中考数学压轴题精选测试题

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中考数学压轴题精选测试题

全国中考数学压轴题精选1‎ ‎1.(08福建莆田)26.(14分)如图:抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点.‎ ‎ (1) 求抛物线的解析式.‎ ‎ (2)已知AD = AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t 秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值;‎ ‎ (3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC的值最小?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎(注:抛物线的对称轴为)‎ ‎(08福建莆田26题解析)26(1)解法一:设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)‎ ‎ 因为B(0,4)在抛物线上,所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3‎ ‎ 所以抛物线解析式为 解法二:设抛物线的解析式为,‎ 依题意得:c=4且 解得 ‎ 所以 所求的抛物线的解析式为 ‎(2)连接DQ,在Rt△AOB中,‎ 所以AD=AB= 5,AC=AD+CD=3 + 4 = 7,CD = AC - AD = 7 – 5 = 2‎ 因为BD垂直平分PQ,所以PD=QD,PQ⊥BD,所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB,所以∠ABD=∠ADB,∠ABD=∠QDB,所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB,所以△CDQ∽ △CAB ‎ 即 所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= , ‎ 所以t的值是 ‎(3)答对称轴上存在一点M,使MQ+MC的值最小 理由:因为抛物线的对称轴为 所以A(- 3,0),C(4,0)两点关于直线对称 连接AQ交直线于点M,则MQ+MC的值最小 过点Q作QE⊥x轴,于E,所以∠QED=∠BOA=900‎ ‎ DQ∥AB,∠ BAO=∠QDE, △DQE ∽△ABO ‎ 即 ‎ 所以QE=,DE=,所以OE = OD + DE=2+=,所以Q(,)‎ 设直线AQ的解析式为 则 由此得 ‎ 所以直线AQ的解析式为 联立 由此得 所以M 则:在对称轴上存在点M,使MQ+MC的值最小。‎ ‎2.(08甘肃白银等9市)28.(12分)如图20,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).平行于对角线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N,直线m运动的时间为t(秒).‎ 图20‎ ‎(1) 点A的坐标是__________,点C的坐标是__________;‎ ‎ (2) 当t= 秒或 秒时,MN=AC;‎ ‎(3) 设△OMN的面积为S,求S与t的函数关系式;‎ ‎(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值?若有,求出最大值;若没有,要说明理由.‎ ‎(08甘肃白银等9市28题解析)28. 本小题满分12分 解:(1)(4,0),(0,3); 2分 ‎(2) 2,6; 4分 ‎(3) 当0<t≤4时,OM=t.‎ 由△OMN∽△OAC,得,‎ ‎∴ ON=,S=. 6分 当4<t<8时,‎ 如图,∵ OD=t,∴ AD= t-4. ‎ 方法一:‎ 由△DAM∽△AOC,可得AM=,∴ BM=6-. 7分 由△BMN∽△BAC,可得BN==8-t,∴ CN=t-4. 8分 S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积- Rt△MBN的面积- Rt△NCO的面积 ‎=12--(8-t)(6-)-‎ ‎=. 10分 方法二:‎ 易知四边形ADNC是平行四边形,∴ CN=AD=t-4,BN=8-t. 7分 由△BMN∽△BAC,可得BM==6-,∴ AM=. 8分 以下同方法一.‎ ‎ (4) 有最大值.‎ 方法一:‎ 当0<t≤4时,‎ ‎∵ 抛物线S=的开口向上,在对称轴t=0的右边, S随t的增大而增大,‎ ‎∴ 当t=4时,S可取到最大值=6; 11分 当4<t<8时,‎ ‎∵ 抛物线S=的开口向下,它的顶点是(4,6),∴ S<6. ‎ 综上,当t=4时,S有最大值6. 12分 方法二:‎ ‎∵ S= ‎ ‎∴ 当0<t<8时,画出S与t的函数关系图像,如图所示. 11分 显然,当t=4时,S有最大值6. 12分 说明:只有当第(3)问解答正确时,第(4)问只回答“有最大值”无其它步骤,可给1分;否则,不给分.‎ ‎3.(08广东广州)25、(2008广州)(14分)如图11,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=‎2cm,BC=‎4cm,在等腰△PQR中,∠QPR=120°,底边QR=‎6cm,点B、C、Q、R在同一直线l上,且C、Q两点重合,如果等腰△PQR以‎1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动,t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米 ‎(1)当t=4时,求S的值 ‎(2)当,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值 图11‎ ‎(08广东广州25题解析)25.