- 2021-05-10 发布 |
- 37.5 KB |
- 30页
申明敬告： 本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
数学经典易错题会诊与高考试题预测7
高考数学经典易错题会诊(七)
考点7 不等式
经典易错题会诊
命题角度1 不等式的概念与性质
命题角度2 均值不等式的应用
命题角度3 不等式的证明
命题角度4 不等式的解法
命题角度5 不等式的综合应用
探究开放题预测
预测角度1 不等式的概念与性质
预测角度2 不等式的解法
预测角度3 不等式的证明
预测角度4 不等式的工具性
预测角度5 不等式的实际应用
经典易错题会诊
命题角度1
不等式的概念与性质
1．(典型例题)如果a、b、c满足c
ac B．c(b-a)>0
C．cb2c，而ab，ao不一定成立，原因是不知a的符号．
[专家把脉] 由d>b>c，且ac<0．则。与c必异号，又由a>c，故a>0，c<0，条件分析不透．
[对症下药] C．由a>b>c且ac>0，故a>0且c<0．
(1)由b>c，又∵a>0，∴ab>ac．(2)∵b-a<0，c< 0(b-a)·c>0，D．a-c>0，acab;②|a|>|b|；③aloga(1+)
③a1+aa
其中成立的是 ( )
A.①与③ B．①与④
C.②与③ D．②与④
[考场错解] B ∵1+a<1+，故1oga(1+a)< loga(1+)．
[专家把脉] 对数函数比较大小要考虑底数a的范围，它与指数函数一样．
[对症下药] D ∵0 1oga(1+)，a1+a>a．
4．(典型例题)已知实数a、b满足等式，下列五个关系式①0-b，∴a0时，a>b”
30
．不能弱化条件变成“”也不能强化条件变为“a>b>0 ”
考场思维训练
1 若，|a|>，|b|>0，且ab>0，则下列不等式中能成立的是 ( )
A． B．
C． D．
答案： C 解析：利用特值法可看出某些选择不能成立，而事实上，∵|a|，|b|>0，
又0<<1，∴10g|a|N 解析：由>0，
得，由s，0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是 ( )
A． B．
C． D．
[考场错解] Di不一定大于或等于
[专家把脉] D中直接放缩显然不易比较．
[对症下药] B A：a+b≥2ab,
∴成立
C：a2+b2+2=a2+1+b2+1≥2a+2b (当且仅当a=b=1时取“=”)
∴成立
D：两边平方|a-b|≥a+b-2
∴a-b≥a+b-2或a-b≤-a-b+2当时显然成立．
解得a≥b或a≤b ∴成立．
2．(典型例题)设x∈(0，π)，则函数f(x)=sinx+的最小值是 ( )
A．4 B．5
30
C．3 D．6
[考场错解] 因为x∈(0，π)，所以sinx>0，>0， f(x)=sinx+=4，因此f(x)的最小值是
4．故选A
[专家把脉] 忽略了均值不等式a+b≥2(a.0， b>0)中等号成立的条件：当且仅当a=b时等号成立．事实上，sinx=不可能成立，因为它成立的条件是sinx=±2，这不可能．
[对症下药] (1)f(x)=sinx+=sinx++，因为sinx+≥2，当且仅当sinx=1即x= 时等号成立．又≥3，当且仅当sinx=1即x=时等号成立．所以f(x)=sinx+≥2+3=5，f(x)的最小值是5．故应选B．
(2)令sinx=t，因为x∈(0，π)，所以01;
(Ⅱ)点P(xo,yo)(00与a<0两种情况的讨论。
[对症下药](1)同错解(1)
(2)由
30
=
综上所述不等式成立
专家会诊
(1) 证明不等式，要掌握不等式的证明基本方法，如分析法、综合法、放缩法、函数法、反证法、换元法等.
