2020-2021九年级数学上册旋转单元同步练习2(新人教版pdf格式)

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2020-2021九年级数学上册旋转单元同步练习2(新人教版pdf格式)

2020-2021 学年初三数学上册各单元同步练习:旋转(二) 一、单选题 1.如图,将△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100°,得到△ AB1C1,若点 B1 在线段 BC 的延长线上,则∠BB1C1 的大小为( ) A.70° B.80° C.84° D.86° 【答案】B 【解析】【分析】 由旋转的性质可知∠B=∠AB1C1,AB=AB1,由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B= ∠BB1A=∠AB1C1=40°,从而可求得∠BB1C1=80°. 【详解】 由旋转的性质可知:∠B=∠AB1C1,AB=AB1,∠BAB1=100°. ∵AB=AB1,∠BAB1=100°, ∴∠B=∠BB1A=40°. ∴∠AB1C1=40°. ∴∠BB1C1=∠BB1A+∠AB1C1=40°+40°=80°. 故选:B. 【点评】本题主要考查的是旋转的性质,由旋转的性质得到△ ABB1 为等腰三角形是解题的关键. 2.点 P(3,5)关于原点对称的点的坐标是( ) A.(﹣3,5) B.( 3,﹣5) C.( 5,3) D.(﹣3,﹣5) 【答案】D 【解析】【分析】 根据关于原点对称的点的坐标特点:两个点关于原点对称时,横纵坐标的坐标符号均相反,根据这一特征 求出对称点坐标. 【详解】 解:点 P(3,5)关于原点对称的点的坐标是(-3,-5), 故选 D. 【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点,关键是掌握点的变化规律. 3.观察下列四个图形.其中两个三角形的组合方式与另外三个不同的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】 根据两三角形的位置关系确定几何变换类型,继而得出答案. 【详解】 A、图形通过旋转得到; B、图形通过旋转得到; C、图形通过平移得到; D、图形通过旋转得到; 故选:C. 【点评】本题考查了几何变换的类型,属于基础题,关键是掌握几种几何变换的特点. 4.正方形 A B C D 中的顶点 A 在平面坐标系中的坐标为 1,1 ,若将正方形 绕着原点 O 按逆时针旋 转 135 .则旋转后的点 坐标为( ) A.(-1, 1) B.(1, -1) C.(0, - 2 ) D.(- , 0) 【答案】D 【解析】【分析】 根据旋转中心为原点,旋转方向逆时针,旋转角度 135°,作出点 A 的对称图形 A′,求得 OA 的长度,也就 求得了 OA′的长度,可得所求点的坐标. 【详解】 如图: ∵OA= 2211 = 2 , ∴OA′=OA= , ∴A′(- ,0). 故选:D. 【点评】本题考查了由图形旋转得到相应坐标,根据旋转中心,旋转方向及角度得到相应图形是解决本题 的关键. 5.下列“数字图形”中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】B 【解析】【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断即可求解. 【详解】 解:第一个图形不是轴对称图形,是中心对称图形; 第二、三个图形是轴对称图形,也是中心对称图形, 第四个图形不是轴对称图形,不是中心对称图形; 故选:B. 【点评】此题考查中心对称图形,轴对称图形,解题关键在于对概念的掌握 6.如图,正方形 O A B C 的两边 OA 、OC 分别在 x 轴、y 轴上,点  5 ,3D 在边 AB 上,以C 为中心,把 CDB△ 旋转 90 ,则旋转后点 D 的对应点 'D 的坐标是( ) A. 2,10 B. 2,0 C. 或 D. 10, 2 或 【答案】C 【解析】【分析】 先根据正方形的性质求出 BD、BC 的长,再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况,然后分别根据旋转的性 质求解即可得. 【详解】 四边形 OABC 是正方形, ( 5 ,3 )D 5,3,2,90BCOCABOAADBDABADB 由题意,分以下两种情况: (1)如图,把 CDB△ 逆时针旋转 90 ,此时旋转后点 B 的对应点 B  落在 y 轴上,旋转后点 D 的对应点 D¢ 落在第一象限 由旋转的性质得: 2,5,90B DBDB CBCCB DB    10OB OC B C     点 的坐标为(2,10) (2)如图,把 顺时针旋转 ,此时旋转后点 B 的对应点 B 与原点 O 重合,旋转后点 D 的对应点 D 落在 x 轴负半轴上 由旋转的性质得: 2,5,90B DBDB CBCCB DB    点 的坐标为(2,0) 综上,旋转后点 D 的对应点 的坐标为 或 故选:C. 