上海数学高考易错题目分类汇总

上海数学高考易错题目分类汇总

第一部分　　集合 1. 在集合运算中一定要分清代表元的含义.‎ 例1、 已知集，求.‎ ‎【分析：集合P、Q分别表示函数与在定义域R上的值域，所以，，.】‎ 例2、 设集合，，则___________.‎ ‎【分析：集合P、Q分别表示函数与在定义域R上的值域，所以，，.】‎ 2. 对于空集的讨论不要遗漏.‎ 例3、 若且，求的取值范围.‎ ‎【分析：集合A有可能是空集.当时，，此时成立；当时，，若，则，有.综上知，.注意：在集合运算时要注意学会转化等.】‎ 例4、 已知集合，，，则m的取值范围是_________.‎ ‎【分析：，说明B中的解一定是A中的解或者是无解】‎ 例5、 ‎【2003年秋季理科】a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为集合M和N，那么“”是“M=N”的 （ ）‎ ‎ A．充分非必要条件. B．必要非充分条件.‎ ‎ C．充要条件 D．既非充分又非必要条件.‎ ‎【分析：不要忘记两个不等式均无解】‎ ‎【答案：D】‎ 3. 区间端点的取舍讨论.‎ 例6、 ‎【长宁区(文)】已知集合，若则实数的取值范围是 ‎【答案：】‎ 例1、 ‎【闵行2011一模第12题】已知条件；条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 ．‎ ‎【答案：】‎ 例2、 ‎【2009年上海秋季高考】已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________ .‎ ‎【答案：】‎ 例3、 若集合，，且，则实数k的取值范围是_______.‎ ‎【答案：】‎ 1. 充分必要条件的判断 例4、 ‎【2010年春季高考】若均为单位向量，则是的 （　　）‎ ‎　　Ａ．充分不必要条件　　　　　 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件　　　　　　　Ｄ．既不充分又不必要条件 ‎【答案：B】‎ 例5、 ‎【松江区15】设，则“且”是“且”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案：B】‎ 例6、 ‎【10年一模宝山区15】以下四个命题中的假命题是……（ ）‎ ‎（A）“直线a、b是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”；‎ ‎（B）直线“”的充分不必要条件是“a垂直于b所在的平面”；‎ ‎（C）两直线“a//b”的充要条件是“直线a、b与同一平面所成角相等”；‎ ‎（D）“直线a//平面”的必要不充分条件是“直线a平行于平面内的一条直线”．‎ ‎【答案：C】‎ 第二部分　　不等式 1. 解分式不等式时注意等价变形 例1、 不等式的解集是_______________．‎ ‎【答案：】‎ 例2、 不等式的解集是_______________．‎ ‎【答案：】‎ 例3、 ‎【2008学年青浦区一模第11题) 设函数的定义域为，其图像如下图，那么不等式的解集为____________.‎ ‎ ‎ ‎【答案：】‎ 2. 注意对不等式最高次项系数的讨论（是不是为0，判断正负号）‎ 例1、 若关于x的不等式的解集为R，则实数k的取值范围是___________.‎ ‎【答案：】‎ 例2、 ‎【2011年徐汇区一模第21题】‎ 已知关于的不等式，其中。‎ ‎（1）求上述不等式的解；‎ ‎（2）是否存在实数，使得上述不等式的解集中只有有限个整数？若存在，求出使得中整数个数最少的的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案：21．解： （1）当时，； ………………2分 当且时，………………4分 ‎；……………………5分 当时，；（不单独分析时的情况不扣分）‎ 当时，.……………….7分 （2） 由（1）知：当时， 中整数的个数为无限个；………………..9分 当时，中整数的个数为有限个， ……………11分 因为，当且仅当时取等号，……………12分 所以当时，中整数的个数最少。…………….14分】‎ 例1、 ‎【2011闸北区一模理第9题】‎ 若不等式的解集为，则不等式的解集为 ．‎ ‎【答案：】‎ 1. 不等式证明题——利用特殊值法只能排除错的选项！；‎ 例1、 ‎【2007年上海秋季高考第13题】‎ 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案：C 】‎ 例2、 ‎【2008年南汇一模第13题】‎ 若，则下列结论中不恒成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案：D 】‎ 例3、 ‎【2006年春季高考第14题】若，则下列不等式成立的是( ) ‎ ‎ （A）. （B）. （C）.（D）.