(1)t=4时,Q与B重合,P与D重合,‎ 重合部分是=‎ ‎4.(08广东深圳)22.如图9,在平面直角坐标系中,二次函数的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),‎ OB=OC ,tan∠ACO=.‎ ‎(1)求这个二次函数的表达式.‎ ‎(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度.‎ ‎(4)如图10,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.‎ ‎ ‎ ‎(08广东深圳22题解析)22.(1)方法一:由已知得:C(0,-3),A(-1,0) …1分 将A、B、C三点的坐标代入得 ……………………2分 解得: ……………………3分 所以这个二次函数的表达式为: ……………………3分 方法二:由已知得:C(0,-3),A(-1,0) ………………………1分 设该表达式为: ……………………2分 将C点的坐标代入得: ……………………3分 所以这个二次函数的表达式为: ……………………3分 ‎(注:表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)‎ ‎(2)方法一:存在,F点的坐标为(2,-3) ……………………4分 理由:易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:‎ ‎∴E点的坐标为(-3,0) ……………………4分 由A、C、E、F四点的坐标得:AE=CF=2,AE∥CF ‎∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ‎∴存在点F,坐标为(2,-3) ……………………5分 方法二:易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:‎ ‎∴E点的坐标为(-3,0) ………………………4分 ‎∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ‎∴F点的坐标为(2,-3)或(―2,―3)或(-4,3) ‎ 代入抛物线的表达式检验,只有(2,-3)符合 ‎∴存在点F,坐标为(2,-3) ………………………5分 ‎(3)如图,①当直线MN在x轴上方时,设圆的半径为R(R>0),则N(R+1,R),‎ 代入抛物线的表达式,解得 …………6分 ‎②当直线MN在x轴下方时,设圆的半径为r(r>0),‎ 则N(r+1,-r),‎ 代入抛物线的表达式,解得 ………7分 ‎∴圆的半径为或. ……………7分 ‎(4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,‎ 易得G(2,-3),直线AG为.……………8分 设P(x,),则Q(x,-x-1),PQ.‎ ‎ ……………………9分 当时,△APG的面积最大 此时P点的坐标为,. ……………………10分 ‎5.(08贵州贵阳)25.(本题满分12分)(本题暂无答案)‎ 某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.‎ 设每个房间每天的定价增加元.求:‎ ‎(1)房间每天的入住量(间)关于(元)的函数关系式.(3分)‎ ‎(2)该宾馆每天的房间收费(元)关于(元)的函数关系式.(3分)‎ ‎(3)该宾馆客房部每天的利润(元)关于(元)的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时,有最大值?最大值是多少?(6分)‎ ‎6.(08湖北恩施)六、(本大题满分12分)‎ ‎24. 如图11,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A 为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若∆ABC固定不动,∆AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n.‎ ‎(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.‎ ‎(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围.‎ ‎ (3)以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D,使BD=CE,求出D点的坐标,并通过计算验证BD+CE=DE.‎ G y x 图12‎ O F E D C B A G 图11‎ F E D C B A ‎ (4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD+CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(08湖北恩施24题解析)六、(本大题满分12分)‎ ‎24. 解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA 1分 ‎ ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°‎ ‎ ∴∠BAE=∠CDA ‎ 又∠B=∠C=45°‎ ‎ ∴∆ABE∽∆DCA 3分 ‎ (2)∵∆ABE∽∆DCA ‎ ∴‎ ‎ 由依题意可知CA=BA=‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴m= 5分 ‎ 自变量n的取值范围为1
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