【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点,依据题意,正确分两种情况讨论是解题关键. 7.下列不是图形的旋转、平移、轴对称的共同特征的是( ) A.对应线段与对应角不变 B.图形的大小不变 C.图形的形状不变 D.对应线段平行 【答案】D 【解析】【分析】 根据三种变换得到的图形都与原图形全等,进行分析. 【详解】 解:根据平移、旋转和轴对称的基本性质,知 A. B. C 都是正确的;D. 在旋转中,对应线段不一定平行, 故错误. 故选 D. 【点评】本题主要考查几何变换的类型,熟悉掌握是关键. 8.根据指令 ,(0,0360 )s A sA 机器人在平面上能完成如下动作:先在原地顺时针旋转角度 A ,再 朝其面对的方向沿直线行走距离 s .现在机器人在平面直角坐标系的原点,且面对 y 轴的负方向,为使其移 动到点 3,0 ,应下的指令是( ) A. 3 ,90 ? B. 9 0 ,3 C. 3 ,9 0 D. 3 ,270 【答案】A 【解析】【分析】 若顺时针旋转 90°,则机器人面对 x 轴负方向,根据向 x 轴负半轴走 3 个单位可得相应坐标. 【详解】 解:根据点(0,0)到点(−3,0),即可知机器人先顺时针转动 90 ,再向左平移 3 个单位, 于是应下指令为[3, 90 ]. 故选 A. 【点评】本题主要考查坐标与图形变化-旋转,熟悉掌握是关键. 9.下列关于等腰三角形的叙述错误的是( ) A.等腰三角形两底角相等 B.等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合 C.等腰三角形的三边相等 D.等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形 【答案】C 【解析】【分析】 直接利用等腰三角形的性质分别分析得出答案. 【详解】 A、等腰三角形两底角相等,正确,不合题意; B、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合,正确,不合题意; C、等腰三角形的三边相等,错误,符合题意; D、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形,正确,不合题意; 故选:C. 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质,正确掌握等腰三角形的性质是解题关键. 10.如图,Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,将斜边 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°至 AB′.连接 B'C,则 △ AB'C 的面积为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【解析】【分析】 过点 B'作 B'E⊥AC 于点 E,由题意可证△ ABC≌△B'AE,可得 AC=B'E=4,即可求△ AB'C 的面积. 【详解】 如图:过点 B'作 B'E⊥AC 于点 E ∵旋转 ∴AB=AB',∠BAB'=90° ∴∠BAC+∠B'AC=90°,且∠B'AC+∠AB'E=90° ∴∠BAC=∠AB'E,且∠AEB'=∠ACB=90°,AB=AB' ∴△ABC≌△B'AE(AAS) ∴AC=B'E=4 ∴S△ AB'C= 1 2 ×AC×B'E= ×4×4=8 故选 C. 【点评】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,熟练运用旋转的性质是解决本题的关键. 11.如图,点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点,把△ ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ ABF 的位置,若四 边形 AECF 的面积为 25,DE=3,则 AE 的长为( ) A. 34 B.5 C.8 D.4 【答案】A 【解析】【分析】 利用旋转的性质得出四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积,进而可求出正方形的边长,再利用勾 股定理得出答案. 【详解】 把 ADE 顺时针旋转 ABF 的位置,  四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积等于 25, A D D C 5   , D E 3 , R t A D E 中, 2222AEADDE5334 . 