‎ ‎【答案：C 】‎ 2. 利用基本不等式求最值时注意“一正、二定(定积定和原理)、三相等”；若基本不等式求最值时无法取得等号，应考虑利用函数单调性（还会用定义法证明）不等式证明题—；‎ 例1、 函数的最小值为___________.‎ ‎【答案：】‎ 例1、 ‎【2011年杨浦区二模文理第11题】已知函数，若且，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】【】‎ 例2、 函数的最小值为___________.‎ ‎【答案：】‎ 第三部分　　函数与方程 1. 函数定义域与限制条件，并注意答案写成集合或区间的形式 例1、 不等式的解集为___________.‎ ‎【答案：】‎ 例2、 ‎【2008年秋季理科3】函数的定义域是 . ‎ ‎【答案：】‎ 例3、 ‎ 【2010年二模长宁第18题】如果函数在定义域的某个子区间上不存在反函数，则的取值范围是 （ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案：D】‎ 2. 奇函数若在处有意义，则；奇函数的图像不一定过原点；函数具有奇偶性，首先其定义域应关于原点对称；不具有奇偶性应举反例加以否定.‎ 例1、 ‎【答案：-1】‎ 例2、 ‎ (2010年杨浦一模)设函数为奇函数，则实数 ．‎ ‎【答案：-1】‎ 例3、 ‎ (2011年嘉定一模)若函数（为实常数）在其定义域上是奇函数，则的值为__________．‎ ‎【答案：】‎ 3. 正确使用计算器求解根的范围 例1、 ‎【2010秋季高考理科】若是方程的解，则属于区间 ( ).‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案：C】‎ 例1、 ‎【2010秋季高考文科】若x0是方程lgx+x=2的解，则x0属于区间 （ ）‎ A．(0,1) B．(1,1.25) C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)‎ ‎【答案：C】‎ 例2、 ‎【2011年闵行区二模理第17题】设函数、的零点分别为，则（ ）‎ ‎(A) . (B) . (C) . (D) .‎ ‎【答案：A】‎ 1. 反函数的本质是x，y交换，比如函数反函数不是.比如函数反函数不是.‎ 例1、 已知函数的反函数是，则函数的反函数的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.‎ ‎【分析：求函数的反函数是解方程的过程，即用表示然后将互换即得反函数的表达式.由可得.所以函数的反函数为】‎ 例2、 ‎【2010年一模长宁】已知函数定义在R上,存在反函数,且,若的反函数是,则= .‎ ‎【答案：】‎ 例3、 ‎【2009年高考理科22】已知函数是的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”，‎ （1） 判断函数是否满足“和性质”，并说明理由；‎ （2） 求所有满足“和性质”的一次函数；‎ ‎【答案：22.解：（1）函数的反函数是，‎ ‎，‎ 而 ，其反函数为 ‎ 故函数不满足“1和性质” …… 4分 ‎（2）设函数满足“2和性质”，。‎ ‎, …… 6分 而，得反函数， …… 8分 由“2和性质”定义可知对恒成立。‎ 即所求一次函数. ……10分】‎ 1. 判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义！！！不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数的单调性.‎ 例1、 已知函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是___________.‎ ‎【答案：】‎ 例2、 ‎【2010年嘉定区二模第21题】‎ 已知，函数（，求函数的最小值．‎ ‎【答案：解 设，则 ‎　　　‎ ‎　　　　　　　　　＝‎ ‎　　　　　　　　　＝．　 ……………………4分 ‎(i)当时，‎ ‎　 …7分 因此，，故． …………9分 ‎(ii) 当时，‎ ‎．‎ 当且仅当时，等号成立． ……14分 于是，． ……………………15分 ‎　　所以，． …………16分】‎ 例1、 ‎【2007年上海秋季高考第19题】已知函数 ‎（1）判断的奇偶性 （2）若在是增函数，求实数的范围 ‎【答案：（1）当时，，‎ ‎ 对任意，， 为偶函数． ‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 取，得 ， ‎ ‎ ， 函数既不是奇函数，也不是偶函数． ‎ ‎ （2）解法一：设，‎ ‎ ， ‎ ‎ 要使函数在上为增函数，必须恒成立． ‎ ‎ ，即恒成立． ‎ ‎ 又，． 的取值范围是． ‎ ‎ 解法二：当时，，显然在为增函数． ‎ 当时，反比例函数在为增函数，在为增函数．