【数学】2014高考专题复习：第12章 概率与统计 (2)

【数学】2014高考专题复习：第12章 概率与统计 (2)

‎【数学】2013版《6年高考4年模拟》‎ 第十二章 概率与统计 第一部分 六年高考荟萃 ‎2013年高考题 一、选择题 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是 ‎ （　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案：B 第一、第二小组的频率分别是、，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为，则，。选B.‎ ．（2013年高考湖南卷（理））某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 （　　）‎ A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 ‎ 答案：D 本题考查抽样方法的判断。由于男生和女生存在性别差异，所以宜采用的抽样方法是分层抽样法，选D.‎ ．（2013年高考陕西卷（理））如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是 ‎ （　　）‎ A． B． C． D． ‎ 答案：A 该地点信号的概率=‎ 所以该地点无信号的概率是。选A ．（2013年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎ 设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，‎ 它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，‎ 由图可知所求的概率为：=。故选C ．（2013年高考新课标1（理））为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 （　　）‎ A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 答案：C． ‎ 我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，‎ 而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．‎ 了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．‎ 故选C．‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)‎ 甲组 乙组 ‎9‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4‎ 已知甲组数据的中位数为,乙组数据的平均数为,则的值分别为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎【命题立意】本题考查样本估计中的数字特征，中位数，平均数以及茎叶图。因为甲的中位数为15，由茎叶图可知，即。乙组数据的平均数为，解得，选C.‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知离散型随机变量的分布列为 ‎ 则的数学期望 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案：A ‎ ‎,故选A．‎ ．（2013年高考湖北卷（理））如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为,则的均值为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案：B 本题考查离散型随机变量的分布列。用分布列解决这个问题,根据题意易知X=0,1,2,3.列表如下 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ξ 所以.故选B.‎ 二、填空题 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则时间“”发生的概率为________‎ 答案： ‎ 产生0~1之间的均匀随机数 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））从个正整数中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于的概率为,则________.‎ 答案：8 ‎ 从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：（1，4），（2，3）共2种情况；‎ 从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为，由古典概型概率计算公式得：‎ 从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为p=．‎ 所以，即，解得n=8．‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））‎ 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为____________.‎ 答案：10‎ 设五个班级的数据分别为。由平均数方差的公式得，，显然各个括号为整数。设分别为，，则。设=‎ ‎=，由已知，由判别式得，所以，所以。‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））在区间上随机取一个数,使得成立的概率为______.‎ ‎　答案：‎ 设，则。由，解得，即当时，。由几何概型公式得所求概率为。‎ ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））现在某类病毒记作,其中正整数,(,)可以任意选取,则都取到奇数的概率为____________.‎ 答案：.‎ 可以取的值有：共个 可以取的值有：共个 所以总共有种可能 符合题意的可以取共个 符合题意的可以取共个 所以总共有种可能符合题意 所以符合题意的概率为。‎ 三、解答题 ．（2013年高考北京卷（理））下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.‎ ‎(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;‎ ‎(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;‎ ‎(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)‎ 解:设表示事件“此人于3月日到达该市”( =1,2,,13). ‎ 根据题意, ,且. ‎ ‎(I)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则, ‎ 所以. ‎ ‎(II)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且 ‎ P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= , ‎ P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= , ‎ P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= , ‎ 所以X的分布列为: ‎ ‎ ‎ 故X的期望. ‎ ‎(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.‎ ‎(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,求的概率;‎ ‎(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?‎ 解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分”的事件为A,则A事件的对立事件为“”, ‎ ‎, ‎ 这两人的累计得分的概率为. ‎ ‎(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为,都选择方案乙抽奖中奖的次数为,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 ‎ 由已知:, ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ 他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大. ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果相互独立,第局甲当裁判.‎ ‎(I)求第局甲当裁判的概率;‎ ‎(II)表示前局中乙当裁判的次数,求的数学期望.‎ ‎ ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.‎ ‎(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;‎ ‎(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数,求的分布列和数学期望.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（2013年高考湖南卷（理））某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.‎ ‎(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好 “相近”的概率;‎ ‎(II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.‎ 解: (Ⅰ) 由图知,三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点. ‎ 从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点,共8对格点恰好“相近”. ‎ 所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率 ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)三角形共有15个格点. ‎ 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4). ‎ ‎ ‎ 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1). ‎ 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0), (0,1,) ,(0,2),(0,3,). ‎ 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1). ‎ 如下表所示:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 频数 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ 概率P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设袋子中装有个红球,个黄球,个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.‎ ‎(1)当时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,.求分布列;‎ ‎(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若,求 解:(Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时,此时;当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时,此时;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时,此时;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时,此时;当两次摸到的球分别是蓝蓝时,此时;所以的分布列是:‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(Ⅱ)由已知得到:有三种取值即1,2,3,所以的分布列是:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以:,所以. ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t该产品获利润元,未售出的产品,每t亏损元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了t该农产品,以(单位:t,)表示下一个销售季度内的市场需求量,(单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润.‎ ‎(Ⅰ)将表示为的函数;‎ ‎(Ⅱ)根据直方图估计利润不少于57000元的概率;‎ ‎(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若,则取,且的概率等于需求量落入的概率),求利润的数学期望.‎ ‎ ‎ ．（2013年高考江西卷（理））小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为.若就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.‎ ‎(1) 求小波参加学校合唱团的概率;‎ ‎(2) 求的分布列和数学期望.‎ 解:(1)从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有种,时,两向量夹角为直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为. ‎ ‎(2)两向量数量积的所有可能取值为时,有两种情形;时,有8种情形;时,有10种情形.所以的分布列为:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是,假设各局比赛结果相互独立.‎ ‎(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;‎ ‎(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分的分布列及数学期望.‎ 解:(Ⅰ)记“甲队以3:0胜利”为事件,“甲队以3:1胜利”为事件,“甲队以3:2胜利”为事件,由题意,各局比赛结果相互独立, ‎ 故, ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ 所以,甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是,,; ‎ ‎(Ⅱ)设“乙队以3:2胜利”为事件,由题意,各局比赛结果相互独立,所以 ‎ ‎ ‎ 由题意,随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3,,根据事件的互斥性得 ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以 ‎ ．（2013年高考湖北卷（理））假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为.‎ ‎(I)求的值;(参考数据:若,有,,.)‎ ‎(II)某客运公司用.两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,.两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求型车不多于型车7辆.若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备型车.型车各多少辆?‎ 解:(I) ‎ ‎(II)设配备型车辆,型车辆,运营成本为元,由已知条件得 ‎ ‎,而 ‎ ‎ ‎ 作出可行域,得到最优解. ‎ 所以配备型车5辆,型车12辆可使运营成本最小. ‎ ．（2013年高考新课标1（理））一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.‎ 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立 ‎(1)求这批产品通过检验的概率;‎ ‎(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.‎ 设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥, ‎ ‎∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+= ‎ ‎(Ⅱ)X的可能取值为400,500,800,并且 ‎ P(X=400)=1-=,P(X=500)=,P(X=800)==, ‎ ‎∴X的分布列为 X ‎400‎ ‎500‎ ‎800‎ P ‎ ‎ EX=400×+500×+800×=506.25 ‎ ．（2013年高考四川卷（理））某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生.‎ ‎(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率;‎ ‎(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行次后,统计记录了输出的值为的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.‎ 运行 次数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 甲的频数统计表(部分) 乙的频数统计表(部分)‎ 运行 次数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 ‎ ‎ 当时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大;‎ ‎(Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出的值为2的次数的分布列及数学期望.‎ 解:.变量x是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能. ‎ 当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故; ‎ 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故; ‎ 当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故 ‎ 当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:‎ 输出的值 ‎ 为的频率 输出的值 ‎ 为的频率 输出的值 ‎ 为的频率 甲 乙 ‎ ‎ 比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大 ‎ ‎(3)随机变量可能饿取值为0,1,2,3. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故的分布列为 ‎ ‎ 所以 ‎ 即的数学期望为1 ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有位学生,每次活动均需该系位学生参加(和都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 ‎(Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;‎ ‎(Ⅱ)求使取得最大值的整数.‎ 解: (Ⅰ) ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ 则. ‎ 所以,. ‎ ‎ ‎ ‎2012年高考题 ．（2012辽宁理）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形,领边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 【答案】C ‎ ‎【解析】设线段AC的长为cm,则线段CB的长为()cm,那么矩形的面积为cm2, ‎ 由,解得.又,所以该矩形面积小于32cm2的概率为,故选C ‎ ‎【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力,属于中档题. ‎ ．（2012湖北理）如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 （　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎ 考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法. ‎ 解析:令,扇形OAB为对称图形,ACBD围成面积为,围成OC为,作对称轴OD,则过C点.即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积,.在扇形OAD中为扇形面积减去三角形OAC面积和,,,扇形OAB面积,选A. ‎ ．（2012广东理）(概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 解析:D.两位数共有90个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个,个位数为0的有5个,所以概率为. ‎ ．（2012北京理）设不等式组表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】题目中表示的区域表示正方形区域,而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此,故选D ‎ ‎【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公式、概率. ‎ ．（2012上海理）设,. 随机变量取值、、、、的概率均为0.2,随机变量取值、、、、的概率也为0.2. ‎ 若记、分别为、的方差,则（　　）‎ A．>. B．=. C．<.‎ D．与的大小关系与、、、的取值有关.‎ ‎ [解析]=t,++++)=t, ‎ ‎++++] ‎ ‎; ‎ 记,,,,同理得 ‎ ‎, ‎ 只要比较与有大小, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,所以,选A. ‎ ‎[评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项D匹配,若为此范围面困惑,那就中了阴招!稍加计算,考生会发现和相等,其中的智者,‎ 更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值,故比第一组更“集中”、更“稳定”,根据方差的涵义,立得>而迅即攻下此题. ‎ ．（2012上海理）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示).‎ ‎ [解析] 设概率p=,则,求k,分三步:①选二人,让他们选择的项目相同,有种;②确定上述二人所选择的相同的项目,有种;③确定另一人所选的项目,有种. 所以,故p=. ‎ ．（2012上海春）某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).‎ ‎ ‎ ．（2012江苏）现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____.‎ ‎ 【答案】. ‎ ‎【考点】等比数列,概率. ‎ ‎【解析】∵以1为首项,为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8, ‎ ‎∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是. ‎ ．（2012新课标理）某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________‎ ‎ 【解析】使用寿命超过1000小时的概率为 ‎ 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 ‎ 得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 ‎ 超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率 ‎ 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ‎ ．（2012天津理）现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(Ⅰ)求这4个人中恰有2‎ 人去参加甲游戏的概率: (Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: (Ⅲ)用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. ‎ 依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件,则. ‎ ‎(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为. ‎ ‎(2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件,则,由于与互斥,故 ‎ ‎ ‎ 所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为. ‎ ‎(3)的所有可能的取值为,由于与互斥,与互斥,故 ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ 随机变量的数学期望. ‎ ‎【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考常新,对于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型,独立事件、互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性问题,理解是基础,转化是关键.. ‎ ．（2012新课标理）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进枝玫瑰花,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量(单位:枝,)的函数解析式. (2)‎ 花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.‎ ‎(i)若花店一天购进枝玫瑰花,表示当天的利润(单位:元),求的分布列,‎ 数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.‎ ‎【解析】(1)当时, ‎ 当时, ‎ 得: ‎ ‎(2)(i)可取,, ‎ ‎ ‎ 的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(ii)购进17枝时,当天的利润为 ‎ ‎ 得:应购进17枝 ‎ ．（2012浙江理）已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)求X的数学期望E(X).‎ ‎【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点. ‎ ‎(Ⅰ) X的可能取值有:3,4,5,6. ‎ ‎; ; ‎ ‎; . ‎ 故,所求X的分布列为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎ (Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为: ‎ E(X)=. ‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) . ‎ ．（2012重庆理）(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)‎ 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 ‎【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式. ‎ 解:设分别表示甲、乙在第次投篮投中,则 ‎ ‎,, ‎ ‎(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)的所有可能为: ‎ 由独立性知: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综上知,有分布列 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 从而,(次) ‎ ．（2012四川理）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和.(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求的值;(Ⅱ)设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望.‎ ‎[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么 ‎ ‎1-P(C)=1-P= ,解得P=4 分 ‎ ‎(2)由题意,P(=0)= ‎ P(=1)= ‎ P(=2)= ‎ P(=3)= ‎ 所以,随机变量的概率分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ P ‎ ‎ 故随机变量X的数学期望为: ‎ E=0 . ‎ ‎[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. ‎ ．（2012陕西理）某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:‎ 从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求的分布列及数学期望.‎ 解析:设表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得的分布列如下:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎(1)表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A对应三种情形: ‎ ‎①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟. ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎(2)解法一 所有可能的取值为 ‎ 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟, ‎ 所以 ‎ 对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟. ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟, ‎ 所以 ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.5‎ ‎0.49‎ ‎0.01‎ ‎ ‎ 解法二 所有可能的取值为 ‎ 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟, ‎ 所以 ‎ 对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟, ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.5‎ ‎0.49‎ ‎0.01‎ ‎ ‎ ．（2012山东理）先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(Ⅰ)‎ 求该射手恰好命中一次得的概率;(Ⅱ)求该射手的总得分的分布列及数学期望.‎ 解析:(Ⅰ); ‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎, ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=. ‎ ．（2012辽宁理）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.‎ ‎(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关?‎ ‎(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽 样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望和方差.‎ 附:‎ ‎【答案及解析】 ‎ ‎(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下: ‎ ‎ ‎ 由2×2列联表中数据代入公式计算,得: ‎ ‎ ‎ 因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关. ‎ ‎(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为,由题意, ‎ ‎,从而X的分布列为: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望和方差,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键. ‎ ．（2012江西理）如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).‎ ‎(1)求V=0的概率;(2)求V的分布列及数学期望.‎ ‎【解析】 ‎ 解:(1)从6个点中随机地选取3个点共有种选法,选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有种,因此V=0的概率 ‎ ‎(2)V的所有可能值为,因此V的分布列为 V ‎0‎ P 由V的分布列可得: ‎ EV= ‎ ‎【点评】本题考查组合数,随机变量的概率,离散型随机变量的分布列、期望等. 高考中,概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体,考查统计学中常见的数据特征:如平均数,中位数,频数,频率等或古典概型;二、以应用题为载体,考查条件概率,独立事件的概率,随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查. ‎ ．（2012江苏）设为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,.(1)求概率;(2)求的分布列,并求其数学期望.‎ ‎【答案】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱, ‎ ‎∴共有对相交棱. ‎ ‎∴ . ‎ ‎(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对, ‎ ‎∴ ,. ‎ ‎∴随机变量的分布列是:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎ ∴其数学期望. ‎ ‎【考点】概率分布、数学期望等基础知识. ‎ ‎【解析】(1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率. ‎ ‎(2)求出两条棱平行且距离为的共有6对,即可求出,从而求出(两条棱平行且距离为1和两条棱异面),因此得到随机变量的分布列,求出其数学期望. ‎ ．（2012湖南理）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎10‎ 结算时间(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(Ⅰ)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率.(注:将频率视为概率)‎ 【解析】(1)由已知,得所以 ‎ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布为 ‎ X ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ P X的数学期望为 ‎ ‎. ‎ ‎(Ⅱ)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2 钟”,为该顾客前面第位顾客的结算时间,则 ‎ ‎. ‎ 由于顾客的结算相互独立,且的分布列都与X的分布列相同,所以 ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 故该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率为. ‎ ‎【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%知 ‎ 从而解得,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 ‎ 该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率. ‎ ．（2012湖北理）根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:‎ 降水量X 工期延误天数 ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:(Ⅰ)工期延误天数的均值与方差; (Ⅱ)在降水量X至少是的条件下,工期延误不超过6天的概率. ‎ 考点分析:本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差. ‎ 解析:(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有: ‎ ‎, ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ 所以的分布列为:‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎ ‎ 于是,; ‎ ‎. ‎ 故工期延误天数的均值为3,方差为. ‎ ‎(Ⅱ)由概率的加法公式, ‎ 又. ‎ 由条件概率,得. ‎ 故在降水量X至少是mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是. ‎ ．（2012广东理）(概率统计)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:、、、、、.