(2) 对不等式与数列、函数方和程、导数等内容的综合证明题，难度较大，要结合性质与不等式的基本证明方法相结合，灵活解题，也体现了不等式的工具性，是高考命题的趋势。
考场思维训练
1．已知函数
(1)若f(x)在x=1和x=3处取得极值，试求b、c的值；
答案：解析：(1)f′(x)=x2+(b-1)x+c，
由题意得，1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的两根
(2)若f(x)在(-∞,x1)∪(x2,+ ∞)上单调递增且在(x1,x2)上单调递减，又满足x2-x1>1.求证：b2>2(b+2c)；
答案：由题意得，当x∈(-∞，x1)∪(x2，+∞)时，f′(x)>0；x∈(x1，x2)时f′，(x)<0，
∴x1，x2是方程f′，(x)=x2+(b-1)x+c的两根，
则x1+x2=1-b，x1x2=c，
∴b2-2(b+2c)=b2-2b-4c=(b-1)2-4c-1
=(x1+x2)2-4x1x2-1=(x2-x1)2-1．
∵x2-x1>1，∴(x2-x1)2-1>0，
∴b2>2(b+2c)．
(3)在(2)的条件下，若t1+x1>1+t，∴t+1-x2<0，又t0，即t2+bt+c>x1 .
2．已知数列
30
(1) 问是否存在m∈N,使xm=2,并证明你的结论；
答案：假设存在m∈N*，使xm=2，则2=xm-1=2，
同理可得xm-2=2，
以此类推有x1=2，这与x1=1矛盾，故不存在m∈N*，使xm=2．
(2) 试比较xn与2的大小关系；
(3) 设
答案：当n≥2时，xn+1，-2=-2==-，则xn>0，∴xn+1-2与xn-2符号相反，而x1=1< 2，则x2>2，以此类推有：x2n-1<2，x2n>2；
(3)
命题角度4 不等式的解法
1．(典型例题)在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y),若不等式(x-a) ⊗(x+a)<1对任意实数x成立，则a的范围是 ( )
[考场错解]A
[专家把脉] 对x⊗y=x(1-y)的运算关系式理解不清。
[对症下药]
30
2．(典型例题)已知函数f(x)
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 设k>1,解关于x的不等式：
[考场错解]
[专家把脉](2)问中两边约去(2-x),并不知2-x的符号.
[对症下药](1)同错解中(1)
① 当10解集为x∈(1,2) ∪(2,+ ∞);
③ 当k>2时，解集为x∈(1,2) ∪(k,+ ∞).
3.(典型例题)设函数f(x)=kx+2,不等式|f(x)|<6的解集为(-1,2)试求不等式的log的解集。
[考场错解]
当k>0时，k≤2,当k<0,k≥-4.
∴k=2或-4.
当k=2时f(x)=2x+2,当k=-4时f(x)=-4x+2再由解对数不等式。
30
[专家把脉]在求k的值时分析讨论不严密，上式中是在x∈(-1,2)时恒成立，而k的值并不能使之成立.
[对症下药] ∵|kx+2|<6, ∴(kx+2)2<36,
即k2x2+4kx-32<0.
由题设可得
解得k=-4, ∴f(x)=-4x+2.