‎ ‎ 当时，同解法一．】 ‎ 第四部分　　三角函数 1. 三角函数的最小正周期，计算公式少掉绝对值；‎ 例1、 ‎【2011年黄浦区二模文理第5题】若函数与函数的最小正周期相同，则实数a= ．‎ ‎【答案：】‎ 2. 三角方程解的个数；‎ 例2、 ‎【2011年杨浦区二模文第9题】方程的解是 ．‎ ‎【答案：】‎ 例3、 ‎【2011年徐汇区二模理科第5题，文科第7题】在中，分别是角所对的边，且，则角的大小为 。‎ ‎【答案：和】‎ 例4、 ‎【2011一模黄浦6】方程的解集是　　 　．　‎ ‎【答案】：【】‎ 例5、 ‎【2010一模宝山10】方程在上的解集是________‎ ‎【答案：】‎ 3. 三角函数的图象平移问题 例6、 ‎【2011年徐汇区二模理科第17题】函数的图象按向量平移后的函数解析式为。当函数为奇函数时，向量可以等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案：B】‎ 例7、 ‎【2011一模闵行7】将函数的图像向右平移1个单位，得到的图像对应的函数解析式是 ． ‎ ‎【答案】：【】‎ 例1、 将函数的图象横坐标拉伸为原来的2倍，再向左平移个单位，得到的图象对应的函数解析式是__________‎ ‎【答案：】‎ 1. 通过化简三角比判断三角形形状 例2、 ‎【2011年奉贤区二模文理第15题】在△ABC中，“”是“△ABC是等腰三角形”的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案：A】‎ 例3、 ‎【2011奉贤一模15】在中，“”是“”的 （ ）‎ ‎ （A）．充分非必要条件 （B）．必要非充分条件 ‎ （C）．充要条件 （D）．非充分非必要条件 ‎【答案】：【B】‎ 例4、 ‎【2010二模闵行16】已知中，,，则角的取值范围是 （ ）‎ ‎(A). (B) . (C) . (D) .‎ ‎【答案：D】‎ 2. 三角函数值域问题：‎ 例5、 ‎【2010二模虹口6】函数的最大值是 .‎ ‎【答案：】‎ 例6、 ‎【2010二模长宁7】函数的最大值为 ‎【答案：9】‎ 例7、 函数，的值域为_________‎ ‎【答案：】‎ 例8、 函数，的值域为_________‎ ‎【答案：】‎ 1. 反三角函数的求值问题 例1、 ‎【2011一模金山4】计算：_________． ‎ ‎【答案：】‎ 例2、 ‎【2011一模闸北12】函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案：D】‎ 例3、 ‎【2010一模普陀5】已知，，则 . （用反三角函数表示）‎ ‎【答案：】‎ 例4、 ‎【2010一模静安8】函数的最小值是_________.‎ ‎【答案：】‎ 2. 诱导公式、三角和差公式、二倍角公式应用出错 例5、 ‎【2011年崇明县二模文理第2题】函数的最小正周期 ．‎ ‎【答案：2】‎ 例6、 ‎【2010二模闸北13】已知，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案：C】‎ 第五部分　　数列 1. 数列的通项公式 ‎【例1】【2011年虹口区二模文理第2题】数列的前项和，则通项公式 ．‎ ‎【答案：】‎ ‎【例2】【2011年嘉定区一模文理第23题】已知数列的前项和为，对任意，点都在函数的图像上．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎【例3】数列满足，则= ‎ 2. 等比数列的证明与性质 ‎【例1】【2011年黄浦区二模理第21题】已知函数，数列满足 ，．‎ ‎(1)若数列是常数列，求a的值；‎ ‎(2)当时，记，证明数列是等比数列，并求出通项公式．‎ ‎【答案： (1)实数的值是1或2．‎ ‎(2)． ．】‎ ‎【例2】 【2010年上海高考第20题】已知数列的前项和为，且，，证明：是等比数列；‎ ‎【答案：略】‎ ‎【例3】【2011年上海卢湾区二模第22题】已知数列是各项均为正数的等差数列，公差为d（d 0）．在之间和b,c之间共插入个实数，使得这个数构成等比数列，其公比为q．‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）若，求的值；‎ ‎（3）若插入的n个数中，有s个位于a,b之间，t个位于b,c之间，且都为奇数，试比较s与t的大小，并求插入的n个数的乘积（用表示）‎ ‎【答案：（1）由题意知，， ‎ 又，可得， ‎ 即，故，又是正数，故． ‎ ‎（2）由是首项为1、公差为的等差数列，故，‎ 若插入的这一个数位于之间，则，，‎ 消去可得，即，其正根为． ‎ 若插入的这一个数位于之间，则，，‎ 消去可得，即，此方程无正根．‎ 故所求公差．　　　　　　　　 　 ‎ ‎（3）由题意得，，又，‎ 故，可得，又，‎ 故，即．‎ 又，故有，即．　 　