2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第五章　第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第五章　第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

‎[基础题组练]‎ ‎1．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　)‎ A．－2　　 B．－4　　　‎ C．－3　　 D．－1‎ 解析：选D.因为a－b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－2，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故选D.‎ ‎2．(2020·安徽合肥第一次质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　)‎ A. B．(－6，8)‎ C. D．(6，－8)‎ 解析：选D.因为向量b与向量a方向相反，所以可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b|＝＝＝5|λ|＝－5λ＝10，所以λ＝－2，所以b＝(6，－8)．故选D.‎ ‎3．已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．3 D．－3‎ 解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，‎ 则＝(1，0)，＝(2，－2)，＝(1，2)．‎ 因为＝λ＋μ，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以解得所以λ＋μ＝2.故选A.‎ ‎4．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，4)　　　　　　 B．(4，＋∞)‎ C．(－∞，4)∪(4，＋∞) D．(－∞，＋∞)‎ 解析：选C.平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，则m×2－(3m－4)×1≠0，即m≠4，所以m的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC＝，|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)‎ A．2　　 B．　　　‎ C．2　　 D．4 解析：选A.因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又因为＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.‎ ‎6．(2020·湖北荆门阶段检测)在△AOB中，＝，D为OB的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为________．‎ 解析：因为＝，所以＝(－)，因为D为OB的中点，所以＝，‎ 所以＝＋＝－＋(＋)＝－＋＋(－)＝－，所以λ＝，μ＝－，则λμ的值为－.‎ 答案：－ ‎7．已知O为坐标原点，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则||＝________.‎ 解析：设P点坐标为(x，y)，＝－＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，＝(x－1，y ‎－2)，由2＝得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，所以解得故||＝＝.‎ 答案： ‎8．已知A(－3，0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．‎ 解析：由题意知＝(－3，0)，＝(0，)，‎ 则＝(－3λ，)，‎ 由∠AOC＝30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，所以tan 150°＝，‎ 即－＝－，所以λ＝1.‎ 答案：1‎ ‎9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.‎ ‎(1)求3a＋b－3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标．‎ 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．‎ ‎(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．‎ ‎(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，‎ 所以解得 ‎(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，‎ 所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．‎ 所以M(0，20)．又因为＝－＝－2b，‎ 所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，‎ 所以N(9，2)．所以＝(9，－18)．‎ ‎10.‎ 如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，＝x＋y，求x＋y的值．‎ 解：不妨设⊙O的半径为1，以圆心O为坐标原点，以OB，OD为x，y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，D(0，1)，C.‎ 所以＝，‎ ＝.又＝x＋y，‎ 所以＝x(－1，0)＋y.‎ 所以解得 所以x＋y＝－＝－.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知P＝，Q＝{b|b＝(1，1)＋n(－1，1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选A.设a＝(x，y)，则所以集合P是直线x ‎＝1上的点的集合．同理，集合Q是直线x＋y＝2上的点的集合，即P＝，Q＝，所以P∩Q＝.故选A.‎ ‎2．(2020·包河区校级月考)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，合得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点，在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设x1＋y1，＝x2＋y2，则＋＝(　　)‎ A. B．2‎ C. D．＋1‎ 解析：选C.由题意，‎ ＝＋＝＋＝＋(－)‎ ‎＝＋＝＋，‎ 同理，＝＋＝＋＝＋(－)‎ ‎＝＋.‎ 所以x1＝y2＝，x2＝y1＝.‎ 所以＋＝＋＝.‎ ‎3．(创新型)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为________．‎ 解析：因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，‎ 即a＝－2p＋2q＝(2，4)，‎ 令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，‎ 所以即 所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．‎ 答案：(0，2)‎ ‎4．已知非零不共线向量，，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，则点P(x，y)的轨迹方程是________．‎ 解析：由＝λ，得－＝λ(－)，‎ 即＝(1＋λ)－λ.‎ 又2＝x＋y，‎ 所以消去λ得x＋y－2＝0.‎ 答案：x＋y－2＝0‎ ‎5．(一题多解)‎ 如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值．‎ 解：法一：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC＝||cos α＝×＝，yC＝||sin α＝×＝，即C.又cos(α＋45°)＝×－×＝－，sin (α＋45°)＝×＋×＝，则xB＝||cos(α＋45°)＝－，yB＝||sin (α＋45°)＝，即B，由＝m ＋n ，可得 解得所以m＋n＝＋＝3.‎ 法二：由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，则cos(α＋45°)＝×－×＝－，·＝1××＝1，·＝1××＝，·＝1×1×＝－，由＝m ＋n ，得·＝m 2＋n ·，即＝m－n　①，同理可得·＝m ·＋n 2，‎ 即1＝－m＋n　②，联立①②，解得所以m＋n＝＋＝3.‎ ‎6.‎ 已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．‎ ‎(1)求AD的长度；‎ ‎(2)过点D作直线交AB，AC的延长线于不同两点E，F，且满足＝x，＝y，求＋的值，并说明理由．‎ 解：(1)根据角平分线定理：＝＝2，所以＝，‎ 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，‎ 所以2＝2＋·＋2＝－＋＝，所以AD＝.‎ ‎(2)因为＝x，＝y，所以＝＋＝＋，‎ 因为E，D，F三点共线，所以＋＝1，所以＋＝3.‎