①
②
③
①解得由②解得x<1,由③得
4．(典型例题)设对于不大于
[考场错解]A={x|a-b0的解集是(1,+ ∞),则关于x的不等式的解集是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+ ∞)
B.(-1,2)
C.(1,2)
D(-∞,1) ∪(2,+ ∞)
答案： A解析：a>0-且=1，>0(x+1)(x-2)>0x<-1或x>2．
2.若
30
答案：(-1，cosα)∪(-cosα，1) 解析：∵20<1-x20时，原不等式为>x>1,∴x>1②当x<0时，原不等式为
(x+1)·(2x-1)>0且x<0，∴x<-1．
综上①，②可得{x|x<-1或x>1}．
命题角度5 不等式的综合应用
1．(典型例题)已知函数f(x)=ax-
( Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)设0logtba=1，∴0|logab+logba|．故选D．
2 已知不等式x2-2x+a>0时，任意实数x恒成立，则不等式a2x+10 对x∈R恒成立．△<0，即a>1．
∴不等式(a2x+10)
(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
30
答案： P=-()+49．5≤-2×4+49．5=41．5，当且仅当x=时，即x=8时，P有最大值41．5 万元．
探究开放题预测
预测角度1 不等式的概念与性质
1．下列命题正确的是 ( )
[解题思路]利用均值不等式成立的条件判断。
[解答]D对于A，当a、b同为负数时也成立；对于B，当a、b、c中有一个为0，其余为正数时也成立；对于C，当a、b、c∈(0，1)时也成立；D正确。
2．已知a=sin15.+cos15.,b=sin16.,则下列各式中正确的是 ( )
[解题思路]利用两角和与差的公式化简b、a、然后再比较大小.
[解答]B
预测角度2不等式的解法
1．关于x的不等式x|x-a|≥2a2(a∈(-∞,0)的解集为 ( )
A.[-a,+ ∞] B.[a,+ ∞]
C.[2a,a] ∪[-a+∞] D.(- ∞,a)
[解题思路]讨论a、x的大小，去绝对值符号.
[解答]A当x>a,x2-ax-2a2≥0, ∴x≥-a.当x.即可求解。
[解答]A由已知有f(x)为奇函数，则原不等式变形为f(x)<画图可知A正确，所以选A
3．函数则使g(x) ≥f(x)的x的取值范围是
[解题思路]利用数形结合法.
[解答]D用数形结合法，分别作出f(x)=sinx和g(x)=-9
4.解关于x的不等式
[解题思路]本题的关键不是对参数a进行讨论，而是取绝对值时必须对未知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
[解答]当x≥a 时，不等式可转化为
30
预测角度3 不等式的证明
1．已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：(1)对于任意x∈[0,1]总有f(x) ≥0;
(2)f(1)=1;(3)若x1≥0,x2≥0,x1+xz≤1,则有f(x1+x2) ≥f(x1)+f(x2).
(Ⅰ)试求f(0)的值；(Ⅱ)试求函数f(x)的最大值；(Ⅲ)试证明：当x∈
[解题思路](1)赋值法； (2)变形f(x2)=f[(x2-x1)+x1],即可求函数f(x)的最大值；
[解答](Ⅰ)令
得f(0) ≥0, ∴f(0)=0.
(Ⅱ)任取
(Ⅲ)
1． 设y=f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x) ·f(y)成立，数列{an}满足a1=f(0),且f(an+1)=
2．
(1) 判断y=f(x)是否为单调函数，并说明理由；
(2)
30
(3)若不等式
[解题思路](1)利用函数的单调性证明;(2)裂项法求出Tn再解不等式；(3)利用函数的单调性求k的最大值.
[解答](1)设
(3)由
预测角度4 不等式的工具性
1．若直线2ax-by+2=0(a、b>0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则的最小值是 ( )
A.4 B.2
C. D.
[解题思路]利用重要不等式求最小值。
[解答]A直线2ax-by+2=0过圆心(-1,2), ∴a+b=1,
2.已知函数f(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定的负数a有一个最大的正数l(a),使得在整个区间[0,l(a)]上，不等式|f(x)| ≤5恒成立，则l(a)的最大值是( )
30
[解题思路]考虑区间[0，l(a)]的端点处不等式|f(x)| ≤5恒成立.
3.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),已知f(1)=0,且存实数m,使f(m)=-a.
(1) 试推断f(x)在区间[0，+∞]上是否为单调函数，并说明你的理由；
(2) 设g(x)=f(x)+bx,对于x1，x2∈R,且x1≠x2,若g(x1)=g(x2)=0,求|x1-x2|的取值范围；
(3) 求证：f(m+3)>0.