‎ 设个数所构成的等比数列为，则，‎ 由…，，可得 ‎……， ‎ 又，，‎ 由都为奇数，则q既可为正数，也可为负数，‎ ‎①若q为正数，则…，插入n个数的乘积为；‎ ‎②若q为负数，…中共有个负数，‎ 故…，所插入的数的乘积为．‎ 所以当N*)时，所插入n个数的积为；‎ 当N*）时，所插入n个数的积为． 】‎ 1. 数列求和 ‎【例1】求和 ‎【答案：】‎ ‎【例2】【2010年上海六校联考第23题】已知：函数，数列对总有；‎ ‎(1)求{}的通项公式。‎ ‎(2) 求和：‎ ‎【答案：（1）‎ ‎（2）】‎ ‎【例3】【2011年徐汇区二模理科第14题】设函数，为坐标原点，为函数图象上横坐标为的点，向量与向量的夹角为，则满足的最大整数的值为 。‎ ‎【答案：3018】‎ 1. 最大、最小项思想 ‎【例1】【2011年闵行区二模文理第8题】已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是其前项和，则数列的最小项为第 项.‎ ‎【答案：8】‎ ‎【例2】【2011年杨浦区二模文理第23题】设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.‎ ‎（1） 求函数的解析式和值域；‎ ‎（2） 试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，并说明理由；‎ ‎（3） 已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有 ‎ 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案：（1），所以， 其值域为. ‎ ‎（2）数列在区间上是递增数列. ‎ 注：本题的区间也可以是、、等无穷多个】‎ ‎【例3】【2010年嘉定区一模第23题】已知函数，、是图像上两点．‎ ‎(1)若，求证：为定值；‎ ‎(2)设，其中且，求关于的解析式；‎ ‎(3)对（2）中的，设数列满足，当时，，问是否存在角，使不等式…对一切都成立？若存在，求出角 的取值范围；若不存在，请说明理由． ‎ ‎【答案：（1）当时，为定值．‎ ‎（2）（，）．‎ ‎（3）的最大值为，的取值范围为】‎ ‎【例4】【2010年上海高考第20题】已知数列的前项和为，且，‎ ‎（1）证明：是等比数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。‎ 1. 数列中的数列问题 ‎【例1】【2010年金山区一模第22题】已知等差数列中，，，令，数列的前n项和为.‎ ‎（1）求的通项公式；∴. ‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）通过对数列的探究，写出“成等比数列”的一个真命题并说明理由（，）. 当且仅当正整数m=2,n=16时，成等比数列.‎ ‎【例2】【2008年上海高考第20题】已知以a1为首项的数列{an}满足：an＋1＝ ‎⑴当a1＝1，c＝1，d＝3时，求数列{an}的通项公式 ‎⑵当0＜a1＜1，c＝1，d＝3时，试用a1表示数列{an}的前100项的和S100‎ ‎⑶当0＜a1＜（m是正整数），c＝，d≥‎3m时，求证：数列a2－，a‎3m+2－，a‎6m+2－，a‎9m+2－成等比数列当且仅当d＝‎‎3m ‎【答案：（1）由题意得 ‎(2) ‎ ‎ （3）证明略】‎ ‎【例3】【2011年徐汇区二模理科第23题】设等比数列的首项为，公比为为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足。‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)试确定实数的值，使得数列为等差数列；‎ ‎(3)当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列。设是数列的前项和，试求满足的所有正整数。‎ ‎【答案：（1）‎ ‎（2） ‎ ‎（3）满足题意的正整数仅有。‎ ‎【例4】【2010年上海六校联考第23题】已知：函数，数列对总有；‎ ‎（1）求{}的通项公式。‎ ‎(2) 求和：‎ ‎（3）若数列满足：①为的子数列（即中的每一项都是的项，且按在中的顺序排列）②为无穷等比数列，它的各项和为。这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由。‎ ‎6、数列中数的讨论 例13、【2009年上海高考理第23题】已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。‎ ‎（1）若，是否存在，有说明理由；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（2）找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；若 试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。