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文档介绍
高考数学试题分类汇编——函数与导数
2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1）函数的定义域为（ C ） A． B． C． D． 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ A ） s t O A． s t O s t O s t O B． C． D． 3.（全国一6）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ B ） A． B． C． D． 4.（全国一7）设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ D ） A．2 B． C． D． 5.（全国一9）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ D ） A． B． C． D． 6.（全国二3）函数的图像关于（ C ） A．轴对称 B． 直线对称 C． 坐标原点对称 D． 直线对称 8.（全国二4）若，则（ C ） A．<< B．<< C． << D． << 9.（北京卷2）若，，，则（ A ） A． B． C． D． 10.（北京卷3）“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ B ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设，其中，则是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 12.（四川卷11）设定义在上的函数满足，若，则( C ) （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 13.（天津卷3）函数（）的反函数是A （A）（） （B）（） （C）（） （D）（） 14.（天津卷10）设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为B （A） （B） （C） （D） 15.（安徽卷7）是方程至少有一个负数根的（ B ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称。而函数的图象与的图象关于轴对称，若 ，则的值是（ B ） A． B． C． D． 17.（安徽卷11）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ D ） A． B． C． D． 18.（山东卷3）函数y＝lncosx(-＜x＜的图象是A 19.（山东卷4）设函数f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为A (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 20.（江西卷3）若函数的值域是，则函数的值域是B A． B． C． D． 21.（江西卷6）函数在区间内的图象是 D 22.（江西卷12）已知函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是B A． B． C． D． 23.（湖北卷4）函数的定义域为D A. B. C. D. 24.（湖北卷7）若上是减函数，则的取值范围是C A. B. C. D. 25.（湖北卷13）已知函数,,其中,为常数，则方程的解集为 . 26.（湖南卷10）设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［］=1）,对于给定的nN*,定义x,则当x时，函数的值域是( D ) A. B. C. D. 27.（陕西卷7）已知函数，是的反函数，若（），则的值为（ A ） A． B．1 C．4 D．10 28.（陕西卷11）定义在上的函数满足（），，则等于（ C ） A．2 B．3 C．6 D．9 29.（重庆卷4)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为C (A) (B) (C) (D) 30.（重庆卷6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是C (A)f(x)为奇函数 （B）f(x)为偶函数 (C) f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数 31.（福建卷4)函数f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为B A.3 B.0 C.-1 D.-2 32.（福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是D 33.（广东卷7）设，若函数，有大于零的极值点，则（ B ） A． B． C． D． 34.（辽宁卷6）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ A ） A． B． C． D． 35.（辽宁卷12）设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有x之和为（ C ） A． B． C． D． 一． 填空题： 1.（上海卷4）若函数f(x)的反函数为f －1(x)＝x2（x＞0），则f(4)＝ 2 2.（上海卷8）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)＞0的x的取值范围是 (－1,0)∪(1,+∞) 3.（上海卷11）方程x2+x－1＝0的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是 (－∞, －6)∪(6,+∞); 4.（全国二14）设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．2 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 5.（北京卷12）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 2 ； －2 ．（用数字作答） 6.（北京卷13）已知函数，对于上的任意，有如下条件：①； ②； ③．其中能使恒成立的条件序号是 ② ． 7.（北京卷14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时， 表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 8.（安徽卷13）函数的定义域为 ． 9.（江苏卷8）直线是曲线的一条切线，则实数b＝ ．ln2－1． 10.（江苏卷14）对于总有≥0 成立，则= ．4 11.（湖南卷13）设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点 . (-1,2) 12.（湖南卷14）已知函数 （1）若a＞0,则的定义域是 ; (2) 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 . 