高中数学必修1教案第一章 1_3_2奇偶性

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高中数学必修1教案第一章 1_3_2奇偶性

‎1.3.2 奇偶性 ‎[学习目标] 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.掌握判断函数奇偶性的方法,了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.‎ ‎[知识链接]‎ ‎1.关于y轴对称的点的坐标,横坐标互为相反数,纵坐标相等;关于原点对称的点的坐标,横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数.‎ ‎2.如图所示,它们分别是哪种对称的图形?‎ 答案 第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形,第二个和第三个图形为轴对称图形.‎ ‎3. 观察函数f(x)=x和f(x)=的图象(如图),你能发现两个函数图象有什么共同特征吗?‎ 答案 图象关于原点对称.‎ ‎[预习导引]‎ ‎1.偶函数 ‎(1)定义:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数.‎ ‎(2)图象特征:图象关于y轴对称.‎ ‎2.奇函数 ‎(1)定义:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.‎ ‎(2)图象特征:图象关于原点对称.‎ ‎3.奇偶性的应用中常用到的结论 ‎(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则必有f(0)=0.‎ ‎(2)若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上是增函数,且有最小值-M.‎ ‎(3)若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则有f(x)在(0,+∞)上是增函数.‎ 解决学生疑难点  ‎ 要点一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性:‎ ‎(1)f(x)=2-|x|;‎ ‎(2)f(x)=+;‎ ‎(3)f(x)=;‎ ‎(4)f(x)= 解 (1)∵函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),‎ ‎∴f(x)为偶函数.‎ ‎(2)∵函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),‎ ‎∴f(x)既是奇函数又是偶函数.‎ ‎(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,‎ ‎∴f(x)是非奇非偶函数.‎ ‎(4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.‎ 当x>0时,-x<0,‎ f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);‎ 当x<0时,-x>0,‎ f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).‎ 综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.‎ 规律方法 判断函数奇偶性的方法:(1)定义法:若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性.(2)图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(-x)与f(x)的关系,只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时,才能判定函数的奇偶性.‎ 跟踪演练1 (1)下列函数为奇函数的是(  )‎ A.y=|x| B.y=3-x C.y= D.y=-x2+14‎ ‎(2)若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是(  )‎ A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案 (1)C (2)A 解析 (1)A、D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶函数,而C项中函数为奇函数.‎ ‎(2)∵f(x)=ax2+bx+c是偶函数,‎ ‎∴f(-x)=f(x),得b=0.∴g(x)=ax3+cx.‎ ‎∴g(-x)=a(-x) 3+c(-x)=-g(x),‎ ‎∴g(x)为奇函数.‎ 要点二 利用函数奇偶性研究函数的图象 例2 已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如下图所示,则使函数值y<0的x的取值集合为________.‎ 答案 (-2,0)∪(2,5)‎ 解析 因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如下图所示.由图象知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).‎ 规律方法 给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象,根据奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,可以作出函数在y轴另一侧的图象.作对称图象时,可以先从点的对称出发,点(x0,y0)关于原点的对称点为(-x0,-y0),关于y轴的对称点为(-x0,y0).‎ 跟踪演练2 设偶函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是________________________.‎ 答案  {x|-5≤x<-2,或2<x≤5}‎ 解析 由于偶函数的图象关于y轴对称,所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解.∵当x∈[0,5]时,f(x)<0的解为2<x≤5,‎ 所以当x∈[-5,0]时,f(x)<0的解为-5≤x<-2.‎ ‎∴f(x)<0的解是-5≤x<-2或2<x≤5.‎ 要点三 利用函数的奇偶性求解析式 例3 已知函数f(x)(x∈R)是奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-1,求函数f(x)的解析式.‎ 解 当x<0,-x>0,‎ ‎∴f(-x)=2(-x)-1=-2x-1.‎ 又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),‎ ‎∴f(x)=2x+1.又f(x)(x∈R)是奇函数,‎ ‎∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0.‎ ‎∴所求函数的解析式为f(x)= 规律方法 1.本题易忽视定义域为R的条件,漏掉x=0的情形.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0.‎ ‎2.