‎ ‎【答案：（1）不存在，使等式成立。 ‎ ‎（2），使对一切， ‎ （3） 当且仅当，命题成立。】‎ ‎7、数列极限 ‎【例1】=_____‎ ‎【答案：】‎ ‎8、概率与排列组合 ‎【例1】口袋里有2个白球，3个红球，5个黑球，从中任取2个球，求取出的两球颜色不同的概率。‎ ‎【答案：】‎ 第六部分　　复数部分 1. 复数计算问题，常见的化简；‎ 说明：注意复数运算与向量运算/实数运算的异同 ‎［例1］【2011年卢湾区二模文理第1题】设为虚数单位，计算 .‎ ‎【答案：；注意计算细节】‎ ‎［例2］【2010年长宁区二模文科第一题】设为虚数单位，则复数 ‎【答案：】‎ ‎［例3］【2010年嘉定区一模第一题】设为虚数单位，计算______________．‎ ‎【答案：】‎ 2. 复数问题实数化时，设复数，不要忘记条件.‎ 说明：两复数相等的条件是实部与虚部分别相等.这是复数求值的主要依据.根据条件，求复数的值经常作实数化处理.若z为实数，则虚部为零，若z为纯虚数，则实部为零，虚部不为零.‎ ‎［例1］【2010年闵行区二模文理第1题】若（为虚数单位，），则 ‎ ‎【分析：】‎ ‎［例2］【2010年静安区一模文理第3题】若复数满足（其中为虚数单位），则_________.‎ ‎【答案：设，原式化为，得，‎ 求得】‎ ‎［例3］【2011年闸北区二模文理第1题】已知和都是纯虚数,那么 ．‎ ‎【答案：设，原式化为是纯虚数，得，得】‎ 3. 实系数一元二次方程 说明：实系数一元二次方程根的情况可通过判别式判断。若存在虚根，则此两虚根互为共轭.若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断.‎ ‎［例1］ 【2010年崇明县二模文理第8题】复数是实系数方程的根，则 .‎ ‎【答案：，则，‎ 得，求得.所得即为1】‎ ‎［例2］【2010年杨浦区二模文理第17题】若是实系数方程的一个虚根，且，则_______.‎ ‎【答案：实系数一元二次方程若有虚根，则两根必互为共轭，】‎ ‎［例3］【2011年黄浦区二模理第8题】已知，是方程的根，则= ．‎ ‎【答案：根据判别式可知，实系数一元二次方程有2个虚根，则】‎ ‎［例4］若方程的两根满足，求实数的值.‎ ‎【答案：在复数范围内不一定成立，但一定成立.对于二次方程，韦达定理在复数范围内是成立的.，‎ ‎，则或，所以或.】‎ ‎［例5］【2011年杨浦区二模文理第22题】设虚数满足为实常数，，为实数）.（1） 求的值；（2） 当，求所有虚数的实部和； ‎ ‎【答案：（1））‎ ‎ （2）是虚数，则，的实部为；‎ 当2. ‎ 当2.】‎ 1. 复平面轨迹方程 说明：的几何意义是复平面上对应点之间的距离，的几何意义是复平面上以对应点为圆心，为半径的圆.‎ ‎［例1］若表示的动点的轨迹是椭圆，则的取值范围是＿.‎ ‎【答案：首先要理解数学符号的意义：表示，‎ 复数对应的动点到复数与对应的两定点之间的距离之和等于4.‎ 而根据椭圆的定义知，两定点之间的距离要小于定值4，所以有，‎ 而此式又表示对应的点在以对应点为圆心，4为半径的圆内，‎ 由模的几何意义知.】‎ ‎［例2］【2010年普陀区二模文理第7题】在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足，则直线的倾斜角为 .（结果反三角函数值表示）‎ ‎【答案：首先根据复数模的概念，可以看出原式表示 复数z所对应的点到（0,-1）与其到（3,1）的距离相等，‎ 那么复数z即为（0，-1）与（3,1）所在线段的中垂线上一点，‎ 所以直线的斜率即为，转化为倾斜角，注意在第二象限，‎ 所以=。】‎ ‎［例3］【2011年卢湾区二模文理第17题】已知复数满足（是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（ ）‎ ‎ A．双曲线的一支 B．双曲线 C．一条射线 D．两条射线 ‎【答案：复数z到的距离减去其到的距离之差等于，‎ 根据双曲线定义，由于两定点之间距离也等于，所以其轨迹为射线，‎ 可以看到原式表示的线段中，复数z到的距离显然大于其到的距离，‎ 所以点z的轨迹为一条射线。】‎ 第七部分 向量易错点 1. 向量的数量积运算相关概念性问题 ‎【例1】【2011年闸北区二模文理第5题】下列三个命题：①若，则； ②若，，则；③若，则．其中真命题有 ．（写出所有真命题的序号）‎ ‎【答案：①③】‎ ‎【例2】【2011年长宁区二模文第16题】设向量,,则下列结论中正确的是（ ）‎ ‎ A． ． B．． C．∥ ． D．－与垂直．‎ ‎【答案：D】‎ 2. 投影的概念及计算方式 ‎【例1】【2011年奉贤区二模文理第6题】已知的夹角为则在上的投影为 ‎ ‎【答案：1】‎ ‎【例2】【2010二模闵行区15】如图，已知正六边形ABCDEF，下列向量的数量积中最大的是（ ）‎ A B C D E F ‎(A) . (B) . (C) . (D) .