13.（重庆卷13)已知(a>0) ，则 .3 14.（浙江卷15）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t=___。1 15.（辽宁卷13）函数的反函数是__________． 一． 解答题： 1.（全国一19）．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） 已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围． 解：（1）求导： 当时，，，在上递增 当，求得两根为 即在递增，递减， 递增 （2），且解得： 2.（全国二22）．（本小题满分12分） 设函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围． 解： （Ⅰ）． 2分 当（）时，，即； 当（）时，，即． 因此在每一个区间（）是增函数， 在每一个区间（）是减函数． 6分 （Ⅱ）令，则 ． 故当时，． 又，所以当时，，即． 9分 当时，令，则． 故当时，． 因此在上单调增加． 故当时，， 即． 于是，当时，． 当时，有． 因此，的取值范围是． 12分 3.（北京卷18）．（本小题共13分） 已知函数，求导函数，并确定的单调区间． 解： ． 令，得． 当，即时，的变化情况如下表： 0 当，即时，的变化情况如下表： 0 所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减． 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减． 4.（四川卷22）．（本小题满分14分） 已知是函数的一个极值点。 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。 【解】：（Ⅰ）因为 所以 因此 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 当时， 当时， 所以的单调增区间是 的单调减区间是 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时， 所以的极大值为，极小值为 因此 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当 因此，的取值范围为。 5.（天津卷21）（本小题满分14分） 已知函数（），其中． （Ⅰ）当时，讨论函数的单调性； （Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围； （Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围． 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解：． 当时，． 令，解得，，． 当变化时，，的变化情况如下表： 0 2 － 0 ＋ 0 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在，内是增函数，在，内是减函数． （Ⅱ）解：，显然不是方程的根． 为使仅在处有极值，必须成立，即有． 解些不等式，得．这时，是唯一极值． 因此满足条件的的取值范围是． （Ⅲ）解：由条件，可知，从而恒成立． 当时，；当时，． 因此函数在上的最大值是与两者中的较大者． 为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立． 所以，因此满足条件的的取值范围是． 6.（安徽卷20）．（本小题满分12分） 设函数 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。 解 (1) 若 则 列表如下 + 0 - - 单调增 极大值 单调减 单调减 (2) 在 两边取对数, 得 ,由于所以 (1) 由(1)的结果可知,当时, , 为使(1)式对所有成立,当且仅当,即 7.（山东卷21）（本小题满分12分） 已知函数其中n∈N*,a为常数. （Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值； （Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1. （Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}， 当n=2时， 所以 （1）当a＞0时，由f(x)=0得 ＞1，＜1， 此时 f′（x）=. 当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减； 当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0, f(x)单调递增. （2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值. 综上所述，n=2时， 当a＞0时，f(x)在处取得极小值，极小值为 当a≤0时，f(x)无极值. （Ⅱ）证法一：因为a=1,所以 当n为偶数时， 令 则 g′（x）=1+＞0（x≥2）. 所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增， 又 g(2)=0 因此≥g(2)=0恒成立， 所以f(x)≤x-1成立. 当n为奇数时， 要证≤x-1,由于＜0，所以只需证ln(x-1) ≤x-1, 令 h(x)=x-1-ln(x-1), 则 h′（x）=1-≥0（x≥2）, 所以 当x∈[2，+∞]时，单调递增，又h(2)=1＞0， 所以当x≥2时，恒有h(x) ＞0,即ln（x-1）＜x-1命题成立. 综上所述，结论成立. 证法二：当a=1时， 当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有≤1， 故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1. 令 则 当x≥2时，≥0，故h(x)在上单调递增， 因此 当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立. 故 当x≥2时，有≤x-1. 即f（x）≤x-1. 8.（江苏卷17）．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km． （Ⅰ）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式； ②设OP(km) ，将表示成x的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 【解析】本小题主要考查函数最值的应用． （Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故 ，又OP＝10－10ta， 所以， 所求函数关系式为 ②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB= 所求函数关系式为 （Ⅱ）选择函数模型①， 令0 得sin ，因为，所以=， 当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边 km处。 9.