整理中考数学几何图形旋转试题经典问题及解答

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整理中考数学几何图形旋转试题经典问题及解答

几何图形旋转常见问题 ‎    一、填空题 ‎  1.如图1,把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,则它们的公共部分的面积等于     .‎ ‎    ‎ ‎2.如图2,将一块斜边长为‎12cm,∠B=60°的直角三角板ABC,绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置,再沿CB向右平移,使点B′刚好落在斜边AB上,那么此三角板向右平移的距离是     cm. ‎ ‎3.正△ABC的边长为‎3cm,边长为‎1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合,点P,Q分别在AC,AB上,将△RPQ沿着边AB,BC,CA顺时针连续翻转(如图3所示),直至点P第一次回到原来的位置,则点P运动路径的长为    cm.‎ ‎4.如图4,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,∠BCD=45°,将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED,连结AE,CE,则△ADE的面积是     .‎ ‎  二、解答题 ‎  5.如图5-1,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.‎ ‎  (1) 求证:BP=DP;‎ ‎  (2) 如图5-2,若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请给予证明;若不是,请用反例加以说明;‎ ‎(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与四边形PECF的两个顶点连结,使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等,并证明你的结论 .‎ ‎  6.如图6-1是一个美丽的风车图案,你知道它是怎样画出来的吗?按下列步骤可画出这个风车图案:在图6-2中,先画线段OA,将线段OA平移至CB处,得到风车的第一个叶片F1,然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转180°得到第二个叶片F2,再将F1、F2同时绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F3、F4.根据以上过程,解答下列问题:‎ ‎  (1)若点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(2,1),写出此时点B的坐标;‎ ‎  (2)请你在图6-2中画出第二个叶片F2;‎ ‎  (3)在(1)的条件下,连接OB,由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中,线段OB扫过的图形面积是多少?‎ ‎  7.如图7,在直角坐标系中,已知点P0的坐标为(1,0),将线段OP0按逆时针方向旋转45°,再将其长度伸长为OP0的2倍,得到线段OP1;又将线段OP1按逆时针方向旋转45°,长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2;如此下去,得到线段OP3,OP4,…,OPn(n为正整数).‎ ‎  (1)求点P6的坐标;‎ ‎  (2)求△P5OP6的面积;‎ ‎(3)我们规定:把点Pn(xn,yn)(n=0,1,2,3,…)的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标(|xn|,|yn|)称之为点Pn的“绝对坐标”.根据图中点Pn的分布规律,请你猜想点Pn的“绝对坐标”,并写出来.‎ ‎  8.把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H(如图8).试问线段HG与线段HB相等吗?请先观察猜想,然后再证明你的猜想.‎ ‎  9.如图9-1,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图9-2),  量得他们的斜边长为‎10cm,较小锐角为30°,再将这两张三角形纸片摆成如图9-3的形状,但点B、C、F、D在同一条直线上,且点C与点F重合(在图9-3至图9-6中统一用F表示)‎ ‎ 图9-1          图9-2           图9-3‎ ‎  小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决.‎ ‎  (1)将图9-3中的△ABF沿BD向右平移到图9-4的位置,使点B与点F 重合,请你求出平移的距离;‎ ‎  (2)将图9-3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图9-5的位置,A1F交DE于点G,请你求出线段FG的长度;‎ ‎  (3)将图9-3中的△ABF沿直线AF翻折到图9-6的位置,AB1交DE于点H,请证明:AH﹦DH.‎ ‎  ‎ 图9-4        图9-5      图9-6‎ 参考答案 ‎  一、1. 2. 6-2 3.2π 4.1‎ ‎  二、‎ ‎  5. 解:(1)解法一:在△ABP与△ADP中,利用全等可得BP=DP. ‎ ‎  解法二:利用正方形的轴对称性,可得BP=DP. ‎ ‎  (2)不是总成立 . ‎ ‎  当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,点P旋转到BC边上时,DP>DC>BP,此时BP=DP不成立. ‎ ‎  (3)连接BE、DF,则BE与DF始终相等.‎ ‎  在图1-1中,可证四边形PECF为正方形,‎ ‎  在△BEC与△DFC中,可证△BEC≌△DFC . ‎ ‎  从而有 BE=DF .  ‎ ‎  6. 解:(1)B(6,1) ‎ ‎  (2)图略 ‎ ‎  (3)线段OB扫过的图形是一个半圆.过B作BD⊥x轴于D.由(1)知B点坐标为(6,1),∴OB2=OD2+BD2=62+12=37.∴线段OB扫过的图形面积是.‎ ‎  7. 解:(1)根据旋转规律,点P6落在y轴的负半轴,而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的 倍,故其坐标为P6(0,26),即P6(0,64).‎ ‎  (2)由已知可得,‎ ‎  △P0OP1∽△P1OP2∽…∽△Pn-1OPn,‎ ‎  设P1(x1,y1),则y1=2sin45°=,∴.‎ ‎  又∵,‎ ‎  ∴.‎ ‎  (3)由题意知,OP0旋转8次之后回到x轴正半轴,在这8次中,点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上,但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数,因此,点Pn的坐标可分三类情况:令旋转次数为n.‎ ‎  ①当n=8k或n=8k+4时(其中k为自然数),点Pn落在x轴上,此时,点Pn的绝对坐标为(2n,0);‎ ‎  ②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时(其中k为自然数),点Pn落在各象限的平分线上,‎ ‎  此时,点Pn的绝对坐标为,即.‎ ‎  ③当n=8k+2或n=8k+6时(其中k为自然数),点Pn落在y轴上,此时,点Pn的绝对坐标为(0,2n).‎ ‎  8. 解:HG=HB.‎ ‎  证法1:连结AH(如图10).‎ ‎  ∵四边形ABCD,AEFG都是正方形,‎ ‎  ∴∠B=∠G=90°.‎ ‎  由题意,知AG=AB,又AH=AH,‎ ‎  ∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL).‎ ‎  ∴HG=HB.‎ ‎  证法2:连结GB(如图11).‎ ‎  ∵四边形ABCD,AEFG都是正方形,‎ ‎  ∴∠ABC=∠AGF=90°.‎ ‎  由题意知AB=AG.‎ ‎  ∴∠AGB=∠ABG.‎ ‎  ∴∠HGB=∠HBG.‎ ‎  ∴HG=HB.‎ ‎  9. 解:(1)图形平移的距离就是线段BC的长.‎ ‎  ∵在Rt△ABC中,斜边长为10cm,∠BAC=30°,∴BC=5cm.‎ ‎  ∴平移的距离为5cm.(2分)‎ ‎  (2)∵∠A1FA=30°,∴∠GFD=60°.又∠D=30°,‎ ‎  ∴∠FGD=90°.‎ ‎  在Rt△EFD中,ED=10 cm,∴ .‎ ‎  ∵FG=cm.‎ ‎  (3)在△AHE与△DHB1中,∠FAB1=∠EDF=30°.‎ ‎  ∵FD=FA,EF=FB=FB1,‎ ‎  ∴FD-FB1=FA-FE,即AE=DB1.‎ ‎  又∵∠AHE=∠DHB1,∴△AHE≌△DHB1(AAS).‎ ‎  ∴AH=DH.‎
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