‎ ‎【答案：A】‎ 3. 向量夹角为钝角忽略平行的情况（其他忽略平行的情况）‎ ‎【例1】【2011年普陀区二模理科第17题】已知向量，，向量，则向量与的夹角为 （ ）‎ A. ； B. ； C. ； D. .‎ ‎【答案：C】‎ ‎【例2】已知向量的夹角为钝角，则m的取值范围为________‎ ‎【答案：】‎ ‎【例3】已知直角坐标系中，，为锐角三角形，则x的 取值范围为_________‎ ‎【答案：】‎ 1. 向量的分解定理 ‎【例1】【2011年徐汇区二模文科第15题】已知是平面上不共线的三点，若点满足，则向量等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案：D】‎ ‎【例2】【2010二模普陀11】如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点是的中点. 若， ，且，则 .‎ 第11题图 P A D C M B ‎【答案：】‎ ‎【例3】【2011一模浦东18】点O在所在平面内，给出下列关系式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）．‎ 则点O依次为的 （ ）‎ A．内心、外心、重心、垂心　　 B．重心、外心、内心、垂心 C．重心、垂心、内心、外心 D．外心、内心、垂心、重心 ‎【答案】：C 第八部分 立体几何 1. 点、线、面的关系 ‎［例1］【2011年杨浦区二模理第7题】已知直线平面，直线在平面内，给出下列四个命题：①；②；③；④，其中真命题的序号是 .‎ ‎【分析：熟悉点线面的的一些常用定理，直线垂直平面，则垂直于平面内任意一条直线。‎ 若两平面平行，则该直线也垂直于此平面。】‎ ‎［例2］【2011年闵行区二模文理第15题】给定空间中的直线及平面，条件“直线与平面垂直”是“直线与平面内无数条直线垂直”的（ ）‎ ‎ 充要条件 充分非必要条件 必要非充分条件 既非充分又非必要条件 ‎【分析：直线与平面垂直，则该直线垂直平面内任意一条直线，“无数条”不是“任意”】‎ ‎［例3］【2010年浦东新区二模理第15题】“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析：直线与平面平行的定义即为直线与平面没有公共点】‎ 2. 常见空间图形的面积，体积公式 ‎［例1］【2010年闵行区二模第6题】已知球的半径为，一平面截球所得的截面面积为，球心到该截面的距离为，则球的体积等于 .‎ ‎【分析：平面截球所得的截面即为一平面圆，所以该圆半径即为2，‎ 又由于球心到该截面距离为，而球体半径，‎ 截面半径与球心到截面距离正好构成一个直角三角形，‎ 由勾股定理可得球体半径为3，根据球的体积公式。】‎ ‎［例2］【2010年松江区二模第4题】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆的面积为，则球的表面积为 ．‎ ‎【分析：球体半径，截面半径与球心到截面距离正好构成一个直角三角形,‎ 计算可得球体半径为，根据球的表面积公式】‎ ‎［例3］【2011年闸北区二模文理第7题】设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为的球面上，则该正方体的体积为 ．‎ ‎【分析：由于正方体的各个顶点都在球面上，可知，该正方体的中心和球的球心为同一点，‎ 则正方体体对角线等于该球的直径，又由于球的表面积为，‎ 所以根据球的表面积计算公式可得半径为，‎ 所以正方体的边长为2，体积即得，等于8】‎ 1. 异面直线的角度范围 说明：直线与平面所成角的范围是；两异面直线所成角的范围是.特别要注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为时，其所成角的大小应为.‎ ‎［例1］【2011年杨浦区二模理第9题】在平行四边形ABCD中，AB=1，AC=，AD=2；线段 PA⊥平行四边形ABCD所在的平面，且PA =2，则异面直线PC与BD所成的角等于 （用反三角函数表示）.‎ ‎【分析： 或】‎ ‎［例2］【2011年闵行区二模文理第19题】如图，已知是底面为正方形的长方体，，，点是的中点，求异面直线与所成的角（结果用反三角函数表示）．‎ B C D A1‎ P B1‎ C1‎ D1‎ ‎.‎ ‎【分析： 】 ‎ ‎［例3］【2011年普陀区二模理科第21题】如图，平面，四边形是正方形， ，点、、分别为线段、和的中点. 求异面直线与所成角的大小； ‎ x y z ‎【分析：异面直线与所成角大小为.】‎ 1. 图形的旋转（绕哪根轴），立体图形的平面展开图，截面问题 ‎［例1］【2011年闵行区二模文理第6题】圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为cm，半径为cm，则该圆锥的体积为____ .