故选 A. 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质,正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键. 12.如图, R t A B C 中, C 90  , A 60  , A C 6 ,以斜边 AB 的中点 D 为旋转中心,把这个 三角形按逆时针方向旋转90 得到 R t A ' B ' C ' ,则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为( ) A. 6 B. 9 C. 63 D. 93 【答案】B 【解析】【分析】 如图,先计算出 AB=2AC=12,根据中点定义则可得 BD=6,根据旋转的性质可得 B' D=BD=6,在 Rt△ BDM 中,可求得 DM、BM 的长,从而可求得 B′M 的长,然后在 Rt△ B′MN 中求出 MN 的长,继而求得 BN 的长, 在 Rt△ BNG 中求出 BN 的长,然后利用 S 阴影=S△ BNG-S△ BMD 进行计算即可得. 【详解】 如图,∵∠C=90°,∠A=60°,AC=6, ∴AB=2AC=12,∠B=30°, ∵点 D 为 AB 的中点, ∴BD=6, ∵△ABC 绕点 D 按逆时针方向旋转 90 得到 R t A ' B ' C ' , ∴ B' D=BD=6, 在 Rt△ BDM 中,∠B=30°,∠BDM=90°, ∴BM=2DM,BD2+DM2=BM2, ∴DM= 23,BM=4 3 , ∴B′M=B′D-DM=6- , 在 Rt△ B′MN 中,∠B′=30°, ∴MN= 1 2 B′M=3- , ∴BN=BM+MN=3+3 , 在 Rt△ BNG 中,BG=2NG,BG2=NG2+BN2, ∴NG=3+ , ∴S 阴影=S△ BNG-S△ BMD=    113 3 3 3 3 2 3 622       =9, 故选 B. 【点评】本题考查了旋转的性质、含 30 度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等,熟练掌握 旋转的性质是解题的关键. 二、填空题 13.如图,把一个直角三角尺 ACB 绕着 30°角的顶点 B 顺时针旋转,使得点 A 与 CB 的延长线上的点 E 重 合连接 CD,则∠BDC 的度数为_____度. 【答案】15 【解析】【分析】 根据△ EBD 由△ ABC 旋转而成,得到△ ABC≌△EBD,则 BC=BD,∠EBD=∠ABC=30°,则有∠BDC =∠BCD,∠DBC=180﹣30°=150°,化简计算即可得出 15BDC . 【详解】 解:∵△EBD 由△ ABC 旋转而成, ∴△ABC≌△EBD, ∴BC=BD,∠EBD=∠ABC=30°, ∴∠BDC=∠BCD,∠DBC=180﹣30°=150°, ∴  1 180 150 152BDC BCD         ; 故答案为:15. 【点评】此题考查旋转的性质,即图形旋转后与原图形全等. 14.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为( 3 ,1),将 OA 绕原点逆时针方向旋转 90°得 OB,则点 B 的坐标为_____. 【答案】(﹣1, 3 ) 【解析】【分析】 根据旋转的性质可知△ OCA≌△ODB,进而得 OD= 3 ,BD=1,即可解题. 【详解】 解:如下图,由旋转的性质可知, △ OCA≌△ODB, ∵A 的坐标为( ,1), ∴OC= ,AC=1, ∴OD= ,BD=1, ∴B 的坐标为(﹣1, ) 【点评】本题考查了图形的旋转,属于简单题,熟悉概念是解题关键. 15.在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系,三颗棋子 A,O,B 的位置如图所示,它们的坐标分别是 (﹣1,1),(0,0)和(1,0),在其他点位置添加一颗棋子 P,使 A,O,B,P 四颗棋子成为一个中心 对称图形,请写出棋子 P 的位置坐标_____(写出 1 个即可). 【答案】(0,1). 【解析】【分析】 直接利用中心对称图形的性质得出答案. 【详解】 如图所示: 点 P(0,1)答案不唯一. 故答案为:(0,1). 【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质,正确把握定义是解题关键. 16.如图,在△ BDE 中,∠BDE=90°,BD=4 2 ,点 D 的坐标是(5,0),∠BDO=15°,将 △ BDE 旋转到△ ABC 的位置,点 C 在 BD 上,则旋转中心的坐标为_______ . 