中考数学试题分类汇编考点35:图形的平移和旋转

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中考数学试题分类汇编考点35:图形的平移和旋转

中考数学试题分类汇编:考点 35 图形的平移和旋转 一.选择题(共 4 小题) 1.(2018•海南)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 位于第一象限,点 A 的坐 标是(4,3),把△ABC 向左平移 6 个单位长度,得到△A1B1C1,则点 B1 的坐标 是( ) A.(﹣2,3) B.(3,﹣1) C.(﹣3,1) D.(﹣5,2) 【分析】根据点的平移的规律:向左平移 a 个单位,坐标 P(x,y) ⇒ P(x﹣a, y),据此求解可得. 【解答】解:∵点 B 的坐标为(3,1), ∴向左平移 6 个单位后,点 B1 的坐标(﹣3,1), 故选:C. 2.(2018•黄石)如图,将“笑脸”图标向右平移 4 个单位,再向下平移 2 个单位, 点 P 的对应点 P'的坐标是( ) A.(﹣1,6) B.(﹣9,6) C.(﹣1,2) D.(﹣9,2) 【分析】根据平移规律:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减即 可解决问题; 【解答】解:由题意 P(﹣5,4),向右平移 4 个单位,再向下平移 2 个单位, 点 P 的对应点 P'的坐标是(﹣1,2), 故选:C. 3.(2018•宜宾)如图,将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到△A'B'C'的位置, 已知△ABC 的面积为 9,阴影部分三角形的面积为 4.若 AA'=1,则 A'D 等于( ) A.2 B.3 C. D. 【分析】由 S△ABC=9、S△A′EF=4 且 AD 为 BC 边的中线知 S△A′DE= S△A′EF=2,S△ABD= S △ABC= ,根据△DA′E∽△DAB 知( )2= ,据此求解可得. 【解答】解:如图, ∵S△ABC=9、S△A′EF=4,且 AD 为 BC 边的中线, ∴S△A′DE= S△A′EF=2,S△ABD= S△ABC= , ∵将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到△A'B'C', ∴A′E∥AB, ∴△DA′E∽△DAB, 则( )2= ,即( )2= , 解得 A′D=2 或 A′D=﹣ (舍), 故选:A. 4.(2018•温州)如图,已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合,另两个顶 点 A,B 的坐标分别为(﹣1,0),(0, ).现将该三角板向右平移使点 A 与点 O 重合,得到△OCB′,则点 B 的对应点 B′的坐标是( ) A.(1,0) B.( , ) C.(1, ) D.(﹣1, ) 【分析】根据平移的性质得出平移后坐标的特点,进而解答即可. 【解答】解:因为点 A 与点 O 对应,点 A(﹣1,0),点 O(0,0), 所以图形向右平移 1 个单位长度, 所以点 B 的对应点 B'的坐标为(0+1, ),即(1, ), 故选:C. 二.填空题(共 4 小题) 5.(2018•长沙)在平面直角坐标系中,将点 A′(﹣2,3)向右平移 3 个单位长 度,再向下平移 2 个单位长度,那么平移后对应的点 A′的坐标是 (1,1) . 【分析】直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案. 【解答】解:∵将点 A′(﹣2,3)向右平移 3 个单位长度, ∴得到(1,3), ∵再向下平移 2 个单位长度, ∴平移后对应的点 A′的坐标是:(1,1). 故答案为:(1,1). 6.(2018•宿迁)在平面直角坐标系中,将点(3,﹣2)先向右平移 2 个单位长 度,再向上平移 3 个单位长度,则所得点的坐标是 (5,1) . 【分析】直接利用平移的性质得出平移后点的坐标即可. 【解答】解:∵将点(3,﹣2)先向右平移 2 个单位长度, ∴得到(5,﹣2), ∵再向上平移 3 个单位长度, ∴所得点的坐标是:(5,1). 故答案为:(5,1). 7.(2018•曲靖)如图:图象①②③均是以 P0 为圆心,1 个单位长度为半径的扇 形,将图形①②③分别沿东北,正南,西北方向同时平移,每次移动一个单位长 度,第一次移动后图形①②③的圆心依次为 P1P2P3,第二次移动后图形①②③的 圆心依次为 P4P5P6…,依次规律,P0P2018= 673 个单位长度. 【分析】根据 P0P1=1,P0P2=1,P0P3=1;P0P4=2,P0P5=2,P0P6=2;P0P7=3,P0P8=3, P0P9=3;可知每移动一次,圆心离中心的距离增加 1 个单位,依据 2018=3×672+2, 即可得到点 P2018 在正南方向上,P0P2018=672+1=673. 