‎ ‎【分析：圆锥的体积为】‎ ‎［例2］【2010年普陀区一模文理第9题】如图，是边长为的正方形，是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴旋转一周得到的旋转体的体积为 . ‎ O C B A 第9题图 ‎【分析：阴影部分体积等于】‎ ‎［例3］【2010年黄浦一模文理第11题】在，现以边所在的直线为轴把(及其内部)旋转一周后，所得几何体全面积是___‎ ‎【分析： 】‎ 2. 立体图形中点线面的计算，特别是点到平面距离的求解 ‎［例1］【2011年徐汇区二模理科第20题】如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，。‎ ‎（1）求异面直线与所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）‎ ‎（2）求点到平面的距离。‎ ‎【分析：（1）异面直线 与所成角的大小为.‎ ‎（2）点到平面的距离。】‎ ‎［例2］正三棱柱ABC－A1B‎1C1的底面边长是2，BC1与平面ACC‎1A1所成角为30°.试求：（1）三棱柱ABC－A1B‎1C1的体积；（2）点C到平面BAC1的距离.‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ E ‎【分析：（1）三棱柱的体积V=.（2）点C到平面BAC1的距离为.】‎ ‎［例3］【2010年卢湾区二模理科第20题】在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（1）求棱的长；（2）求点到平面的距离．‎ ‎【分析：（1）的长为． ‎ ‎（2）点到平面的距离． 】‎ 1. 球面距离的计算 ‎［例1］【2011年普陀区二模文理第6题】在球心为，体积为的球体表面上两点、之间的球面距离为，则的大小为 .‎ ‎【分析：】‎ ‎［例2］【2010年长宁区一模文理第11题】如图，在半径为3的球面上有三点，=90°，, 球心O到平面的距离是，则两点的球面距离是。‎ ‎【分析：弧长即为】‎ ‎［例3］【2010年杨浦区一模文理第13题】在体积为的球的表面上有三点,两点的球面距离为.‎ ‎（文科考生做）则_________.‎ ‎（理科考生做）则球心到平面的距离为_________.‎ ‎【分析：文科0；理科 】‎ 第九部分 圆锥曲线 1、 常见直线方程的几种形式及适用范围要熟悉：（1）点斜式，过定点 与轴不垂直；（2）斜截式，在轴上的截距为与轴不垂直；（3）一般式适用于所有直线，它的其中一个法向量可表示为，方向向量为.‎ ‎【2009年普陀区一模第5题)】已知两直线方程分别为、，若，则直线的一个法向量为 . 【答案】‎ ‎2、求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在的情况，不确定时要注意分类讨论，漏解肯定是斜率不存在的情况.要明确解析几何是“用代数方法解决几何问题”的道理，所以做解析几何问题不要“忘形”.‎ ‎【例】过点与坐标原点距离为2的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.‎ 分析：若仅用点斜式设出直线方程，再用点到直线的距离来求解，则会漏解，这是因为在设立方程的时候就排除了斜率存在的情况.考虑到直线满足题义，故所求直线有两条，其方程为：与.‎ ‎【例】过点与圆相切的直线方程为_______【答案】‎ ‎3、圆的一般方程，表示圆的充要条件是.‎ ‎【例】二次方程表示圆的充要条件是＿＿＿＿＿；‎ 分析：注意到圆的一般方程中没有这样的项，且二次项系数都为1.则必有，且，此时方程可以化成：.与圆的一般方程比较可以得出：.其充要条件为：.‎ ‎4、直线与圆的位置关系的判断主要是利用点（圆心）到直线的距离来判断.设圆C的半径是，圆心到直线L的距离是，当时，直线L与圆C相离；当时，直线L与圆C相切；当时，直线L与圆C相交.求直线被圆所截的弦长用圆半径、弦心距、弦长一半组成直角三角形来求解.‎ ‎【例】已知点是圆外的一点，则直线与圆的位置关系是―――――――――――――――――――――――――――――――――――（　　）‎ A、相离；　　　B、相切；　　　C、相交且不过圆心；　　　D、相交且过圆心.‎ 分析：点在圆外，则，圆心到直线的距离，又.选C.‎ ‎【2011年虹口区二模文理第3题】直线被圆所截得的弦长等于 ．【答案】【2】‎ ‎【2011年黄浦区二模文理第17题】17．已知直线，点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是 ( )‎ A ．相交． B．相切． C ．相离． D．不能确定．‎ ‎【答案】【A】‎ ‎5、椭圆的定义中要注意隐含的条件：定值大于两定点之间的距离.掌握椭圆基本量之间的关系，分清长轴、短轴、焦距、半长轴、半短轴、半焦距.