‎ ‎(Ⅰ)求图中的值;(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望.‎ 解析:(Ⅰ)由,解得. ‎ ‎(Ⅱ)分数在、的人数分别是人、人.所以的取值为0、1、2. ‎ ‎,,,所以的数学期望是. ‎ ．（2012福建理）受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计书数据如下:‎ 品牌 甲 乙 首次出现故障时间年 轿车数量(辆)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎45‎ ‎5‎ ‎45‎ 每辆利润(万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 将频率视为概率,解答下列问题:(I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为,生产一辆乙品牌轿车的利润为,分别求的分布列;‎ ‎(III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.‎ ‎【考点定位】本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、应用意识、考查必然与或然思想. ‎ 解:(1)设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件,则. ‎ ‎(2)依题意的分布列分别如下:‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎(3)由(2)得 ‎ ‎ ‎ ‎,所以应生产甲品牌的轿车. ‎ ．（2012大纲理）乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为,各次发球的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;‎ ‎(2)表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望.‎ ‎【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解,以及分布列和期望值的问题.首先要理解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析、讨论,并结合独立事件的概率求解结论. ‎ 解:记为事件“第i次发球,甲胜”,i=1,2,3,则. ‎ ‎(Ⅰ)事件“开始第次发球时,甲、乙的比分为比”为,由互斥事件有一个发生的概率加法公式得 ‎ ‎. ‎ 即开始第次发球时,甲、乙的比分为比的概率为0.352 ‎ ‎(Ⅱ)由题意. ‎ ‎; ‎ ‎=0.408; ‎ ‎; ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎【点评】首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用,以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比较亲切,容易入手,但是在讨论情况的时候,容易丢情况. ‎ ．（2012年高考（北京理））近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况 ‎,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;‎ ‎(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,其中,.当数据的方差最大时,写出的值(结论不要求证明),并求此时的值.‎ ‎(注:方差,其中为的平均数)‎ ‎【考点定位】此题的难度集中在第三问,其他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻. ‎ ‎(1)由题意可知: ‎ ‎(2)由题意可知: ‎ ‎(3)由题意可知:,因此有当,,时,有. ‎ ．（2012安徽理）某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道类试题和一道类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有道试题,其中有道类型试题和道类型试题,以表示两次调题工作完成后,试题库中类试题的数量.(Ⅰ)求的概率;(Ⅱ)设,求的分布列和均值(数学期望).‎ ‎【解析】(I)表示两次调题均为类型试题,概率为 ‎ ‎(Ⅱ)时,每次调用的是类型试题的概率为 ‎ 随机变量可取 ‎ ‎,,‎ ‎ ‎ 答:(Ⅰ)的概率为 ‎ ‎(Ⅱ)求的均值为 ‎ ‎2011年高考题 ‎1.(2011年高考浙江卷理科9)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率 ‎（A） （B） （C） （D ） ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】由古典概型的概率公式得.‎ ‎2. (2011年高考辽宁卷理科5)从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3. (2011年高考全国新课标卷理科4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：因为甲乙两位同学参加同一个小组有3种方法，两位同学个参加一个小组共有种方法；所以，甲乙两位同学参加同一个小组的概率为 点评：本题考查排列组合、概率的概念及其运算和分析问题、解决问题的能力。‎ ‎【解析】D.由题得甲队获得冠军有两种情况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获得冠军的概率所以选D.‎ ‎5．(2011年高考湖北卷理科7)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576‎ 答案：B ‎ 解析：系统正常工作概率为，所以选B.‎ ‎6．(2011年高考陕西卷理科10)甲乙两人一起去“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】：各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览有种，且等可能，最后一小时他们同在一个景点有种，则最后一小时他们同在一个景点的概率是，故选D ‎7. (2011年高考四川卷理科12)在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量a=（a,b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：B 解析：基本事件：.其中面积为2的平行四边形的个数 ‎；其中面积为4的平行四边形的为； m=3+2=5故. ‎ ‎8．(2011年高考福建卷理科4)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】C 二、填空题:‎ ‎1.(2011年高考浙江卷理科15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记为该毕业生得到面试得公司个数。若，则随机变量的数学期望 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】：，的取值为0，1，2，3‎ ‎，‎ ‎，‎ 故 ‎2. (2011年高考江西卷理科12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】小波周末不在家看书包含两种情况:一是去看电影;二是去打篮球;所以小波周末不在家看书的概率为.‎ ‎3. (2011年高考湖南卷理科15)如图4，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形 EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1） ;（2） .‎ 答案：; ‎ 解析：（1）是几何概型：；（2）是条件概率：.‎ 评析：本小题主要考查几何概型与条件概率的计算.‎ ‎4. (2011年高考湖北卷理科12)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为 （结果用最简分数表示）‎ 答案： ‎ 解析：因为30瓶饮料中未过期饮料有30-3=27瓶，故其概率为.‎ ‎5.(2011年高考重庆卷理科13)将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 ‎ 解析： 。硬币投掷6次，有三类情况，①正面次数比反面次数多；②反面次数比正面次数多；③正面次数而后反面次数一样多；，③概率为，①②的概率显然相同，故①的概率为 ‎6.(2011年高考安徽卷江苏5)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，所有可能的取法有6种, 满足“其中一个数是另一个的两倍”的所有可能的结果有(1,2),(2,4)共2种取法,所以其中一个数是另一个的两倍的概率是.‎ ‎7．(2011年高考福建卷理科13)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。‎ ‎【答案】‎ ‎8．(2011年高考上海卷理科9)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表 请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯 定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案 。‎ ‎【答案】‎ ‎9．(2011年高考上海卷理科12)随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 ‎ （默认每月天数相同，结果精确到）。‎ ‎【答案】‎ 三、解答题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科18)（本小题满分12分）‎ 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。‎ ‎（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；‎ ‎（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【解析】（Ⅰ）红队至少两名队员获胜的概率为=0.55.‎ ‎（Ⅱ）取的可能结果为0,1,2,3,则 ‎=0.1;‎ ‎++=0.35;‎ ‎=0.4;‎ ‎=0.15.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.35‎ ‎0.4‎ ‎0.15‎ 数学期望=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.‎ ‎2. (2011年高考辽宁卷理科19)（本小题满分12分）‎ ‎ 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.‎ ‎ （I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；‎ ‎ （II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：‎ 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？‎ 附：样本数据x1，x2，…，xa的样本方差，其中为样本平均数.‎ ‎（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且 即X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P X的数学期望是：‎ ‎.‎ ‎（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎ ………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎ ………………10分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.‎ ‎3.(2011年高考安徽卷理科20)（本小题满分13分）‎ 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.‎ ‎（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？‎ ‎（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；‎ ‎（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。‎ ‎【命题意图】：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列，均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识。‎ ‎【解析】：（Ⅰ）无论怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率为=‎ ‎（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，所需派出人员数目的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所需派出人员数目的均值（数字期望）是 ‎（Ⅲ）（方法一）由（2）的结论知，当一甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，=，‎ 依据常理，优先派出完成任务概率最大的人，可减少派出人员数目的均值.‎ 下面证明：对与，，的任意排列，，，都有≥.‎ 事实上，‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎≥≥0，‎ 即≥成立.‎ ‎（方法二）：①可将（Ⅱ）中所求的改写为，若交换前两人的派出顺序，则变为，可见，当时，交换前两人的派出顺序可减少均值;‎ ‎②也可将（Ⅱ）中所求的改写为，交换后两人的派出顺序，则变为，由此可见，若保持派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减少均值.‎ 综合①②可知，当（，，）=（，，）时，达到最小，‎ 即完成任务概率最大的人优先派出，可减少所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.‎ ‎【解题指导】：当问题的情境很复杂时，静下心来读懂题意是第一要务，在读懂题意的前提下抽象概括出数学模型。第三问需用合情推理与演绎推理相结合的办法解决，同时运用分类讨论思想，难度非常大。但这一问很好地体现了《考试说明》的要求“能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断。”“创新意识是理性思维的高层次表现，对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”‎ ‎，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强。”‎ ‎4. (2011年高考全国新课标卷理科19)（本小题满分12分）‎ 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表 指标值分组 频数 ‎8‎ ‎20‎ ‎42‎ ‎22‎ ‎8‎ ‎ B配方的频数分布表 指标值分组 频数 ‎4‎ ‎12‎ ‎42‎ ‎32‎ ‎8‎ ‎（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；‎ ‎（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为 ‎ 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）‎ 解析：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。‎ 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42‎ ‎（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，,054,0.42，因此X的可能值为-2,2,4‎ ‎ P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,‎ X ‎-2‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎0.04‎ ‎0.54‎ ‎0.42‎ 即X的分布列为 X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68‎ ‎5. (2011年高考天津卷理科16)（本小题满分13分）‎ 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）‎ ‎（Ⅰ）求在一次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.‎ ‎【解析】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.‎ ‎（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件,则 ‎.‎ ‎（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B,则B=,又 ‎,且互斥,所以.‎ ‎（Ⅱ）由题意可知的所有可能取值为0,1,,2,‎ P(=0)=,‎ P(=1)=,‎ P(=2) =,‎ 所以的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 的数学期望=+=.‎ ‎6．(2011年高考江西卷理科16)（本小题满分12分）‎ 某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4‎ 杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．‎ ‎ （1）求X的分布列；‎ ‎ （2）求此员工月工资的期望．‎ 解析：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，‎ 则，所以所求的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎（2）设Y表示该员工的月工资，则Y的所有可能取值为3500，2800，2100，‎ 相对的概率分别为，，，‎ 所以．‎ 所以此员工工资的期望为2280元．‎ 本题考查排列、组合的基础知识及概率分布、数学期望．‎ ‎7. (2011年高考湖南卷理科18)（本小题满分12分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：‎ 日销售量（件）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）.设某天开始营业时由该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货.将频率视为概率.‎ 求当天商店不进货的概率；‎ 记为第二天开始营业时该商品视为件数，求的分布列和数学期望.‎ 解：=+‎ 由题意知，的可能取值为2，3.‎ ‎+‎ ‎+‎ 故的分布列为 所以的数学期望为.‎ 评析：本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法.