[解题思路]由二次函数的对称轴两边为单调的性质判断；(2)由根与系数的关系求出a、b、c的关系，从而转化为二次函数的最值；
[解答](1) ∵f(m)=-a,m∈R. ∴方程ax2+bx+c+a=0有实根⇒∆=b2-4a(a+c) ≥0
∵f(1)=0, ∴a+b+c=0,即a+c=-b.
∴b2-4a·(-b)=b(b+4a) ≥0.
∵a>b>c, ∴a>0,c<0.从而b+4a=-(a+c)+4a=3a-c>0.
∴b≥0.⇒x=
∴f(x)在[0，+∞]上是增函数.
(2)据题意x1,x2是方程g(x)=0即ax2+2bx+c=0的两实根.
=
30
30
(3)∵f(1)=0.设f(x)=a(x-1)(x-)
4.在xOy平面上有一系列点P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…,对每个正整数n,点PN 位于函数y=x2(x≥0)的图像上,以点Pn 为圆心的圆Pn与x轴都相切,且圆Pn与圆PN+1又彼此相外切. 若x1=1,且x n+10的解集为 ( )
A.{x|-32}
C.{x|-33}
D.{x|-10得，由题
4函数f(x)是R上的增函数,A(0,1),B(3,1)是其图像上的两点,那么|f(x+1)|<1的解集是( )
A.(1,4) B(-1,2)
C.(- ∞,1) ∪[4,+ ∞]D.(- ∞,-1) ∪[2,+ ∞]
答案： B 易知过A、B两点的直线即y=x-1，即f(x)=x-1是增函数，由f(x+1)=(x+1)-1，得当
∴
5已知f(x)=
A.{x|13或x<2}
C.{x|10,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为 ( )
A．(-3,0) ∪(3,+ ∞)
B.(-3,0) ∪(0,3)
C.(- ∞,-3) ∪(3,+ ∞)
D.(- ∞,-3) ∪(0,3)
答案： D 解析：设F(x)=f(x)·g(x)，
30
F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x)
∴F(x)为奇函数
又x<0时，F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′，(x)>0
∴x<0时，F(x)为增函数
∵奇函数在对称区间上的单凋性相同，
∴x>0时，9(x)也为增函数
∵F(-3)=f(-3)g(-3)=0
∴F(3)=-F(-3)=0
如图为一个符合题意的图象观
察知9(x)=f(x)，g(x)<0
解集为(-∞，-3)∪(0，3)
7已知y=logb(2-bx)在[0,1]上是增函数，则不等式：logb|x+2|>logb|x-4|的解集是________.
答案：{x|x<1，x7≠-2} 解析：因为当b>0，所以2-bx在[0，1]上递减，由已知可知00时，f(x)=x+
答案：依题意x∈[-3，-1]时f(x)=f(-x)=-x+=(),∴m=f(-1)=5，n=f(-2)=4，m-n=1，
9定义符号函数sgnx=
答案：-2解析：略；
10已知关于x的不等式
(1)a=4时，求集合M；
答案：当a=4时，原不等式可化为，
即4(x-)(x-2)(x+2)<0，∴x∈(-∞，-2)∪(，2)，故M为(-∞，-2)∪(，2)．
(2)若3∈M且5M,求实数a的取值范围。
答案：由3∈M得<0，∴a>9或a<， ①
由5M得≥0，∴1≤2
s=(|t+x|+|t-x1)2=2(t2+x2)+2|t2-x2|-(|t+x|+|t-x|)2=2(t2+x2)+2|t2-x2|.
当|t|≥|x|时，s=4t2≤4；当|t||x|时s=4x2<4
∴|t+x|+|t-x|≤2<1f(tx+1)|即，|t+x|+|t-x|<|f(tx+1)|
(1) 设x是正实数，求证:[f(x+1)]n-f(xn+1) ≥2n-2.
30
答案： n=1时，结论显然成立
当n≥2时，[f(x+1)]n-f(xn+1)
=(x+)n-(xn+)
=
30
查看更多