【解答】解:由图可得,P0P1=1,P0P2=1,P0P3=1; P0P4=2,P0P5=2,P0P6=2; P0P7=3,P0P8=3,P0P9=3; ∵2018=3×672+2, ∴点 P2018 在正南方向上, ∴P0P2018=672+1=673, 故答案为:673. 8.(2018•株洲)如图,O 为坐标原点,△OAB 是等腰直角三角形,∠OAB=90°, 点 B 的坐标为(0,2 ),将该三角形沿 x 轴向右平移得到 Rt△O′A′B′,此时点 B′的坐标为(2 ,2 ),则线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为 4 . 【分析】利用平移的性质得出 AA′的长,根据等腰直角三角形的性质得到 AA′对 应的高,再结合平行四边形面积公式求出即可. 【解答】解:∵点 B 的坐标为(0,2 ),将该三角形沿 x 轴向右平移得到 Rt △O′A′B′,此时点 B′的坐标为(2 ,2 ), ∴AA′=BB′=2 , ∵△OAB 是等腰直角三角形, ∴A( , ), ∴AA′对应的高 , ∴线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为 2 × =4. 故答案为:4. 三.解答题(共 14 小题) 9.(2018•枣庄)如图,在 4×4 的方格纸中,△ABC 的三个顶点都在格点上. (1)在图 1 中,画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形; (2)在图 2 中,画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形; ( 3 ) 在 图 3 中 , 画 出 △ ABC 绕 着 点 C 按 顺 时 针 方 向 旋 转 90° 后 的 三 角 形. 【分析】(1)根据中心对称的性质即可作出图形; (2)根据轴对称的性质即可作出图形; (3)根据旋转的性质即可求出图形. 【解答】解:(1)如图所示, △DCE 为所求作 (2)如图所示, △ACD 为所求作 (3)如图所示 △ECD 为所求作 10.(2018•吉林)如图是由边长为 1 的小正方形组成的 8×4 网格,每个小正方 形的顶点叫做格点,点 A,B,C,D 均在格点上,在网格中将点 D 按下列步骤移 动: 第一步:点 D 绕点 A 顺时针旋转 180°得到点 D1; 第二步:点 D1 绕点 B 顺时针旋转 90°得到点 D2; 第三步:点 D2 绕点 C 顺时针旋转 90°回到点 D. (1)请用圆规画出点 D→D1→D2→D 经过的路径; (2)所画图形是 轴对称 对称图形; (3)求所画图形的周长(结果保留π). 【分析】(1)利用旋转变换的性质画出图象即可; (2)根据轴对称图形的定义即可判断; (3)利用弧长公式计算即可; 【解答】解:(1)点 D→D1→D2→D 经过的路径如图所示: (2)观察图象可知图象是轴对称图形, 故答案为轴对称. (3)周长=4× =8π. 11.(2018•南充)如图,矩形 ABCD 中,AC=2AB,将矩形 ABCD 绕点 A 旋转得 到矩形 AB′C′D′,使点 B 的对应点 B'落在 AC 上,B'C'交 AD 于点 E,在 B'C′上取点 F,使 B'F=AB. (1)求证:AE=C′E. (2)求∠FBB'的度数. (3)已知 AB=2,求 BF 的长. 【分析】(1)在直角三角形 ABC 中,由 AC=2AB,得到∠ACB=30°,再由折叠的 性质得到一对角相等,利用等角对等边即可得证; (2)由(1)得到△ABB′为等边三角形,利用矩形的性质及等边三角形的内角为 60°,即可求出所求角度数; (3)由 AB=2,得到 B′B=B′F=2,∠B′BF=15°,过 B 作 BH⊥BF,在直角三角形 BB′H 中,利用锐角三角函数定义求出 BH 的长,由 BF=2BH 即可求出 BF 的长. 【解答】(1)证明:∵在 Rt△ABC 中,AC=2AB, ∴∠ACB=∠AC′B′=30°,∠BAC=60°, 由旋转可得:AB′=AB,∠B′AC=∠BAC=60°, ∴∠EAC′=∠AC′B′=30°, ∴AE=C′E; (2)解:由(1)得到△ABB′为等边三角形, ∴∠AB′B=60°, ∴∠FBB′=15°; (3)解:由 AB=2,得到 B′B=B′F=2,∠B′BF=15°, 过 B 作 BH⊥BF, 在 Rt△BB′H 中,cos15°= ,即 BH=2× = , 则 BF=2BH= + . 12.(2018•徐州)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形, 在建立平面直角坐标系后,△ABC 的顶点均在格点上,点 B 的坐标为(1,0) ①画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1; ②画出将△ABC 绕原点 O 按逆时针旋转 90°所得的△A2B2C2; ③△A1B1C1 与△A2B2C2 成轴对称图形吗?