求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法，以及互斥事件概率的求法.‎ ‎8. (2011年高考广东卷理科17)（本小题满分13分）‎ 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：‎ ‎（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；‎ ‎（2）当产品中的微量元素x，y满足≥175且y≥75，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；‎ ‎（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数 的分布列及其均值（即数学期望）.‎ ‎【解析】解：（1），即乙厂生产的产品数量为35件。‎ ‎ （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品 ‎ 故乙厂生产有大约（件）优等品，‎ ‎ （3）的取值为0，1，2。‎ ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ 故 ‎9.(2011年高考陕西卷理科20)（本小题满分13分）‎ 如图，A地到火车站共有两条路径 和 ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：‎ 时间（分钟）‎ ‎ 的频率 ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎ 的频率 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。‎ ‎（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？‎ ‎（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望。‎ ‎【解析】：（Ⅰ） 表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”， 表示事件“乙选择路径时，50分钟内赶到火车站”， 用频率估计相应的概率可得，。甲应选择 ‎，乙应选择 ‎（Ⅱ）A、B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知 又由题意知，A，B独立，‎ ‎ ‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.04‎ ‎0.42‎ ‎0.54[来源:学_科_网]‎ ‎ ‎ ‎10.(2011年高考重庆卷理科17)（本小题满分13分。（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问8分.）‎ 某市公租房房屋位于A.B.C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:‎ ‎（Ⅰ）若有2人申请A片区房屋的概率;‎ ‎（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的分布列与期望。‎ 解析：（Ⅰ）所有可能的申请方式有种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为 ‎ （Ⅱ）的所有可能值为1,2,3.又 ‎，，‎ 综上知，的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 从而有 ‎11.(2011年高考四川卷理科18)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时。‎ ‎（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望；‎ 解析：‎ ‎（1）所付费用相同即为元。设付0元为，付2元为，付4元为 则所付费用相同的概率为 ‎（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为 分布列 ‎.‎ ‎12. (2011年高考全国卷理科18) (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎ 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立 ‎(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；‎ ‎(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求的期望。 ‎ ‎【解析】：设该车主购买乙种保险的概率为，由题：，解得 ‎（Ⅰ）设所求概率为，则故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率为0.8.‎ ‎(Ⅱ) 甲乙两种保险都不购买的概率为1-0.8=0.2.设甲乙两种保险都不购买的车主数为，则B（100，0.2），‎ 答：该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率为0.8, 的期望值是20。‎ ‎13．(2011年高考北京卷理科17)本小题共13分 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。‎ ‎ （Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；‎ ‎ （Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。‎ ‎ （注：方差，其中为，，…… 的平均数）‎ ‎【命题意图】本题考查运用茎叶图给出统计数据求平均值和方差、利用统计数据求概率和随机变量的分布和期望的计算，考查数据处理能力和运算求解能力,是中档题.‎ ‎【解析】（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，‎ 所以平均数为 方差为 ‎（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=‎ 同理可得 所以随机变量Y的分布列为：‎ Y ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ P EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19‎ ‎14．(2011年高考福建卷理科19)（本小题满分13分）‎ 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 ‎（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0．4‎ a b ‎0．1‎ 且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；‎ ‎（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：‎ ‎ 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4‎ ‎ 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3‎ ‎8 3 4 3 4 4 7 5 6 7‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．‎ ‎ （III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．‎ 注：（1）产品的“性价比”=；‎ ‎ （2）“性价比”大的产品更具可购买性．‎ 解析：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。‎ 解：（I）因为 又由X1的概率分布列得 由 ‎（II）由已知得，样本的频率分布表如下：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ 所以 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.‎ ‎（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：‎ 因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为 据此，乙厂的产品更具可购买性。‎ ‎2010年高考题 一、选择题 ‎1.（2010辽宁理）（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ‎（A） (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的计算问题 ‎【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，则 P(A)=P(A1)+ P(A2)=‎ ‎2.（2010江西理）11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为和，则 A. = B. < C. > D。以上三种情况都有可能 ‎【答案】B ‎【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业，作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为 ‎，总概率为；同理，方法二：每箱的选中的概率为，总事件的概率为，作差得<。‎ ‎3.（2010安徽文）（10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 ‎（A） （A） （A） （A）‎ ‎【答案】C ‎【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件。两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线）包括10个基本事件，所以概率等于.‎ ‎【方法技巧】对于几何中的概率问题，关键是正确作出几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件保护的基本事件数，进而利用概率公式求概率.‎ ‎4.（2010北京文）⑶‎ 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是 ‎ （A） (B) （C） (D)‎ ‎【答案】D ‎5.（2010广东理）8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）‎ A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒 ‎【答案】C 每次闪烁时间5秒，共5×120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×（120-1）=595s．总共就有600+595=1195s．‎ ‎6.（2010湖北理）4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是 A B C D ‎ 二、填空题 ‎1.（2010上海文）10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张 均为红桃”的概率为 （结果用最简分数表示）。‎ ‎【答案】‎ 解析：考查等可能事件概率“抽出的2张均为红桃”的概率为 ‎2.（2010湖南文）11.在区间[-1,2]上随即取一个数x，则x∈[0,1]的概率为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【命题意图】本题考察几何概率，属容易题。‎ ‎3.（2010辽宁文）（13）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，‎ 恰好排成英文单词BEE的概率为 。 ‎ ‎【答案】‎ 解析： 题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：，‎ 概率为：‎ ‎4.（2010重庆文）（14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________ .‎ 解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率 ‎5.（2010重庆理）（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________.‎ 解析：由得 ‎6.（2010湖北文）13.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这咱新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）。‎ ‎【答案】0.9744‎ ‎【解析】分情况讨论:若共有3人被治愈，则；‎ 若共有4人被治愈，则，故至少有3人被治愈概率 ‎7.（2010湖南理）11．在区间上随机取一个数x，则的概率为 ‎ ‎8.（2010湖南理）9．已知一种材料的最佳入量在110g到210g之间。若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g ‎9.（2010安徽理）15、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。‎ ‎①； ②； ③事件与事件相互独立；‎ ‎④是两两互斥的事件； ⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关 ‎【答案】②④‎ ‎【解析】易见是两两互斥的事件，而 ‎。‎ ‎【方法总结】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键.本题在是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化，可知事件B的概率是确定的.‎ ‎10.（2010湖北理）14．某射手射击所得环数的分布列如下：‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P x ‎0.1‎ ‎0.3‎ y 已知的期望E=8.9，则y的值为 .‎ ‎【答案】0.4‎ ‎【解析】由表格可知：‎ 联合解得.‎ ‎11.（2010福建理）13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。‎ ‎【答案】0．128‎ ‎【解析】由题意知，所求概率为。‎ ‎【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。‎ ‎12.（2010江苏卷）3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ __.‎ ‎【解析】考查古典概型知识。‎ 三、解答题 ‎1.（2010浙江理）19.(本题满分l4分)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．‎ ‎（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望；‎ ‎(II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求．‎ 解析：本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。‎ ‎ (Ⅰ)解：由题意得ξ的分布列为 ξ ‎50％‎ ‎70％‎ ‎90％‎ p 则Εξ=×50％+×70％+90％=.‎ ‎（Ⅱ）解：由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为+=.‎ 由题意得η～（3，）‎ 则P（η=2）=()2(1-)=.‎ ‎2.（2010全国卷2理）（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． ‎ ‎（Ⅰ）求p；‎ ‎ （Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；‎ ‎ （Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．‎ ‎ ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题的前3题的位置逐渐后移到第20题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度重视.‎ ‎3.（2010全国卷2文）（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T，T，T，T，电源能通过T，T，T的概率都是P，电源能通过T的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立。已知T，T，T中至少有一个能通过电流的概率为0.999。‎ ‎（Ⅰ）求P；‎ ‎（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率。‎ ‎【解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，‎ ‎（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得P。‎ ‎（2）将MN之间能通过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。‎ ‎4.（2010江西理）18. （本小题满分12分）‎ 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。‎ （1） 求的分布列；‎ （2） 求的数学期望。‎ ‎【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。‎ （1） 必须要走到1号门才能走出，可能的取值为1，3，4，6‎ ‎，，，‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ 分布列为：‎ ‎（2）小时 ‎5.（2010重庆文）（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）‎ 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6），求：‎ ‎（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；‎ ‎（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.‎ ‎6.（2010北京理）(17)(本小题共13分) ‎ 某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；‎ ‎(Ⅱ)求，的值；‎ ‎(Ⅲ)求数学期望ξ。‎ 解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知 ‎ ，，‎ ‎（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ‎ ，‎ ‎（II）由题意知 ‎ ‎ ‎ ‎ 整理得 ，‎ 由，可得，.‎ ‎（III）由题意知 ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎7.（2010四川理）（17）（本小题满分12分）‎ 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。‎ ‎（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.