【答案】(3,2 3 ) 【解析】【分析】 根据旋转的性质,AB 与 BD 的垂直平分线的交点即为旋转中心 P,连接 PD,过 P 作 PF⊥x 轴于 F,再根据 点 C 在 BD 上确定出∠PDB=45°并求出 PD 的长,然后求出∠PDO=60°,根据直角三角形两锐角互余求出 ∠DPF=30°,根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半可得 DF= 1 2 PD,利用勾股定理列式求出 PF,再求出 OF,即可得到点 P,即旋转中心的坐标. 【详解】 如图,AB 与 BD 的垂直平分线的交点即为旋转中心 P, 连接 PD,过 P 作 PF⊥x 轴于 F, ∵点 C 在 BD 上, ∴点 P 到 AB、BD 的距离相等,都是 BD,即 ×4 2 =2 , ∴∠PDB=45°, PD= ×2 =4, ∵∠BDO=15°, ∴∠PDO=45°+15°=60°, ∴∠DPF=30°, ∴DF= 1 2 PD= ×4=2, ∵点 D 的坐标是(5,0), ∴OF=OD-DF=5-2=3, 由勾股定理得,PF= 2222 =42=23PDDF, ∴旋转中心的坐标为(3,2 3 ). 故答案为:(3,2 ). 【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转,熟练掌握旋转的性质确定出旋转中心的位置并得到含有 30°角 的直角三角形是解题的关键. 三、解答题 17.如图, P 是正 A B C 内的一点,若将 P A C 绕点 A 逆时针旋转到 P' AB , (1)求 PAP' 的度数. (2)若 AP 3 , BP4 , PC 5 ,求 PAB 的度数. 【答案】(1) PAP' 60  ;( 2) APB 150  . 【解析】【分析】 (1)根据旋转的性质,找出∠PAP′=∠BAC,根据等边三角形的性质,即可解答; (2)连接 PP′,根据旋转的性质及已知可得到△ APP′是等边三角形,△ BPP′是直角三角形,从而求得答案. 【详解】  1 如图, 根据旋转的性质得, PAP'BAC , ∵ A B C 是等边三角形, ∴ BAC60  , ∴ PAP' 60  ;  2 如图, 连接 PP  ,由旋转可知: P ABPAC , 所以 CAP BAP , APAP3   ,CPBP5   又∵ CAPPAB60, ∴ P AP BAP BAP 60     , ∴ P AP 是等边三角形, ∴ APAPPP3  , ∴ A P P 6 0   , ∵ 2223 4 5, ∴ 222PPPBPB   , ∴ P PB 是直角三角形, ∴ P P B 9 0   ∴ APBP PBAPP150  . 【点评】本题考查旋转的性质.旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中 心连线所构成的旋转角相等.要注意旋转的三要素:①定点-旋转中心;②旋转方向;③旋转角度. 18.如图, A B C 的顶点坐标分别为  A2,2  ,  B 4 ,4 ,  C 1 ,2 .将 绕坐标原点 O 逆时针旋转90 , 得到 A B C   ( A  、 B  、 C 分别为 A 、 B 、 C 的对应点),在坐标系中画出 ,并写出 、 、 三点的坐标. 【答案】  A2, 2 ,  B4,4  ,  C2,1  ,画图见解析. 【解析】【分析】 根据点的坐标的特点可知,点 A 在第四象限的平分线上,所以绕点 O 逆时针旋转 90°在第一象限的平分线 上,点 B 在第一象限的平分线上,所以绕点 O 逆时针旋转 90°后在第二象限的平分线上,分别求出点 A′,B′ 的坐标,然后再找出点 C 旋转后的点 C′,顺次连接即可. 【详解】 ∵  A 2 , 2  ,  B 4 ,4 ,  C 1,2 , ∴  A 2, 2 ,  B 4,4  ,  C 2,1  . 画图 【点评】本题考查旋转变换作图,做这类题的关键是按要求旋转后找对应点,然后顺次连接. 19.如图 1 , A B C 中, C90  , BC 3 , A C 4 , AB 5 ,将 绕着点 B 旋转一定的角度, 得到 DEB . (1)若点 F 为 AB 边上中点,连接 EF ,则线段 的范围为________. (2)如图 2 ,当 直角顶点 E 在 边上时,延长 DE ,交 AC 边于点 G ,请问线段 、EG 、AG 具有怎样的数量关系,请写出探索过程. 【答案】(1)0.5 EF 5.5;( 2)AG+EG=DE,理由见解析. 【解析】【分析】 (1)图 1 中,利用旋转的性质得 BE=BC=3,再根据三角形三边的关系得 BE-BF≤EF≤BE+BF(当且仅当 B、 E、F 共线时取等号),从而得到线段 EF 的范围;(2)图 2 中,利用旋转的性质得 BE=BC=3,BD=BA=5, DE=AC=4,∠A=∠D,再判断△ AGE∽△DEB,然后利用相似比计算出 AG、EG,从而可得到线段 DE、 EG、AG 的数量关系. 