若成轴对称图形,画出所有的对称轴; ④△A1B1C1 与△A2B2C2 成中心对称图形吗?若成中心对称图形,写出所有的对称 中心的坐标. 【分析】(1)将三角形的各顶点,向 x 轴作垂线并延长相同长度得到三点的对 应点,顺次连接; (2)将三角形的各顶点,绕原点 O 按逆时针旋转 90°得到三点的对应点.顺次 连接各对应点得△A2B2C2; (3)从图中可发现成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两 对应点的线段,做它的垂直平分线; (4)成中心对称图形,画出两条对应点的连线,交点就是对称中心. 【解答】解:如下图所示: (3)成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段, 作它的垂直平分线, 或连接 A1C1,A2C2 的中点的连线为对称轴. (4)成中心对称,对称中心为线段 BB2 的中点 P,坐标是( , ). 13.(2018•温州)如图,P,Q 是方格纸中的两格点,请按要求画出以 PQ 为对 角线的格点四边形. (1)在图 1 中画出一个面积最小的▱ PAQB. (2)在图 2 中画出一个四边形 PCQD,使其是轴对称图形而不是中心对称图形, 且另一条对角线 CD 由线段 PQ 以某一格点为旋转中心旋转得到.注:图 1,图 2 在答题纸上. 【分析】(1)画出面积是 4 的格点平行四边形即为所求; (2)画出以 PQ 为对角线的等腰梯形即为所求. 【解答】解:(1)如图①所示: (2)如图②所示: 14.(2018•临沂)将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩 形 AEFG. (1)如图,当点 E 在 BD 上时.求证:FD=CD; (2)当α为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由. 【分析】(1)先运用 SAS 判定△AED≌△FDE,可得 DF=AE,再根据 AE=AB=CD, 即可得出 CD=DF; (2)当 GB=GC 时,点 G 在 BC 的垂直平分线上,分两种情况讨论,依据∠DAG=60°, 即可得到旋转角α的度数. 【解答】解:(1)由旋转可得,AE=AB,∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°,EF=BC=AD, ∴∠AEB=∠ABE, 又∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF, ∴∠EDA=∠DEF, 又∵DE=ED, ∴△AED≌△FDE(SAS), ∴DF=AE, 又∵AE=AB=CD, ∴CD=DF; (2)如图,当 GB=GC 时,点 G 在 BC 的垂直平分线上, 分两种情况讨论: ①当点 G 在 AD 右侧时,取 BC 的中点 H,连接 GH 交 AD 于 M, ∵GC=GB, ∴GH⊥BC, ∴四边形 ABHM 是矩形, ∴AM=BH= AD= AG, ∴GM 垂直平分 AD, ∴GD=GA=DA, ∴△ADG 是等边三角形, ∴∠DAG=60°, ∴旋转角α=60°; ②当点 G 在 AD 左侧时,同理可得△ADG 是等边三角形, ∴∠DAG=60°, ∴旋转角α=360°﹣60°=300°. 15.(2018•宁波)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,D 是 AB 边上一点 (点 D 与 A,B 不重合),连结 CD,将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°得 到线段 CE,连结 DE 交 BC 于点 F,连接 BE. (1)求证:△ACD≌△BCE; (2)当 AD=BF 时,求∠BEF 的度数. 【分析】(1)由题意可知:CD=CE,∠DCE=90°,由于∠ACB=90°,所以∠ACD= ∠ACB﹣∠DCB,∠BCE=∠DCE﹣∠DCB,所以∠ACD=∠BCE,从而可证明△ACD ≌△BCE(SAS) (2)由△ACD≌△BCE(SAS)可知:∠A=∠CBE=45°,BE=BF,从而可求出∠BEF 的度数. 【解答】解:(1)由题意可知:CD=CE,∠DCE=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB, ∠BCE=∠DCE﹣∠DCB, ∴∠ACD=∠BCE, 在△ACD 与△BCE 中, ∴△ACD≌△BCE(SAS) (2)∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠A=45°, 由(1)可知:∠A=∠CBE=45°, ∵AD=BF, ∴BE=BF, ∴∠BEF=67.5° 16.