‎ 解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么 P(A)=P(B)=P(C)=‎ P()=P(A)P()P()=‎ 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为……………………………………6分 ‎（2）ξ的可能值为0,1,2,3‎ P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)‎ 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P Eξ=0×+1×+2×+3×=………………………………………………12分 ‎8.（2010天津理）（18）.（本小题满分12分）‎ 某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。‎ ‎（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率 ‎（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；‎ ‎（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。‎ ‎【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。‎ ‎（1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则~.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率 ‎（Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则 ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为 ‎ ‎ ‎ =‎ 所以的分布列是 ‎9.（2010广东文）17.（本小题满分12分）‎ 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：‎ 文艺节目 新闻节目 总计 ‎20至40岁 ‎40‎ ‎18‎ ‎58‎ 大于40岁 ‎15‎ ‎27‎ ‎42‎ 总计 ‎55‎ ‎45‎ ‎100‎ ‎10.（2010福建文）18．（本小题满分12分）‎ ‎ 设平顶向量＝ （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n {1,2,3,4}．‎ ‎ （I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果；‎ ‎ （II）记“使得（-）成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率。‎ ‎11.（2010全国卷1理）(18)(本小题满分12分)‎ ‎ 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，‎ 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．‎ 各专家独立评审．‎ ‎ (I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；‎ ‎ (II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．‎ ‎ ‎ ‎12.（2010四川文）（17）（本小题满分12分）‎ 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。‎ ‎（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.‎ ‎13.（2010山东理）‎ ‎=，‎ 所以的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 数学期望=++4=。‎ ‎【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。‎ ‎14.（2010福建理）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ P 所以=。‎ ‎15.（2010江苏卷）22.本小题满分10分）‎ 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。‎ （1） 记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；‎ （2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。‎ ‎[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。‎ 解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且 ‎ P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18，‎ ‎ P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。‎ ‎ 由此得X的分布列为：‎ X ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎-3‎ P ‎0.72‎ ‎0.18‎ ‎0.08‎ ‎0.02‎ ‎（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件。‎ ‎ 由题设知，解得，‎ ‎ 又，得，或。‎ 所求概率为 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。‎ ‎2009年高考题 一、选择题 ‎1.（09山东11）在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率 为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解析】在区间[-1，1]上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.‎ 答案 A ‎2.(09山东文)在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概 率为 ( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】在区间 上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A. ‎ 答案 A ‎3.（09安徽卷理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等 于 （ ）‎ A B C D E F A． B． C． D．‎ ‎【解析】如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 ‎6个点中任意选两个点连成直线，共有 种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有 ‎ ‎ 共12对，所以所求概率为，选D 答案　　D ‎４.（2009安徽卷文）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于 （ ）‎ ‎ A.1 B. C. D. 0 ‎ ‎【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为1，选A。 ‎ 答案 A ‎5、（2009江西卷文）甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】所有可能的比赛分组情况共有种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选. ‎ ‎ 答案 D ‎6.（2009江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解析】故选D 答案 D ‎7.（2009四川卷文）设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本： ‎ 甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639‎ 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620‎ 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论 是 （ ）‎ ‎ A.甲批次的总体平均数与标准值更接近 ‎ B.乙批次的总体平均数与标准值更接近 ‎ C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 ‎ D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 ‎【解析】甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613‎ 答案 A ‎8.（2009辽宁卷文）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 ‎ 因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝‎ ‎ 取到的点到O的距离大于1的概率为 答案 B ‎９.（2009年上海卷理）若事件与相互独立，且，则的值等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】＝＝‎ 答案 B 二、填空题 ‎10.（2009广东卷理）已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则 ， ．‎ ‎【解析】由题知，，，解得 ‎，.‎ 答案 ‎ ‎11.（2009安徽卷理）若随机变量，则=________.‎ 答案 ‎ ‎12.（2009安徽卷文）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线 段为边可以构成三角形的概率是________。‎ ‎【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:2、3、4或3、4、5或2、4、5，故=0.75. ‎ 答案 0.75‎ ‎13.（2009江苏卷）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 . ‎ ‎【解析】 考查等可能事件的概率知识。 ‎ 从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。‎ 答案 0.2‎ ‎14.（2009江苏卷）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： ‎ 学生 ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 甲班 ‎6‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎7‎ 乙班 ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 则以上两组数据的方差中较小的一个为= . ‎ ‎【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。‎ 甲班的方差较小，数据的平均值为7，‎ 故方差 ‎ 答案 ‎ ‎15.（2009湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、‎ ‎0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。‎ ‎【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76‎ 答案 0.24 0.76‎ ‎16.（2009福建卷文）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。‎ ‎【解析】如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是。 ‎ 答案 ‎ ‎17．（2009重庆卷文）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差 （克）（用数字作答）．‎ ‎【解析】因为样本平均数，则样本方差所以 答案 2‎ 三、解答题 ‎18、（2009浙江卷理）（本题满分14分）在这个自然数中，任取个数．‎ ‎ （I）求这个数中恰有个是偶数的概率；‎ ‎ （II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．‎ 解（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则； ‎ ‎（II）随机变量的取值为的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以的数学期望为 ‎ ‎19、（2009北京卷文）（本小题共13分）‎ 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.‎ ‎（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；‎ ‎（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率. ‎ 解（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.‎ ‎（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学 生在上学路上遇到次红灯的事件.‎ 则由题意，得，‎ ‎.‎ 由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，‎ ‎∴事件B的概率为.‎ ‎20、（2009北京卷理）（本小题共13分）‎ 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.‎ ‎（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；‎ ‎（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.‎ 解 （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.‎ ‎（Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.‎ 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），‎ ‎∴，‎ ‎∴即的分布列是 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎∴的期望是.‎ ‎21、(2009山东卷理)(本小题满分12分)‎ 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3‎ 分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第 三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列 为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 4 ‎ ‎ 5 ‎ ‎ p ‎ ‎0.03 ‎ ‎ P1 ‎ ‎ P2 ‎ P3 ‎ P4 ‎ ‎（1）求q的值； ‎ ‎（2）求随机变量的数学期望E;‎ ‎（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。‎ 解 （1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,. ‎ 根据分布列知: =0时=0.03,所以 ‎，q=0.8.‎ ‎（2）当=2时, P1= ‎ ‎=0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24‎ 当=3时, P2 ==0.01,‎ 当=4时, P3==0.48,‎ 当=5时, P4=‎ ‎=0.24‎ 所以随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 4 ‎ ‎ 5 ‎ ‎ p ‎ ‎0.03 ‎ ‎ 0.24 ‎ ‎ 0.01 ‎ ‎0.48 ‎ ‎0.24 ‎ 随机变量的数学期望 ‎（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为 ‎;‎ 该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.‎ 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.‎ ‎22、（2009安徽卷理）（本小题满分12分）‎ ‎ 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.‎ 本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。‎ 解 随机变量X的分布列是 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的均值为 附：X的分布列的一种求法 共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ ‎⑥‎ A—B—C—D A—B—C ‎└D A—B—C ‎└D A—B—D ‎└C A—C—D ‎└B 在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。‎ ‎23、（2009江西卷理）（本小题满分12分）‎ 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令表示该公司的资助总额．‎ ‎ (1) 写出的分布列； (2) 求数学期望． ‎ 解（1）的所有取值为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）. ‎ ‎24、(2009湖北卷理)（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量，求的分布列和数学期望。 ‎ 解 依题意，可分别取、6、11取，则有 ‎ ‎ 的分布列为 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎25、（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）‎ 某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。‎ ‎（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A） ‎ 解（Ⅰ）依题意X的分列为 ‎ ‎（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.‎ ‎ B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.‎ 依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，‎ ‎,‎ 所求的概率为 ‎ ‎ ‎ ……‎ ‎26、（2009湖南卷文）（本小题满分12分）‎ 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：‎ ‎（I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率； ‎ ‎（II）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.