（江苏卷20）若，，为常数， 且 （Ⅰ）求对所有实数成立的充要条件（用表示）； （Ⅱ）设为两实数，且,若 求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）． 【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用． （Ⅰ）恒成立 （*） 因为 所以，故只需（*）恒成立 综上所述，对所有实数成立的充要条件是： （Ⅱ）1°如果，则的图象关于直线对称．因为，所以区间关于直线 对称． 因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为 2°如果. （1）当时.， 当，因为，所以， 故= 当，因为，所以 故= 因为，所以，所以即 当时，令，则，所以， 当时，，所以= 时，，所以= 在区间上的单调增区间的长度和 = （2）当时.， 当，因为，所以， 故= 当，因为，所以 故= 因为，所以，所以 当时，令，则，所以， 当时， ，所以= 时，，所以= 在区间上的单调增区间的长度和 = 综上得在区间上的单调增区间的长度和为 10.（江西卷22）．（本小题满分14分） 已知函数，． ．当时，求的单调区间； ．对任意正数，证明：． 解：、当时，，求得 ， 于是当时，；而当 时，． 即在中单调递增，而在中单调递减． （2）.对任意给定的，，由 ， 若令 ，则 … ① ，而 … ② （一）、先证；因为，，， 又由 ，得 ． 所以 ． （二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则 （ⅰ）、当，则，所以，因为 ， ，此时． （ⅱ）、当 …③，由①得 ,，， 因为 所以 … ④ 同理得 … ⑤ ，于是 … ⑥ 今证明 … ⑦, 因为 ， 只要证 ，即 ，也即 ，据③，此为显然． 因此⑦得证．故由⑥得 ． 综上所述，对任何正数，皆有． 11.（湖北卷20）.(本小题满分12分) 水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为 （Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？ （Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）. 解： 水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为 （Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？ （Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）. 12.（湖南卷21）（本小题满分13分） 已知函数f(x)=ln2(1+x)-. (I) 求函数的单调区间; （Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）. 求的最大值. 解: （Ⅰ）函数的定义域是， 设则 令则 当时， 在（-1，0）上为增函数， 当x＞0时，在上为减函数. 所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以， 函数g(x)在上为减函数. 于是当时， 当x＞0时， 所以，当时，在（-1，0）上为增函数. 当x＞0时，在上为减函数. 故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为. （Ⅱ）不等式等价于不等式由知， 设则 由（Ⅰ）知，即 所以于是G(x)在上为减函数. 故函数G（x）在上的最小值为 所以a的最大值为 13.（陕西卷21）．（本小题满分12分） 已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是． （Ⅰ）求函数的另一个极值点； （Ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围． 解：（Ⅰ），由题意知， 即得，（*），． 由得， 由韦达定理知另一个极值点为（或）． （Ⅱ）由（*）式得，即． 当时，；当时，． （i）当时，在和内是减函数，在内是增函数． ， ， 由及，解得． （ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数． ， 恒成立． 综上可知，所求的取值范围为． 14.（重庆卷20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.） 设函数曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1）） 处的切线垂直于y轴. （Ⅰ）用a分别表示b和c； （Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间. 解：(Ⅰ)因为 又因为曲线通过点（0，2a+3）, 故 又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故 即-2a+b=0,因此b=2a. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 故当时，取得最小值-. 此时有 从而 所以 令，解得 当 当 当 由此可见，函数的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）. 15.（福建卷19）（本小题满分12分） 已知函数. （Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上； （Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值. 本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分. (Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x2+2x, 由点在函数y=f′(x)的图象上, 又所以 所以,又因为′(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解:, 由得. 当x变化时,﹑的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 注意到,从而 ①当,此时无极小值； ②当的极小值为,此时无极大值； ③当既无极大值又无极小值. 16.（福建卷22）（本小题满分14分） 已知函数f(x)=ln(1+x)-x1 （Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）记f(x)在区间（n∈N*）上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx. （Ⅲ）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围； （Ⅳ）求证： 本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分. 解法一： （I）因为f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（-1,+）,且f〃(x)=-1=. 由f〃(x)>0得-1查看更多