(2018•黑龙江)如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位 长度,在平面直角坐标系内,△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1,4),B(1, 1),C(3,1). (1)画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1; (2)画出△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°后的△A2B2C2; (3)在(2)的条件下,求线段 BC 扫过的面积(结果保留π). 【分析】(1)利用轴对称的性质画出图形即可; (2)利用旋转变换的性质画出图形即可; (3)BC 扫过的面积= ﹣ ,由此计算即可; 【解答】解:(1)△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 如图所示; (2)△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°后的△A2B2C2 如图所示; (3)BC 扫过的面积= ﹣ = ﹣ =2π. 17.(2018•广西)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC 的三个顶点坐标分 别是 A(1,1),B(4,1),C(3,3). (1)将△ABC 向下平移 5 个单位后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1; (2)将△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2; (3)判断以 O,A1,B 为顶点的三角形的形状.(无须说明理由) 【分析】(1)利用点平移的坐标特征写出 A1、B1、C1 的坐标,然后描点即可得 到△A1B1C1 为所作; (2)利用网格特定和旋转的性质画出 A、B、C 的对应点 A2、B2、C2,从而得到 △A2B2C2, (3)根据勾股定理逆定理解答即可. 【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求: (2)如图所示,△A2B2C2 即为所求: (3)三角形的形状为等腰直角三角形,OB=OA1= ,A1B= , 即 , 所以三角形的形状为等腰直角三角形. 18.(2018•眉山)在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面 直角坐标系,△ABC 的顶点都在格点上,请解答下列问题: (1)作出△ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的△A1B1C1,并写出点 C1 的坐标; (2)作出△ABC 关于原点 O 对称的△A2B2C2,并写出点 C2 的坐标; (3)已知△ABC 关于直线 l 对称的△A3B3C3 的顶点 A3 的坐标为(﹣4,﹣2), 请直接写出直线 l 的函数解析式. 【分析】(1)利用网格特点和平移的性质写出点 A、B、C 的对应点 A1、B1、C1 的坐标,然后描点得到△A1B1C1; (2)根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点 A2、B2、C2 的坐标,然后描 点即可; (3)根据对称的特点解答即可. 【解答】解:(1)如图,△A1B1C1 为所作,C1(﹣1,2); (2)如图,△A2B2C2 为所作,C2(﹣3,﹣2); (3)因为 A 的坐标为(2,4),A3 的坐标为(﹣4,﹣2), 所以直线 l 的函数解析式为 y=﹣x, 19.(2018•自贡)如图,已知∠AOB=60°,在∠AOB 的平分线 OM 上有一点 C, 将一个 120°角的顶点与点 C 重合,它的两条边分别与直线 OA、OB 相交于点 D、 E. (1)当∠DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时(如图 1),请猜想 OE+OD 与 OC 的数量关系,并说明理由; (2)当∠DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时,到达图 2 的位置,(1)中的 结论是否成立?并说明理由; (3)当∠DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 的反向延长线相交时,上述结论是否成立? 请在图 3 中画出图形,若成立,请给于证明;若不成立,线段 OD、OE 与 OC 之 间 又 有 怎 样 的 数 量 关 系 ? 请 写 出 你 的 猜 想 , 不 需 证 明. 【分析】(1)先判断出∠OCE=60°,再利用特殊角的三角函数得出 OD= OC, 同 OE= OC,即可得出结论; (2)同(1)的方法得 OF+OG= OC,再判断出△CFD≌△CGE,得出 DF=EG, 最后等量代换即可得出结论; (3)同(2)的方法即可得出结论. 