‎ 解 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，‎ 相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，‎ 且 ‎ ‎（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P= ‎ ‎（Ⅱ）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率 ‎ ‎ P=‎ ‎27、（2009全国卷Ⅰ文）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。‎ ‎（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。‎ ‎【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。‎ 解 记“第局甲获胜”为事件，“第局甲获胜”为事件。‎ ‎（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则 ‎，由于各局比赛结果相互独立，故 ‎。‎ ‎（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而 ‎，由于各局比赛结果相互独立，故 ‎ ‎ ‎28、（2009陕西卷文）（本小题满分12分）‎ 椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1‎ ‎(Ⅰ) 求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率；‎ ‎（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。‎ 解 解答1（Ⅰ）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”‎ 所以 ‎（Ⅱ）设事件表示“第个月被投诉的次数为0”事件表示“第个月被投诉的次数为1”事件表示“第个月被投诉的次数为2”事件D表示“两个月内被投诉2次”‎ 所以 所以两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为 一、二月份均被投诉1次的概率为 所以 由事件的独立性的 解答2（Ⅰ）设事件A表示“一个月内被投诉2次”设事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”‎ 所以 ‎(Ⅱ)同解答1（Ⅱ）‎ ‎29、(2009湖南卷理)（本小题满分12分） ‎ 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 ‎ ‎（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；‎ ‎（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。‎ 解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）=‎ ‎（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=‎ ‎(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，），且=3。‎ 所以P（=0）=P（=3）==， ‎ ‎ P（=1）=P（=2）= = ‎ P（=2）=P（=1）==‎ P（=3）=P（=0）= = ‎ 故的分布是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的数学期望E=0+1+2+3=2‎ 解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件，‎ i=1,2,3 ，由此已知，·D，相互独立，且 P（）-（，）= P（）+P（）=+= ‎ 所以--,既， ‎ 故的分布列是 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎30、（2009四川卷理）（本小题满分12分）‎ 为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司 组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。 在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。 ‎ ‎（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；‎ ‎（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。‎ 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考 察运用概率只是解决实际问题的能力。‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持 银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，‎ ‎ 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，‎ ‎ 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。‎ ‎…………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3‎ ‎ , ‎ ‎，， ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 所以， ……………………12分 ‎ ‎31、（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）‎ 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：‎ ‎（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；‎ ‎（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望． ‎ 解 设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2‎ 表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2‎ 则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 ‎ , .‎ ‎ 据此算得 ‎ , , . ‎ ‎ , , .‎ ‎ (Ⅰ) 所求概率为 ‎　.‎ ‎ (Ⅱ) 解法一：‎ 的所有可能值为0，1，2，3，4，且 ‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ = ,‎ ‎ .‎ ‎ .‎ 综上知有分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1/36‎ ‎1/6‎ ‎13/36‎ ‎1/3‎ ‎1/9‎ 从而，的期望为 ‎（株）‎ 解法二：‎ 分布列的求法同上 令分别表示甲乙两种树成活的株数，则 故有 ‎ 从而知 ‎32、（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）‎ 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： ‎ ‎（Ⅰ）至少有1株成活的概率；‎ ‎（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．‎ 解 设表示第株甲种大树成活, ; 设表示第株乙种大树成活, ‎ 则独立,且 ‎（Ⅰ）至少有1株成活的概率为:‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活1株的概率为:‎ ‎ ‎ ‎2008年高考题 一、选择题 ‎1．(2008年全国Ⅱ理6)从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3‎ 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】‎ 答案 D ‎2、（2007年辽宁理）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案 D ‎3、(2007年湖北理)连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案 C ‎4、（2007年浙江理5）‎ 已知随机变量服从正态分布，，则（ ）‎ A． B． C． D，‎ 答案 A ‎5、（2007年安徽理）以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于 ‎（A）- （B）‎ ‎（C） （D）‎ 答案 B 二、填空题 ‎7、（2007天津文15）随机变量的分布列如下：‎ 其中成等差数列，若，则的值是 ． ‎ 答案 ‎ ‎8、（2007年湖北理）某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值作答）‎ 答案 ‎ ‎9、（2007年全国Ⅱ理14）在某项测量中，测量结果x服从正态分布N（1，s2）（s>0），若x在（0，1）内取值的概率为0.4，则x在（0，2）内取值的概率为 。‎ 答案 0.8‎ ‎【解析】在某项测量中，测量结果x服从正态分布N（1，s2）（s>0），正态分布图象的对称轴为x=1，x在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值的概率于x在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。‎ 三、解答题 ‎11、（2008年全国Ⅱ理理18）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；‎ ‎（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．‎ 解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则．‎ ‎（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， 2分 ‎，‎ 又，故． 5分 ‎（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．‎ 支出 ，‎ 盈利 ，‎ 盈利的期望为 ， 9分 由知，，‎ ‎．‎ ‎（元）．‎ 故每位投保人应交纳的最低保费为15元．……………………………………………… 12分 ‎12、（2008年全国Ⅱ理18）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有 ‎10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；‎ ‎（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．‎ 解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则．‎ ‎（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当，，‎ 又，故．‎ ‎（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．‎ 支出 ，‎ 盈利 ，‎ 盈利的期望为 ，‎ 由知，，‎ ‎．‎ ‎（元）．‎ 故每位投保人应交纳的最低保费为15元．‎ 第二部分 四年联考汇编 ‎2013-2014年联考题 一．基础题组 ‎1. 【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试理科试卷】设区域，区域，在区域中 随机取一个点，则该点恰好在区域A中的概率为__________.‎ 考点：1.几何概型的应用；2.定积分公式求面积.‎ ‎2.【玉溪一中2013-2014学年上学期期中考试高二数学（理科）试卷】甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示, 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数, 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有（ 　　） ‎ A．, B．,‎ C．, D．,‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎7‎ ‎6 5 5 4 1 3 5 5 7‎ 甲 乙 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3.【玉溪一中2013-2014学年上学期期中考试高二数学（理科）试卷】将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）‎ A．26, 16, 8, B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9‎ ‎4.【玉溪一中2013-2014学年上学期期中考试高二数学（理科）试卷】已知，若向区域内随机投一点，则点落在区域内的概率为(　　　)‎ A. B. C. D. 考点：几何概型．‎ 二．能力题组 ‎1. 【张掖二中2013—2014学年度高三月考试卷(11月)高三数学（理科）】（本小题满分12分）‎ 小波以游戏方式决定：是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X,若就去打球；若就去唱歌；若就去下棋.‎ ‎（Ⅰ）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.‎ ‎（Ⅱ）写出数量积X的所有可能取值，并求X分布列与数学期望 ‎１‎ ‎０‎ ‎０‎ ‎－１‎ ‎－１‎ ‎１‎ ‎－１‎ ‎－２‎ ‎－１‎ ‎－１‎ ‎－１‎ ‎０‎ ‎１‎ ‎０‎ ‎１‎ ‎（Ⅱ）由上表可知的所有可能取值为；数量积为-2的只有一种，数量积为-1的有六种，‎ ‎2. 【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试理科试卷】（本小题满分12分）‎ 在数学趣味知识培训活动中，甲、乙两名学生的6次培训成绩如下茎叶图所示：‎ ‎(Ⅰ)从甲、乙两人中选择1人参加数学趣味知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；‎ ‎(II)从乙的6次培训成绩中随机选择2个，记被抽到的分数超过115分的个数为，试求的分布列和数学期望．‎ 数为，由题意值可取0,1,2，根据古典概型的概率公式求出对应的概率，写出分布列，求出期望.‎ ‎3. 【玉溪一中2013-2014学年上学期期中考试高二数学（理科）试卷】(本小题满分12分)相关部门对跳水运动员进行达标定级考核，动作自选，并规定完成动作成绩在八分及以上的定为达标，成绩在九分及以上的定为一级运动员. 已知参加此次考核的共有56名运动员.‎ ‎（1）考核结束后，从参加考核的运动员中随机抽取了8人，发现这8人中有2人没有达标，有3人为一级运动员，据此请估计此次考核的达标率及被定为一级运动员的人数；‎ ‎（2）经过考核，决定从其中的A、B、C、D、E五名一级运动员中任选2名参加跳水比赛（这五位运动员每位被选中的可能性相同）. 写出所有可能情况，并求运动员E被选中的概率.‎ ‎【答案】(1) 达标率为，一级运动员约有21人；（2）组合见试题解析，概率为.‎ ‎【解析】‎ ‎4.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理科数学】其市有小型超市72个，中型超市24个，大型超市12个，现采用分层抽样方法抽取9个超市对其销售商品质量进行调查.‎ ‎（I）求应从小型、中型、大型超市分别抽取的个数；‎ ‎（II）若从抽取的9个超市中随机抽取3个做进一步跟踪分析，记随机变量X为抽取的小型超市的个数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X) .‎ 抽取小型超市个数：（个） -------------------------------------6分 ‎ ‎ ‎2012-2013年联考题 ‎1.【云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测理】彩票公司每天开奖一次，从1、2、3、4四个号码中随机开出一个作为中奖号码，开奖时如果开出的号码与前一天相同，就要重开，直到开出与前一天不同的号码为止。如果第一天开出的号码是4，则第五天开出的号码也同样是4的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一天开出4，则后四天开出的中奖号码的种数有种。第五天同样开出4，则中间三天开出的号码种数：第二天有3种，第三天如果是4，则第四天有3种；如果第三天不是4，则第四天有2种，所以满足条件的种数有。所以所求概率为，选B.‎ ‎2.【云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理】设随机变量服从正态分布，若，则的值为 （ ）‎ A．5 B．3 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为服从正态分布，所以随机变量关于直线对称，因为，所以关于对称，所以，即，解得，选D.‎ ‎3.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】设不等式组 表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎ 【答案】D ‎【解析】不等式对应的区域为三角形DEF,当点D在线段BC上时，点D到直线的距离等于2，所以要使点D到直线的距离大于2，则点D应在三角形BCF中。各点的坐标为,所以 ‎,根据几何概型可知所求概率为,选D. ‎ ‎4.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是 ‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】C ‎【解析】从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率，选C.‎ ‎5.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数则有种，因为，所以要使两组中各数之和相，则有各组数字之和为14.则有；；；；；；；共8种，所以两组中各数之和相等的概率是，选B.‎ ‎6.【贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理】投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为前效实验，若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为后效实验，若两次面向上的点数相等我们称其为等效试验.那么一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是（　　）‎ ‎． ． ． ． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】投掷该骰子两次共有中结果，两次向上的点数相同，有6种结果，所以投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是，选B.‎ ‎7.