【详解】 (1)∵点 F 为 AB 边上中点, ∴BF=2.5, ∵△ABC 绕着点 B 旋转一定的角度得到△ DEB, ∴BE=BC=3, ∵BE-BF≤EF≤BE+BF(当且仅当 B、E、F 共线时取等号), ∴0.5≤EF≤5.5, 故答案为 0.5≤EF≤5.5; (2) AGEGDE. 理由如下: ∵ A B C 绕着点 B 旋转一定的角度得到 DE , ∴ BEBC3, BDBA5, DEAC4, AD , ∴ AE AB BE 2   , ∵ , AEGBED , ∴ AGEDEB∽ , ∴ AG EG AE BD BE DE,即 AGEG2 534, ∴ AG2.5 , EG 1.5 , ∴ AG EG 4, ∴ A G E G D E. 【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了相似三角形的判定与性质. 20.如图,四边形 ABCD 是正方形,△ ADF 绕着点 A 顺时旋转 90°得到△ ABE,若 AF=4,AB=7. (1)求 DE 的长度; (2)指出 BE 与 DF 的关系如何?并说明由. 【答案】(1)3;( 2)BE=DF,BE⊥DF. 【解析】【分析】 (1)根据旋转的性质可得 AE=AF,AD=AB,然后根据 DE=AD﹣AE 计算即可得解; (2)根据旋转可得△ ABE 和△ ADF 全等,根据全等三角形对应边相等可得 BE=DF,全等三角形对应角相 等可得∠ABE=∠ADF,然后求出∠ABE+∠F=90°,判断出 BE⊥DF. 【详解】 解:(1)∵△ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ ABE, ∴AE=AF=4,AD=AB=7, ∴DE=AD﹣AE=7﹣4=3; (2)BE、DF 的关系为:BE=DF,BE⊥DF.理由如下: ∵△ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ ABE, ∴△ABE≌△ADF, ∴BE=DF,∠ABE=∠ADF, ∵∠ADF+∠F=180°﹣90°=90°, ∴∠ABE+∠F=90°, ∴BE⊥DF, ∴BE、DF 的关系为:BE=DF,BE⊥DF. 【点评】考查了旋转的性质,正方形的性质,是基础题,熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形 状与大小是解题的关键. 21.如图,已知点 A,B 的坐标分别为(4,0),( 3,2). (1)画出△ AOB 关于原点 O 对称的图形△ COD; (2)将△ AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90°得到△ EOF,画出△ EOF; (3)点 D 的坐标是 ,点 F 的坐标是 ,此图中线段 BF 和 DF 的关系是 . 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)D(﹣3,﹣2), F(﹣2,3),垂直且相等 【解析】【分析】 (1)分别延长 BO,AO 到占 D,C,使 DO=BO,CO=AO,再顺次连接成△ COD 即可; (2)将 A,B 绕点 O 按逆时针方向旋转 90°得到对应点 E,F,再顺次连接即可得出△ EOF; (3)利用图象即可得出点的坐标,以及线段 BF 和 DF 的关系. 【详解】 (1)如图所示: (2)如图所示: (3)结合图象即可得出:D(﹣3,﹣2), F(﹣2,3), 线段 BF 和 DF 的关系是:垂直且相等. 【点评】此题考查了图形的旋转变换以及图形旋转的性质,难度不大,注意掌握解答此类题目的关键步骤. 22.如图①,在 RtABC 中, 90C .将 ABC 绕点 C 逆时针旋转得到 ''A B C ,旋转角为  ,且 0180 .在旋转过程中,点 'B 可以恰好落在 AB 的中点处,如图②.  1 求 A 的度数;  2 当点 到 'AA 的距离等于 AC 的一半时,求 的度数. 【答案】(1) 30A ;(2) 120  . 【解析】【分析】 (1)利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出△ CBB′是等边三角形,进而得出答案; (2)利用锐角三角函数关系得出 sin∠CAD= 1 2 CD AC  ,即可得出∠CAD=30°,进而得出 α 的度数. 【详解】  1 将 ABC 绕点 C 逆时针旋转得到 ''A B C ,旋转角为  , ∴ 'C B C B ∵点 'B 可以恰好落在 AB 的中点处, ∴点 是 的中点. ∵ 90A C B, ∴ 1''2CBABBB, ∴ ''CBCBBB, 即 'C B B 是等边三角形. ∴ 60B . ∵ , ∴ 30A ;  2 如图,过点 作 'CD AA 于点 D , 点 到 'AA 的距离等于 AC 的一半,即 1 2CD AC . 