2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第四章　第2讲　同角三角函数的基本关系及诱导公式

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第四章　第2讲　同角三角函数的基本关系及诱导公式

‎[基础题组练]‎ ‎1．(2020·晋冀鲁豫名校期末联考)若sin＝，且α是第三象限角，则cos＝(　　)‎ A.　　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：选D.sin＝－cos α＝，所以cos α＝－，因为α是第三象限角，所以sin α＝－，所以cos＝cos＝sin α＝－.‎ ‎2．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为(　　)‎ A．3 B．－3‎ C．1 D．－1‎ 解析：选B.因为α是第三象限角，故sin α<0，cos α<0，所以原式＝＋＝－1－2＝－3.‎ ‎3．已知tan(π－α)＝－，且α∈，则＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D． 解析：选A.由tan(π－α)＝－，得tan α＝.‎ ＝＝＝＝－.故选A.‎ ‎4．(2019·东北三省三校模拟)已知sin＝，则cos＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选B.由题意知，cos＝cos ‎＝－sin＝－.故选B.‎ ‎5．已知α∈[0，2π)，cos α＋3sin α＝，则tan α＝(　　)‎ A．－3 B．3或 C．3 D． 解析：选C.因为(cos α＋3sin α)2＝10，‎ 所以cos2α＋6sin αcos α＋9sin2α＝10，‎ 所以＝10，‎ 所以＝10，所以tan α＝3，故选C.‎ ‎6．(2020·惠州模拟)已知tan α＝，且α∈(π，)，则cos(α－)＝________．‎ 解析：由α∈(π，)知α为第三象限角，联立得得5sin2α＝1，故sin α＝－.‎ 答案：－ ‎7．若|sin θ|＋|cos θ|＝，则sin4θ＋cos4θ＝________．‎ 解析：|sin θ|＋|cos θ|＝，两边平方得，1＋|sin 2θ|＝，所以|sin 2θ|＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin2 2θ＝1－×＝.‎ 答案： ‎8．若＝3，则cos α－2sin α＝________．‎ 解析：由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cos α>0，即cos α＝3sin α－1，则cos2α＝1－sin2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝，所以cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－.‎ 答案：－ ‎9．已知α为第三象限角，‎ f(α)＝.‎ ‎(1)化简f(α)；‎ ‎(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．‎ 解：(1)f(α)＝ ‎＝＝－cos α.‎ ‎(2)因为cos(α－)＝，‎ 所以－sin α＝，‎ 从而sin α＝－.‎ 又α为第三象限角，‎ 所以cos α＝－＝－，‎ 所以f(α)＝－cos α＝.‎ ‎10．是否存在α∈，β∈使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：假设存在角α，β满足条件．‎ 由已知条件可得 由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.‎ 所以sin2α＝，所以sin α＝±.‎ 因为α∈，所以α＝±.‎ 当α＝时，由②式知cos β＝，‎ 又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式成立；‎ 当α＝－时，由②式知cos β＝，又β∈(0，π)，‎ 所以β＝，此时①式不成立，故舍去．‎ 所以存在α＝，β＝满足条件．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知θ为直线y＝3x－5的倾斜角，若A(cos θ，sin θ)，B(2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB的斜率为(　　)‎ A．3 B．－4‎ C. D．－ 解析：选D.由题意知tan θ＝3，kAB＝＝＝－.故选D.‎ ‎2．A＝{sin α，cos α，1}，B＝{sin2α，sin α＋cos α，0}，且A＝B，则sin2 019α＋cos2 018α＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．－1 D．±1‎ 解析：选C.当sin α＝0时，sin2α＝0，此时集合B中不符合集合元素的互异性，故舍去；当cos α＝0时，A＝{sin α，0，1}，B＝{sin2α，sin α，0}，此时sin2α＝1，得sin α＝－1，所以sin2 019α＋cos2 018α＝－1.‎ ‎3．已知θ∈，且＋＝35，则tan θ＝________．‎ 解析：依题意得12(sin θ＋cos θ)＝35sin θcos θ，令sin θ＋cos θ＝t，因为θ∈，所以t>0，则原式化为12t＝35·，解得t＝，故sin θ＋cos θ＝，则sin θcos θ＝，即＝，即＝，12tan2θ－25tan θ＋12＝0，解得tan θ＝或.‎ 答案：或 ‎4．(2020·襄阳模拟)已知tan＝2，则 ＝________．‎ 解析： ‎＝ ‎＝－，‎ 把tan(α＋)＝2代入得，原式＝－＝－3.‎ 答案：－3‎ ‎5．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：‎ ‎(1)＋的值；‎ ‎(2)m的值；‎ ‎(3)方程的两根及此时θ的值．‎ 解：(1)原式＝＋ ‎＝＋ ‎＝＝sin θ＋cos θ.‎ 由条件知sin θ＋cos θ＝，‎ 故＋＝.‎ ‎(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，‎ sin θcos θ＝，‎ 又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m＝.‎ ‎(3)由 得或 又θ∈(0，2π)，故θ＝或θ＝.‎ ‎6．在△ABC中，‎ ‎(1)求证：cos2＋cos2 ＝1；‎ ‎(2)若cossintan(C－π)＜0，‎ 求证：△ABC为钝角三角形．‎ 证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，‎ 所以＝－，‎ 所以cos＝cos＝sin ，‎ 所以cos2＋cos2＝1.‎ ‎(2)若cossintan(C－π)＜0，‎ 所以(－sin A)(－cos B)tan C＜0，即sin Acos Btan C＜0.‎ 因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，‎ 所以或 所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．‎