【解答】解:(1)∵OM 是∠AOB 的角平分线, ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB=30°, ∵CD⊥OA, ∴∠ODC=90°, ∴∠OCD=60°, ∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°, 在 Rt△OCD 中,OD=OC•cos30°= OC, 同理:OE= OC, ∴OD+OE= OC; (2)(1)中结论仍然成立,理由: 过点 C 作 CF⊥OA 于 F,CG⊥OB 于 G, ∴∠OFC=∠OGC=90°, ∵∠AOB=60°, ∴∠FCG=120°, 同(1)的方法得,OF= OC,OG= OC, ∴OF+OG= OC, ∵CF⊥OA,CG⊥OB,且点 C 是∠AOB 的平分线 OM 上一点, ∴CF=CG, ∵∠DCE=120°,∠FCG=120°, ∴∠DCF=∠ECG, ∴△CFD≌△CGE, ∴DF=EG, ∴OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE﹣EG, ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE, ∴OD+OE= OC; (3)(1)中结论不成立,结论为:OE﹣OD= OC, 理由:过点 C 作 CF⊥OA 于 F,CG⊥OB 于 G, ∴∠OFC=∠OGC=90°, ∵∠AOB=60°, ∴∠FCG=120°, 同(1)的方法得,OF= OC,OG= OC, ∴OF+OG= OC, ∵CF⊥OA,CG⊥OB,且点 C 是∠AOB 的平分线 OM 上一点, ∴CF=CG,∵∠DCE=120°,∠FCG=120°, ∴∠DCF=∠ECG, ∴△CFD≌△CGE, ∴DF=EG, ∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD,OG=OE﹣EG, ∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD, ∴OE﹣OD= OC. 20.(2018•岳阳)已知在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,CD 为∠ACB 的平分线,将 ∠ACB 沿 CD 所在的直线对折,使点 B 落在点 B′处,连结 AB',BB',延长 CD 交 BB'于点 E,设∠ABC=2α(0°<α<45°). (1)如图 1,若 AB=AC,求证:CD=2BE; (2)如图 2,若 AB≠AC,试求 CD 与 BE 的数量关系(用含α的式子表示); (3)如图 3,将(2)中的线段 BC 绕点 C 逆时针旋转角(α+45°),得到线段 FC, 连结 EF 交 BC 于点 O,设△COE 的面积为 S1,△COF 的面积为 S2,求 (用含α 的式子表示). 【分析】(1)由翻折可知:BE=EB′,再利用全等三角形的性质证明 CD=BB′即可; (2)如图 2 中,结论:CD=2•BE•tan2α.只要证明△BAB′∽△CAD,可得 = = ,推出 = ,可得 CD=2•BE•tan2α; ( 3 ) 首 先 证 明 ∠ ECF=90° , 由 ∠ BEC+ ∠ ECF=180° , 推 出 BB′ ∥ CF , 推 出 = = =sin(45°﹣α),由此即可解决问题; 【解答】解:(1)如图 1 中, ∵B、B′关于 EC 对称, ∴BB′⊥EC,BE=EB′, ∴∠DEB=∠DAC=90°, ∵∠EDB=∠ADC, ∴∠DBE=∠ACD, ∵AB=AC,∠BAB′=∠DAC=90°, ∴△BAB′≌CAD, ∴CD=BB′=2BE. (2)如图 2 中,结论:CD=2•BE•tan2α. 理由:由(1)可知:∠ABB′=∠ACD,∠BAB′=∠CAD=90°, ∴△BAB′∽△CAD, ∴ = = , ∴ = , ∴CD=2•BE•tan2α. (3)如图 3 中, 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°﹣2α, ∵EC 平分∠ACB, ∴∠ECB= (90°﹣2α)=45°﹣α, ∵∠BCF=45°+α, ∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°, ∴∠BEC+∠ECF=180°, ∴BB′∥CF, ∴ = = =sin(45°﹣α), ∵ = , ∴ =sin(45°﹣α). 21.(2018•广东)已知 Rt△OAB,∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜边 OB=4,将 Rt △OAB 绕点 O 顺时针旋转 60°,如题图 1,连接 BC. (1)填空:∠OBC= 60 °; (2)如图 1,连接 AC,作 OP⊥AC,垂足为 P,求 OP 的长度; (3)如图 2,点 M,N 同时从点 O 出发,在△OCB 边上运动,M 沿 O→C→B 路 径匀速运动,N 沿 O→B→C 路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒,点 N 的运动速度为 1 单位/秒,设运动时间为 x 秒, △OMN 的面积为 y,求当 x 为何值时 y 取得最大值?