在 Rt ADC 中, 90ADC, 1sin 2 CDCAD AC , ∴ 30CAD, ∵ 'C A C A , ∴ '30ACAD . ∴ ' 1 2 0A C A,即 120  . 【点评】考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识,解题关键是正确掌握直角三角形的性质. 23.在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=3 2 ,点 D 是斜边 AB 上一动点(点 D 与点 A、B 不重合), 连接 CD,将 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到 CE,连接 AE,DE. (1)求△ ADE 的周长的最小值; (2)若 CD=4,求 AE 的长度. 【答案】(1)6+ 32;( 2)3﹣ 7 或 3+ 【解析】【分析】 (1)根据勾股定理得到 AB= AC=6,根据全等三角形的性质得到 AE=BD,当 DE 最小时,△ ADE 的周 长最小,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F,于是得到结论; (2)当点 D 在 CF 的右侧,当点 D 在 CF 的左侧,根据勾股定理即可得到结论 【详解】 解:(1)∵在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=3 2 ∴AB= AC=6, ∵∠ECD=∠ACB=90°, ∴∠ACE=∠BCD, 在△ ACE 与△ BCD 中, = A C B C A C E B C D C E C E      , ∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD, ∴△ADE 的周长=AE+AD+DE=AB+DE, ∴当 DE 最小时,△ ADE 的周长最小, 过点 C 作 CF⊥AB 于点 F, 当 CD⊥AB 时,CD 最短,等于 3,此时 DE=3 , ∴△ADE 的周长的最小值是 6+3 ; (2)当点 D 在 CF 的右侧, ∵CF= 1 2 AB=3,CD=4, ∴DF= 7 , ∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣ ; 当点 D 在 CF 的左侧,同理可得 AE=BD=3+ 7 , 综上所述:AE 的长度为 3﹣ 或 3+ . 【点评】本题考查旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,解题的关键是熟练运用旋转的性 质以及全等三角形的判定与性质. 24.两块等腰直角三角形纸片 A O B 和 C O D 按图 1 所示放置,直角顶点重合在点 O 处, 25AB  , 17CD  .保持纸片 不动,将纸片 绕点 逆时针旋转 ( 0 9 0 ) 角度,如图 2 所示.  1 利用图 证明 A C B D 且 A C B D ;  2 当 BD 与 CD 在同一直线上(如图 3 )时,求 AC 的长和  的正弦值. 【答案】(1)详见解析;(2)7, 7 25 . 【解析】【分析】 (1)图形经过旋转以后明确没有变化的边长,证明 AOCBOD ,得出 AC=BD, 延长 BD 交 AC 于 E,证明∠AEB=90  ,从而得到 BDAC . (2) 如图 3 中,设 AC=x,在 Rt△ ABC 中,利用勾股定理求出 x,再根据 sinα=sin∠ABC= AC AB 即可解决问题 【详解】 证明:如图 中,延长 交OA 于G ,交 于 E . ∵ 90AOBCOD , ∴ A O C D O B   , 在 A O C 和 B O D 中, OAOB AOCBOD OCOD      , ∴ A O C B O D , ∴ ACBD , CAODBO  , ∵ 90DBO GOB   , ∵ OGBAGE  , ∴ 90CAOAGE , ∴ 90AEG, ∴ BDAC .  2 解:如图3 中,设 AC x , ∵ BD 、CD 在同一直线上, , ∴ ABC 是直角三角形, ∴ 222ACBCAB, ∴ 222 (17)25xx , 解得 7x  , ∵ 45ODCDBO  , 45ABCDBO  , ∴ ABC   , ∴ 7sinsin 25 ACABC AB  . 【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识,解 题的关键是正确寻找全等三角形,利用全等三角形的性质解决问题,第二个问题的关键是利用(1)的结论 解决问题,属于中考常考题型.
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