利用奇偶性求解析式的思路:(1)在待求解析式的区间内设x,则-x在已知解析式的区间内;(2)利用已知区间的解析式进行代入;(3)利用f(x)的奇偶性,求待求区间上的解析式.‎ 跟踪演练3  (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,x≥0时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在R上的解析式是(  )‎ A.f(x)=-x(x-2)‎ B.f(x)=x(|x|-2)‎ C.f(x)=|x|(x-2)‎ D.f(x)=|x|(|x|-2)‎ ‎(2)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于(  )‎ A.-2 B.0‎ C.1 D.2‎ 答案 (1)D (2)A 解析 (1)∵f(x)在R上是偶函数,且x≥0时,f(x)=x2-2x,‎ ‎∴当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2+2x=x2+2x,‎ 则f(x)=f(-x)=x2+2x=-x(-x-2).‎ 又当x≥0时,f(x)=x2-2x=x(x-2),‎ 因此f(x)=|x|(|x|-2).‎ ‎(2)当x>0时,f(x)=x2+,∴f(1)=12+=2.‎ ‎∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2.‎ ‎1.函数f(x)=x2(x<0)的奇偶性为(  )‎ A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案 D 解析 ∵函数f(x)=x2(x<0)的定义域为(-∞,0),不关于原点对称,∴函数f(x)=x2(x<0)为非奇非偶函数.‎ ‎2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(  )‎ A.y=x+1 B.y=-x3‎ C.y= D.y=x|x|‎ 答案 D 解析 由函数的奇偶性排除A,由函数的单调性排除B、C,由y=x|x|的图象可知当x>0时此函数为增函数,又该函数为奇函数.‎ ‎3.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,则当x<0时,f(x)的解析式为(  )‎ A.f(x)=-x+1 B.f(x)=-x-1‎ C.f(x)=x+1 D.f(x)=x-1‎ 答案 B 解析 设x<0,则-x>0.‎ ‎∴f(-x)=x+1,又函数f(x)是奇函数.‎ ‎∴f(-x)=-f(x)=x+1,‎ ‎∴f(x)=-x-1(x<0).‎ ‎4.已知函数y=f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.4‎ 答案 A 解析 由偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称,因此,四个交点中,有两个在x轴的负半轴上,另两个在x轴的正半轴上,所以四个实根的和为0.‎ ‎5.若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=________.‎ 答案 4‎ 解析 由f(x)=(x+a)(x-4)得f(x)=x2+(a-4)x-4a,若f(x)为偶函数,则a-4=0,即a=4.‎ ‎1.定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个条件,f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.‎ ‎2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)⇔f(-x)∓f(x)=0⇔=±1(f(x)≠0).‎ ‎3.(1)若f(x)=0且f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)既是奇函数又是偶函数.‎ ‎(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.‎ 一、基础达标 ‎1.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)是(  )‎ A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案 B 解析 F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x).‎ 又∵x∈(-a,a)关于原点对称,∴F(x)是偶函数.‎ ‎2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)等于(  )‎ A.-3 B.-1‎ C.1 D.3‎ 答案 A 解析 ∵f(x)是奇函数,‎ ‎∴f(1)=-f(-1)=-3.‎ ‎3.若函数f(x)=为奇函数,则a等于(  )‎ A. B. C. D.1‎ 答案 A 解析 函数f(x)的定义域为{x|x≠-,且x≠a}.‎ 又f(x)为奇函数,定义域应关于原点对称,∴a=.‎ ‎4.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(  )‎ A.f(π)>f(-3)>f(-2)‎ B.f(π)>f(-2)>f(-3)‎ C.f(π)<f(-3)<f(-2)‎ D.f(π)<f(-2)<f(-3)‎ 答案 A 解析 ∵f(x)是偶函数,‎ 则f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),‎ 又当x≥0时,f(x)是增函数,‎ 所以f(2)<f(3)<f(π),从而f(-2)<f(-3)<f(π).‎ ‎5.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是(  )‎ A.- B. C. D.- 答案 B 解析 ∵f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,‎ ‎∴f(-x)=f(x),∴b=0,‎ 又a-1=-2a,∴a=,∴a+b=.‎ ‎6.偶函数f(x)在区间[0,+∞)上的图象如图,则函数f(x)的增区间为________.‎ 答案 [-1,0],[1,+∞)‎ 解析 偶函数的图象关于y轴对称,可知函数f(x)的增区间为[-1,0],[1,+∞).‎ ‎7.已知f(x)是R上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+x-1,求x∈(-∞,0)时,f(x)的解析式.‎ 解 设x<0,则-x>0.‎ ‎∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1.‎ ‎∴f(-x)=x2-x-1.‎ ‎∵函数f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).‎ ‎∴f(x)=x2-x-1.‎ ‎∴当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-x-1.‎ 二、能力提升 ‎8.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)0,‎ 得f(m)>-f(m-1),即f(1-m)
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