【贵州省遵义四中2013届高三第四次月考理】如下图，矩形ABCD中，点E为边CD上的任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个[点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为所以选C.‎ ‎8.【云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理】圆内的曲线与轴围成的阴影部分区域记为（如图），随机往圆内投掷一个点，则点落在区域的概率为_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，，所以阴影部分的面积为，所以根据几何概型知点落在区域的概率为.‎ ‎9.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理】如果随机变量，且，则＝ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据对称性可知，所以。‎ ‎10.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：‎ ‎ ‎ 规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品.‎ ‎（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；‎ ‎（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数的分布列及其数学期望；‎ ‎（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．‎ ‎【答案】解：（I）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为 ‎ 乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为………………..2分 ‎ （II）的取值为0，1，2，3.‎ ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为 ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故……………………9分 ‎ (III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“‎ 抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”‎ 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为…13分 ‎11.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）‎ 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：‎ 频率分布表 ‎（Ⅰ）写出的值；‎ ‎（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望.‎ ‎【答案】 解：（Ⅰ）由题意可知，． … ……4分 ‎（Ⅱ）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．‎ 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有 种情况． ………………………………………………………………6分 设事件：随机抽取的2名同学来自同一组，则 ‎.‎ 所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是． …………………………8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，的可能取值为，则 ‎ ，，．‎ 所以，的分布列为 ‎…………………………………………12分 所以，． ……………………………………13分 ‎12.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）‎ 汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表: ‎ A型车 出租天数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 车辆数 ‎5‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎15‎ ‎3‎ ‎2‎ B型车 出租天数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 车辆数 ‎14‎ ‎20‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；‎ ‎（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；‎ ‎（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.‎ ‎【答案】解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为 ‎ ‎ 这辆汽车是A型车的概率为0.6 ………3分 ‎（II）设“事件表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为天”，‎ ‎　 　“事件表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为天”，其中 ‎　　　则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为 ‎　 ………………5分 ‎ ………………7分 ‎　　‎ ‎　该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为 ‎ ………………9分 ‎（Ⅲ）设为A型车出租的天数，则的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎0.05‎ ‎0.10‎ ‎0.30‎ ‎0.35‎ ‎0.15‎ ‎0.03‎ ‎0.02‎ 设为B型车出租的天数，则的分布列为 ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7[Y.COM/]‎ ‎0.14‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.16‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎ ………………12分 一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的方差,综合分析，选择A类型的出租车更加合理 . ………………13分 ‎13.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】（本小题共13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.‎ ‎（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；‎ ‎（Ⅱ）求的值；‎ ‎（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有 且相互独立.‎ ‎（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为 ‎. …………………3分 ‎（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有 ‎＝， …………………5分 所以，. ……………………7分 ‎（Ⅲ）的所有可能取值为. ……………………8分 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎=＝ . ……………………11分 分布列为：‎ ‎……………………12分 所以，. ………………13分 ‎14.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）. ‎ ‎（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；‎ ‎（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率． ‎ ‎【答案】（Ⅰ）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 、，方差分别为 、， 则 ‎， ……………………1分 ， ……………………2分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎， ……………………4分 ‎ ‎ ‎ 　　 ‎ ‎， ……………………6分 由于 ，所以 甲车间的产品的重量相对稳定；……………………7分 ‎（Ⅱ）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：‎ ‎ ．………………9分 设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A，则事件A共有4个结果：‎ ‎． ……11分 所以　． ………13分 ‎15.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）‎ 生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为正品，小于为次品．现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：‎ 测试指标 元件A 元件B ‎（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；‎ ‎（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，‎ ‎（ⅰ）记为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）解：元件A为正品的概率约为． ………………1分 元件B为正品的概率约为． ………2分 ‎（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量的所有取值为． ………3分 ‎　　　； ；[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎； ．………7分 所以，随机变量的分布列为:‎ ‎…………8分 ‎ ． ………9分 ‎（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有件，则次品有件.‎ 依题意，得 ， 解得 ．‎ ‎ 所以 ，或． ………11分 ‎ 设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件，‎ 则 ． ………13分 ‎16.【贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理】（本小题满分12分）为了参加年贵州省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中选出人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源人数如下表：‎ 班级 高三（）班 高三（）班 高二（）班 高二（）班 人数 ‎（I）从这名队员中随机选出两名，求两人来自同一班级的概率；‎ ‎（II）该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军．若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其中来自高三（7）班的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】解：（I）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件，‎ 则 ‎ ‎（II）的所有可能取值为 ‎ 则 ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎17.【贵州省遵义四中2013届高三第四次月考理】（满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．‎ ‎（Ⅰ）如果,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；‎ ‎（Ⅱ）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这 两名同学的植树总棵树的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】解:（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，‎ 所以平均数为……………………………………3分 方差为………………………6分 ‎（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”‎ 所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=。‎ 同理可得 所以随机变量Y的分布列为：‎ Y ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ P EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×‎ ‎=19。 ………………………………12分 ‎18.【山东省青岛一中2013届高三1月调研理】（本小题满分12分） 英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）‎ ‎（Ⅰ）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；‎ ‎（Ⅱ）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为．若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数ξ的分布列和期望．‎ ‎【答案】（Ⅰ）设英语老师抽到的4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A，则由题意可得 …………………………………………………5分 ‎ （Ⅱ）由题意可得ξ可取0，1，2，3，则有P(ξ=0) ………6分 P(ξ=1)，‎ P(ξ=2) ，…………………………………9分 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P P(ξ=3) …………………………………………………10分 所以ξ的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎…11分 故Eξ=0×+1×+2×+3×=……………………………12分 ‎19.【云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理】(本小题满分12分）‎ 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 ‎5‎ 女生 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；‎ ‎（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为，求的分布列与期望.‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05[来:‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ (参考公式：，其中)‎ ‎【答案】解：(1) 列联表补充如下： -----------------------3分 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女生 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（2）∵ ‎ ‎∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.-- -----7分 ‎（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为. ‎ 其概率分别为,,‎ 故的分布列为:‎ 的期望值为: ---------------------12分 ‎20.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理】（本小题满分12分）班主任统计本班50名学生平均每天放学回家后学习时间的数据用图5所示条形图表示．‎ ‎（1）求该班学生每天在家学习时间的平均值；‎ ‎（2）假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）平均学习时间为. ……………（6分）‎ ‎（Ⅱ）设甲开始学习的时刻为x，乙开始学习的时刻为y，试验的全部结果所构成的区域为Ω ={(x，y)|18≤x≤21，18≤y≤20}，面积SΩ = 2×3=6.‎ 事件A表示“22时甲、乙都在学习”，所构成的区域为A={(x，y)|20≤x≤21，19≤y≤20}，面积为，‎ 这是一个几何概型，所以P(A). ………………………（12分）‎ ‎2011-2012年联考题 ‎1. (安徽六校联考)某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ 答案 D A B C D E F ‎2.（三明市三校联考）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案D ‎3．（安庆市四校元旦联考）一只蚂蚁在三边边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，‎ 某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超 过的概率为 。 ‎ 答案 ‎ ‎4．（三明市三校联考）（本小题满分13分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．‎ ‎（Ⅰ）设所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．‎ ‎（Ⅰ）解：的所有可能取值为0，1，2．‎ 依题意，得， ， ．‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴ ． ………………………………（7分）‎ ‎（Ⅱ）解：设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，‎ 则，， ∴．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 …………………………（13分）‎ ‎5. （肥城市第二次联考）甲有一只放有x个红球，y个黄球，z个白球的箱子，且，乙有一只放有3个红球，2个黄球，1个白球的箱子，两个各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时甲期，异色时乙胜。‎ ‎ （1）用x、y、z表示甲胜的概率；‎ ‎ （2）若又规定当甲取红、黄、白球而胜的得分分别为1、2、3分，否则得0分。求甲得分的期望的最大值及此时x、y、z的值.‎ 解：（1）P（甲胜）=P（甲、乙均取红球）+P（甲、乙均取黄球）+P（甲、乙均取白球）‎ ‎ …………4分 ‎ （2）设甲的得分为随机变量ξ，则 ‎ ‎ ‎ …………10分 ‎ ‎ ‎ ∴当y=6时，Eξ取得最大值为，此时x=z=0. …………12分 ‎6.