椭圆最基本的几何性质是定义的逆用：“椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长”.‎ ‎【例】已知复数满足，则对应点的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿；‎ 分析：根据复数的几何意义，复数对应点到与对应点的距离之和为4，看似椭圆，但注意到两定点之间的距离为4.所以对应点的轨迹是以与对应点为端点的线段.‎ ‎【例】设P是以为焦点的椭圆上的一点，若点P满足：，则椭圆的焦距与长轴的比值为―――――――――（　　）‎ A、；　　　　　　　B、；　　　　　　　C、；　　　　　　　D、.‎ 分析：由题知，又，则.由得.则.则.选D.‎ ‎6、双曲线的定义中要注意（1）是差的绝对值，若少掉绝对值则双曲线只有一支；（2）两焦点之间的距离大于定值（实轴长）；‎ ‎【2011年卢湾区二模文理第17题】已知复数满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为 （ ）‎ ‎ A．双曲线的一支 B．双曲线 C．一条射线 D．两条射线 　 ‎ ‎【答案】【C】‎ ‎7、双曲线焦点到同侧一支上的点的距离最小值是，到异侧一支上点的距离最小值是；‎ ‎［举例1］已知双曲线的方程为，P是双曲线上的一点，F1、F2‎ 分别是它的两个焦点，若，则＿＿＿＿＿＿；‎ 分析：由双曲线的定义，知或13.注意P点存在的隐含条件，所以.‎ ‎8、抛物线有四种不同的形式，要注意开口方向与标准方程的关系.不要将抛物线的标准方程与二次函数的表达式相混淆.‎ ‎【例】抛物线的焦点坐标是＿＿＿＿＿；准线方程是＿＿＿＿＿.‎ 分析：注意到方程不是抛物线的标准方程，其标准形式为.所以此抛物线的焦点坐标为，准线方程为.‎ ‎9、直线与圆锥曲线之间的位置关系的讨论主要是转化为方程根的个数的讨论，联立直线与圆锥曲线方程得方程组，消去其中一个量得到关于另一个变量的一元二次方程，利用根的判别式进行讨论，但要注意二方面：一是直线的斜率是否存在，二是所得方程是否为一元二次方程.直线与双曲线或抛物线联立得到的方程二次项可能为零（双曲线中二次项系数为零时，得到的是两条与渐近线平行的直线；抛物线中二次项为零时，得到的是与对称轴平行的一条直线）‎ ‎【例】已知直线过点，双曲线C：.‎ ‎（1）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，求直线斜率的取值范围；‎ ‎（3）是否存在直线使其与双曲线的有两个不同的交点A、B，且以AB为直径的圆过坐标原点？若存在求出此直线的斜率，不存在说明理由.‎ 分析：（1）当直线与轴垂直时，直线满足题义.当直线与轴不垂直时，设直线方程为，联立得方程：---（*）‎ 当时，方程（*）是一次方程，直线与双曲线有一个公共点，此时直线方程为.当时，由△，得，所以满足题义的直线为：.‎ ‎（2）直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则方程（*）有两不等的正根.由△‎ ‎，知且，得或.‎ ‎（3）若以AB为直径的圆过坐标原点，则，设，即.，将代入化简得：‎ ‎，（满足 ‎10、直线与圆锥曲线的综合问题中，通常需要联立直线与圆锥曲线方程得方程组，消去其中一个量得到关于另一个变量的一元二次方程，然后利用维达定理进行求解.不要忘记计算(求值问题中检验即可).‎ ‎【2011年虹口区二模文第22题】已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；（2）略 ‎（3）对于，是否存在实数，直线交椭圆于，两点，且？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（3）文科：记，，将代入，‎ 得（*），，是此方程的两个相异实根．‎ 设PQ的中点为M，则， ‎ 由，得， ‎ ‎，得或．‎ 但，均使方程（*）没有两相异实根，满足条件的不存在．‎ 第十部分 行列式、算法 ‎1、行列式中要注意两点（1）分清余子式和代数余子式；（2）分清行列式和行列式的值；‎ ‎【2011浦东新区二模文第6题】三阶行列式的第3行第2列元素的代数余 子式的值为 【答案】【-14】‎ ‎2、区分二元一次方程组的系数矩阵与增广矩阵，注意方程组的常数项要放在右边.‎ ‎【2011年卢湾区二模理第5题文第6题】若关于x, y的线性方程组的增广矩阵为 ‎，该方程组的解为 则的值为 ．【答案】【-24】‎ 开 始 i=1, s=0‎ s=s+‎ i=i+2‎ 输出S 结 束 否 是 ‎（15题）‎ ‎3、在循环结构中，要注意循环何时开始、何时结束，尤其是最后一个循环，一定要自己动手检验一遍.‎ ‎【2011杨浦区二模文理第15题】如图给出的是计算 的值的一个程序框图，其中判断框 内应填入的条件是（ ）‎ ‎（A）；（B）；‎ ‎（C）；（D）． ‎ ‎【答案】【A】‎