检)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是　(　　)‎ A．(－∞，2] B．[2，＋∞)‎ C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]‎ 解析：选B.由f(1)＝得a2＝.‎ 又a>0，所以a＝，因此f(x)＝.‎ 因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．‎ ‎5．已知函数y＝f(x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f(x)和y＝F(x)在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫作函数y＝f(x)的“不动区间”，若区间[1，2]‎ 为函数y＝|2x－t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是(　　)‎ A．(0，2] B. C. D.∪ 解析：选C.因为函数y＝f(x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，‎ 所以F(x)＝f(－x)＝|2－x－t|，‎ 因为区间[1，2]为函数f(x)＝|2x－t|的“不动区间”，‎ 所以函数f(x)＝|2x－t|和函数F(x)＝|2－x－t|在[1，2]上单调性相同，‎ 因为y＝2x－t和函数y＝2－x－t的单调性相反，‎ 所以(2x－t)(2－x－t)≤0在[1，2]上恒成立，‎ 即1－t(2x＋2－x)＋t2≤0在[1，2]上恒成立，‎ 即2－x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，‎ 即≤t≤2，故答案为C.‎ ‎6．指数函数y＝f(x)的图象经过点(m，3)，则f(0)＋f(－m)＝________．‎ 解析：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，所以f(0)＝a0＝1.‎ 且f(m)＝am＝3.‎ 所以f(0)＋f(－m)＝1＋a－m＝1＋＝.‎ 答案： ‎7．(2020·杭州中学高三月考)已知ex＋x3＋x＋1＝0，－27y3－3y＋1＝0，则ex＋3y的值为________．‎ 解析：因为ex＋x3＋x＋1＝0，－27y3－3y＋1＝0等价于e－3y＋(－3y)3＋(－3y)＋1＝0，所以x＝－3y，即x＋3y＝0，所以ex＋3y＝e0＝1.‎ 答案：1‎ ‎8．若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：依题意，a应满足解得0，a≠1，b∈R)．‎ ‎(1)若f(x)为偶函数，求b的值；‎ ‎(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．‎ 解：(1)因为f(x)为偶函数，‎ 所以对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，‎ 即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.‎ ‎(2)记h(x)＝|x＋b|＝ ‎①当a>1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，‎ 即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b≤2，b≥－2.‎ ‎②当01且b≥－2.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)‎ A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0‎ C．2－a<2c D．2a＋2c<2‎ 解析：选D.作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，因为af(c)>f(b)，结合图象知，00，所以0<2a<1.所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，所以f(c)<1，所以0f(c)，所以1－2a>2c－1，所以2a＋2c<2，故选D.‎ ‎2．(2020·衢州市高考模拟)已知函数f(x)＝，则此函数图象上关于原点对称的点有(　　)‎ A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 解析：选B.作出函数y＝f(x)图象如图所示：‎ 再作出－y＝f(－x)，即y＝x2－4x，恰好与函数图象位于y轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称，记为曲线C，发现y＝与曲线C有且仅有一个交点，‎ 因此满足条件的对称点只有一对，图中的A、B就是符合题意的点．故选B.‎ ‎3．(2020·杭州模拟)已知函数y＝ax＋b(a>0，且a≠1，b>0)的图象经过点P(1，3)，如图所示，则＋的最小值为________，此时a，b的值分别为________．　‎ 解析：由函数y＝ax＋b(a>0且a≠1，b>0)的图象经过点P(1，3)，得a＋‎ b＝3，所以＋＝1，又a>1，则＋＝＝2＋＋＋≥＋2　＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，所以＋的最小值为.‎ 答案：　， ‎4．(2020·绍兴一中高三期中)已知函数f(x)＝e|x|，将函数f(x)的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数g(x)的图象，函数h(x)＝若对于任意的x∈[3，λ](λ>3)，都有h(x)≥g(x)，则实数λ的最大值为________．‎ 解析：依题意，g(x)＝f(x－3)＋2＝e|x－3|＋2，在同一坐标系中分别作出g(x)，h(x)的图象如图所示，观察可得，要使得h(x)≥g(x)，则有4e6－x＋2≥e(x－3)＋2，故4≥e2x－9，解得2x－9≤ln 4，故x≤ln 2＋，实数λ的最大值为ln 2＋.‎ 答案：ln 2＋ ‎5．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.‎ ‎(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域；‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1‎ ‎＝2(2x)2－2x－1，‎ 令t＝2x，x∈[－3，0]，则t∈.‎ 故y＝2t2－t－1＝2－，t∈，‎ 故值域为.‎ ‎(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，‎ 设2x＝m>0，‎ 等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，‎ 记g(m)＝2am2－m－1，‎ 当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．‎ 当a<0时，开口向下，对称轴m＝<0，‎ 过点(0，－1)，不成立．‎ 当a>0时，开口向上，对称轴m＝>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a>0.‎ ‎6．(2020·宁波效实中学模拟)已知函数f(x)＝，x∈[－1，1]，函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值为h(a)．‎ ‎(1)求h(a)；‎ ‎(2)是否存在实数m，n同时满足下列条件：‎ ‎①m>n>3；‎ ‎②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．‎ 解：(1)因为x∈[－1，1]，‎ 所以f(x)＝∈，‎ 设t＝∈.‎ 则y＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.‎ 当a<时，ymin＝h(a)＝φ＝－；‎ 当≤a≤3时，ymin＝h(a)＝φ(a)＝3－a2；‎ 当a>3时，ymin＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.‎ 所以h(a)＝ ‎(2)假设存在m，n满足题意．‎ 因为m>n>3，h(a)＝12－6a在(3，＋∞)上是减函数，‎ 又因为h(a)的定义域为[n，m]，‎ 值域为[n2，m2]，‎ 所以两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，即m＋n＝6，与m>n>3矛盾，‎ 所以满足题意的m，n不存在．‎