（2009昆明一中第三次模拟）次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行。根据以往经验，每局甲赢乙的概率为，乙赢甲的概率为，且每局比赛输赢互不受影响。若甲第n局赢、平、输的得分分别记为，‎ 令 ‎ （Ⅰ）求甲与乙平局的概率；‎ ‎ （Ⅱ）求的概率。‎ 解：（Ⅰ）由已知甲赢的概率为，输的概率为，所以平的概率为 ‎（Ⅱ）.‎ ‎7.（2009牟定一中期中）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，其中甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装 ‎ 有2个红球，3个白球。现从甲、乙两袋中各任取2个球。‎ ‎ (I)用表示取到的4个球中红球的个数，求的分布列及的数学期望；‎ ‎ (II)求取到的4个球中至少有2个红球的概率。‎ 解：（Ⅰ）， ‎ ‎ ， ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量的分布列为 数学期望………………………………………8分 ‎ (II)所求的概率…………12分 ‎8.（2010宁波十校联考）某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选说累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题连续两次答错的概率为，（已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响。）‎ ‎（I）求甲选手回答一个问题的正确率；‎ ‎（Ⅱ）求选手甲可进入决赛的概率；‎ ‎（Ⅲ）设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望。‎ 解答：（1）设甲选手答对一个问题的正确率为，则 故甲选手答对一个问题的正确率 3分 ‎（Ⅱ）选手甲答了3道题目进入决赛的概率为= 4分 选手甲答了4道题目进入决赛的概率为 5分 选手甲答了5道题目进入决赛的概率为 6分 选手甲可以进入决赛的概率 8分 ‎（Ⅲ）可取3，4，5‎ 则有 9分 ‎ 10分 ‎ 11分 因此有 （直接列表也给分）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 故 14分 ‎9. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下， ‎ 甲运动员 射击环数 频数 频率 ‎7‎ ‎10‎ ‎0.1‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎0.1‎ ‎9‎ ‎0.45‎ ‎10‎ ‎35‎ 合计 ‎100‎ ‎1‎ 乙运动员 ‎ 射击环数 频数 频率 ‎7‎ ‎8‎ ‎0.1‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎0.15‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎0.35‎ 合计 ‎80‎ ‎1‎ 若将频率视为概率，回答下列问题，‎ ‎（1）求甲运动员击中10环的概率 ‎（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率 ‎（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求的分布列及.‎ 解： ‎ ‎（1）设“甲运动员击中10环”为事件,甲运动员击中10环的概率为0.35. ………‎ ‎（2）设甲运动员击中9环为事件，击中10环为事件 则甲运动员在一次射击中击中9环以上（含9环）的概率 ‎ …………‎ 甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率 答：甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率为0.992. …………‎ ‎（3）的可能取值是0，1，2，3‎ ‎ ‎ 所以的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.01‎ ‎0.11‎ ‎0.4‎ ‎0.48‎ ‎ …………‎ ‎. …………‎ 题组一（1月份更新）‎ 一、选择题 ‎1、（2009杭州二中第六次月考）从正方体的8个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条,则这两条直线是异面直线的概率是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案 B ‎2、（2009杭州高中第六次月考）从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案 D ‎ ‎3、（2009金华十校3月模拟）同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于 A B C D ‎ 答案 C 二、填空题 ‎1、（2009上海十四校联考）在集合中任取一个元素，所取元素 恰好满足方程的概率是 ‎ 答案 ‎ ‎2、（2009上海八校联考）已知集合，，（可以等于)，从集合中任取一元素，则该元素的模为的概率为______________。‎ 答案 ‎ ‎3、（2009杭州学军中学第七次月考）在边长为2的正三角形ABC内任取一点P, 则使点P到三个顶点的距离至少有一个 小于1的概率是_____‎ 答案 ‎ ‎4、（2009上海奉贤区模拟考）在1，2，3，4，5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是 。（用分数表示）答案 ‎ ‎5、（2009冠龙高级中学3月月考文）某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意 选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是 。‎ 答案 ‎ ‎6、（2009台州市第一次调研）一堆除颜色外其它特征都相同的红白两种颜色的球若干个，已知红球的个数比白球多，‎ 但比白球的2倍少，若把每一个白球都记作数值2，每一个红球都记作数值3，则所有球的数值的总和等于60.现从中任取一个球，则取到红球的概率等于 . ‎ 答案 ‎ ‎7、（2009冠龙高级中学3月月考理甲、乙两人各进行一次射击如果两人击中目标的概率都是0.6，则其中恰有一人击中目标的概率是 。‎ 答案 ‎ ‎8、（2009上海普陀区）正方体骰子六个表面分别刻有的点数. 现同时掷了两枚骰子，则得到的点数之和大于10的概率为 .‎ 答案 ；‎ ‎9、（2009上海青浦区）市场上有一种“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖概率为6.71%，一注彩票的平均奖金额为14.9元．如果小王购买了10注彩票，那么他的期望收益是 元．‎ 答案 元 三、解答题 ‎1、（2009昆明市期末）某大学毕业生响应国家号召，到某村参加村委会主任应聘考核。考核依次分为笔试、面试、试用共三轮进行，规定只有通过前一轮考核才能进入下一轮考核，否则将被淘汰，三轮考核都通过才能被正式录用。设该大学毕业生通过三轮考核的概率分别为，‎ ‎ 且各轮考核通过与否相互独立 ‎ （Ⅰ）求该大学毕业生未进入第三轮考核的概率；‎ ‎ （Ⅱ）设该大学毕业生在应聘考核中考核次数为ξ，求ξ的数学期望和方差。‎ ‎（解：Ⅰ）记“该大学生通过第一轮笔试”为事件A，‎ ‎ “该大学生通过第二轮面试”为事件B，‎ ‎ “该大学生通过第三轮试用”为事件C。‎ 则 那么该大学生未进入第三轮考核的概率是 ‎ ············6分 ‎ （Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3.‎ ‎ P(ξ=1)=P()=1-P(A)=‎ ‎ P(ξ=2)=P()=P(A)(1-P(B))=‎ ‎ P(ξ=3)=‎ ‎ 或P(ξ=3)= ···································9分 ‎ ‎ ‎ ξ的数学期望·····························11分 ‎ ξ的方差··········12分 ‎2、（2009杭州二中第六次月考）一个袋子内装有若干个黑球，个白球，个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中任取个球，每取得一个黑球得分，每取一个白球得分，每取一个红球得分，已知得分的概率为，用随机变量表示取个球的总得分．‎ ‎ （Ⅰ）求袋子内黑球的个数；‎ ‎ （Ⅱ）求的分布列与期望．‎ 解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n，则 化简得：，解得或（舍去），即有4个黑球 ‎（Ⅱ） ‎ ‎∴的分布列为 ‎ ‎3、（2009上海卢湾区4月模考）袋中有8个颜色不同，其它都相同的球，其中1个为黑球，3个为白球，4个为红球 ‎（1）若从袋中一次摸出2个球，求所摸出的2个球恰为异色球的概率；‎ ‎（2）若从袋中一次摸出3个球，且所摸得的3球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时得到红球的个数为，求随机变量的概率分布律，并求的数学期望和方差.‎ 解：（1）摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为种，从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为，故所求概率为； （6分）‎ ‎（2）符合条件的摸法包括以下三种：一种是所摸得的3球中有1个红球，1个黑球，1个白球，共有种不同摸法，一种是所摸得的3球中有2个红球，1个其它颜色球，共有种不同摸法，一种是所摸得的3球均为红球，共有种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有种.‎ 由题意随机变量的取值可以为，，. 得随机变量的概率分布律为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（12分）‎ ‎ ， （13分）‎ ‎ . （14分）‎ ‎4、（2009上海卢湾区一模）(理)袋中有同样的球个，其中个红色，个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：.‎ ‎(1)随机变量的概率分布律；(2)随机变量的数学期望与方差.‎ ‎(文)袋中有同样的球个，其中个红色，个黄色，现从中随机地摸球，求：‎ ‎(1)红色球与黄色球恰好相等的概率(用分数表示结果)‎ ‎(2)红色球多于黄色球的不同摸法的和数.‎ ‎ (理)解：(1)随机变量可取的值为 ‎ ‎ ‎ 得随机变量的概率分布律为：‎ ‎ ‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ (2)随机变量的数学期望为：；‎ ‎ 随机变量的方差为：‎ ‎ (文)解：(1)‎ ‎ (2).‎ ‎5、（2009上海九校联考）学习小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动.‎ ‎ （1）现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，‎ 求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；‎ ‎（2）若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，‎ 该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，‎ 求随机变量的分布列及数学期望.‎ 解：（1）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的,‎ ‎ 则其概率为 ………4分 ‎ 答：恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为 ………5分 ‎（2）随机变量 ‎ ……6分 ‎ ………8分 ‎ ………10分 ‎∴随机变量的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴ ……12分 ‎6、（2009台州市第一次调研）体育课进行篮球投篮达标测试，规定：每位同学有5次投篮机会，若投中3次则“达标”；为节省测试时间，同时规定：若投篮不到5次已达标，则停止投篮；若后面投篮全中，也不能达标（例如前3次都未投中等情形），则停止投篮．同学甲投篮命中率为且每次投篮互不影响． ‎ ‎(Ⅰ)求同学甲恰好投4次达标的概率；‎ ‎(Ⅱ)设测试中甲投篮次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.‎ 解：（Ⅰ）同学甲同学恰好投4次达标的概率 (4分)‎ ‎（Ⅱ）可取的值是 ‎ （6分）‎ ‎ （8分）‎ ‎ （10分）‎ 的分布列为 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎ （12分）‎ 所以的数学期望为 （14分）‎ ‎7、（2009广州一模）甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，‎ 击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别 为和p ，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为，假设 甲、乙两人射击互不影响 ‎(1)求p的值；‎ ‎(2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.‎ ‎(本题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力)‎ 解：(1)设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则 ‎……1分 依题意得， ……3分 解得，故p的值为. ……5分 ‎(2)ξ的取值分别为0，2，4. ……6分 ‎， ……8分 ‎， ‎ ‎ ， ……10分 ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎……12分 ‎∴Eξ= ……14分 ‎8、（2009玉溪一中期末）甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：‎ 若将频率视为概率，回答下列问题．‎ ‎(Ⅰ)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；‎ ‎ (Ⅱ)若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及Eξ．‎ 解：‎ ‎(Ⅰ)甲运动员击中10环的概率是：1一0.1—0.1—0.45=0.35. ‎ ‎ 设事件A表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”，‎ ‎ 则P(A)=0.35+0.45=0.8. ‎ 事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况：‎ 恰有1次击中9环以上，概率为p1=C·0.81·(1-0.8)2=0.096； ‎ 恰有2次击中9环以上，概率为p2=C·0.82·(1-0.8)1=0.384； ‎ 恰有3次击中9环以上，概率为p3=C·0.83·(1-0.8)0=0.512． ‎ 因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率 p= p1+ p2+ p3=0.992． ‎ ‎(Ⅱ)记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B，‎ ‎ 则P(B)=1—0.1—0.15=0.75． ‎ ‎ 因为表示2次射击击中9环以上的次数，所以的可能取值是0，1，2. ‎ ‎ 因为P(=2)=0.8·0.75=0.6；‎ ‎ P(=1)=0.8·(1-0.75)+(1-0.8)·0.75=0.35；‎ ‎ P(=0)=(1-0.8)·(1-0.75)=0.05．‎ ‎ 所以的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.05‎ ‎0.35‎ ‎0.6‎ ‎ 所以Eξ=0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55．‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ A B ‎9、（2009广东三校一模）如图,两点有5条连线并联,它们在单位时间能通过的信息量依次为.现从中任取三条线且记在单位时间内通过的信息总量为.‎ ‎(1)写出信息总量的分布列;‎ ‎(2)求信息总量的数学期望.‎ ‎(1)由已知,的取值为 . 2分 ‎ ‎, , ‎ ‎, 8分 ‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 的分布列为:‎ ‎ 9分 ‎(2) 11分 ‎ ‎ 12分 ‎10、（2009东莞一模）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10﹪，可能损失10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为.‎ ‎（1）如果把10万元投资甲项目，用表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求的概率分布及；‎ ‎（2）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围.‎ 解：（1）依题意，的可能取值为1，0，-1 ………1分 的分布列为 …4分 ‎1‎ ‎0‎ p ‎==…………6分 ‎（2）设表示10万元投资乙项目的收益，则的分布列为……8分 ‎2‎ ‎…………10分 依题意要求… 11分 ‎∴………12分 ‎ 注：只写出扣1分 ‎11、（2009番禺一模）某射击测试规则为：每人最多有3次射击机会，射手不放过每次机会，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．‎ ‎（1）求该射手恰好射击两次的概率；‎ ‎（2）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．‎ 解（1）设该射手第次击中目标的事件为，则，…1分 该射手恰好射击2次，则第1次没击中目标，第2次击中目标，表示的事件为，…‎ ‎2分 由于，相互独立，则 ． ……4分 即该射手恰好射击两次的概率为； ……5分 ‎ ‎（2）可能取的值为0，1，2，3． ……6分 ‎ 由于 ……7分 ‎； ……8分 ‎； ……9分 ‎ ……10分 则的分布列为 ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.008‎ ‎0.032‎ ‎0.16‎ ‎0.8‎ ‎ ……11分 故的数学期望为. ……12分 ‎12、（2009韶关一模）有人预测:在2010年的广州亚运会上,排球赛决赛将在中国队与日本队之间展开,据以往统计, 中国队在每局比赛中胜日本队的概率为,比赛采取五局三胜制,即谁先胜三局谁就获胜,并停止比赛.‎ ‎（Ⅰ）求中国队以3:1获胜的概率;‎ ‎（Ⅱ）.设表示比赛的局数,求的期望值.‎ ‎ (Ⅰ)设中国队以3:1获胜的事件为A.‎ 若中国队以3:1获胜,则前3局中国队恰好胜2局,然后第4局胜. ………………………2分 所以, .. ……………………………………………5分 ‎(Ⅱ)‎ ‎; ……………………………………………7分 ‎.. ……………………………………………9分 ‎.. ………………………………………10分 所以所求的的期望值……………………………12分