最大值为多少? 【分析】(1)只要证明△OBC 是等边三角形即可; (2)求出△AOC 的面积,利用三角形的面积公式计算即可; (3)分三种情形讨论求解即可解决问题:①当 0<x≤ 时,M 在 OC 上运动,N 在 OB 上运动,此时过点 N 作 NE⊥OC 且交 OC 于点 E.②当 <x≤4 时,M 在 BC 上运动,N 在 OB 上运动. ③当 4<x≤4.8 时,M、N 都在 BC 上运动,作 OG⊥BC 于 G. 【解答】解:(1)由旋转性质可知:OB=OC,∠BOC=60°, ∴△OBC 是等边三角形, ∴∠OBC=60°. 故答案为 60. (2)如图 1 中, ∵OB=4,∠ABO=30°, ∴OA= OB=2,AB= OA=2 , ∴S△AOC= •OA•AB= ×2×2 =2 , ∵△BOC 是等边三角形, ∴∠OBC=60°,∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°, ∴AC= =2 , ∴OP= = = . (3)①当 0<x≤ 时,M 在 OC 上运动,N 在 OB 上运动,此时过点 N 作 NE⊥ OC 且交 OC 于点 E. 则 NE=ON•sin60°= x, ∴S△OMN= •OM•NE= ×1.5x× x, ∴y= x2. ∴x= 时,y 有最大值,最大值= . ②当 <x≤4 时,M 在 BC 上运动,N 在 OB 上运动. 作 MH⊥OB 于 H.则 BM=8﹣1.5x,MH=BM•sin60°= (8﹣1.5x), ∴y= ×ON×MH=﹣ x2+2 x. 当 x= 时,y 取最大值,y< , ③当 4<x≤4.8 时,M、N 都在 BC 上运动,作 OG⊥BC 于 G. MN=12﹣2.5x,OG=AB=2 , ∴y= •MN•OG=12 ﹣ x, 当 x=4 时,y 有最大值,最大值=2 , 综上所述,y 有最大值,最大值为 . 22.(2018•德州)再读教材: 宽与长的比是 (约为 0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、 匀称的美感,世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金 矩形的设计,下面,我们用宽为 2 的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示:MN=2) 第一步,在矩形纸片一端,利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平. 第二步,如图②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平. 第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB 折到图①中所示的 AD 处. 第四步,展平纸片,按照所得的点 D 折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄 金矩形. 问题解决: (1)图③中 AB= (保留根号); (2)如图③,判断四边形 BADQ 的形状,并说明理由; (3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由. 实际操作 (4)结合图④,请在矩形 BCDE 中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用 字母表示出来,并写出它的长和宽. 【分析】(1)理由勾股定理计算即可; (2)根据菱形的判定方法即可判断; (3)根据黄金矩形的定义即可判断; (4)如图④﹣1 中,在矩形 BCDE 上添加线段 GH,使得四边形 GCDH 为正方形, 此时四边形 BGHE 为所求是黄金矩形; 【解答】解:(1)如图 3 中,在 Rt△ABC 中,AB= = = , 故答案为 . (2)结论:四边形 BADQ 是菱形. 理由:如图③中, ∵四边形 ACBF 是矩形, ∴BQ∥AD, ∵AB∥DQ, ∴四边形 ABQD 是平行四边形, 由翻折可知:AB=AD, ∴四边形 ABQD 是菱形. (3)如图④中,黄金矩形有矩形 BCDE,矩形 MNDE. ∵AD= .AN=AC=1, CD=AD﹣AC= ﹣1, ∵BC=2, ∴ = , ∴矩形 BCDE 是黄金矩形. ∵ = = , ∴矩形 MNDE 是黄金矩形. (4)如图④﹣1 中,在矩形 BCDE 上添加线段 GH,使得四边形 GCDH 为正方形, 此时四边形 BGHE 为所求是黄金矩形. 长 GH= ﹣1,宽 HE=3﹣ .
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