2021高考数学一轮复习专练52双曲线含解析理新人教版

2021高考数学一轮复习专练52双曲线含解析理新人教版

专练52　双曲线 命题范围：双曲线的定义、标准方程与简单的几何性质 ‎[基础强化]‎ 一、选择题 ‎1．平面内到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)距离差的绝对值等于8的动点P的轨迹方程为(　　)‎ A.－＝1　B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎2．设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为(　　)‎ A．19 B．26‎ C．43 D．50‎ ‎3．[2019·浙江卷]渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ ‎4．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)‎ A．(，＋∞) B．(，2)‎ C．(1，) D．(1,2)‎ ‎5．[2019·天津卷]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C．2 D. ‎6．[2020·全国卷Ⅲ]设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF‎1F2的面积为4，则a＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ ‎7．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为(　　)‎ A. B．11‎ C．12 D．16‎ ‎8．[2020·湖南张家界高三测试]双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，其渐近线与圆(x－a)2＋y2＝相切，则该双曲线的方程为(　　)‎ A．x2－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎9．[2020·唐山摸底]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和双曲线E：x2－y2＝1有相同的焦点F ‎1，F2，且离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则△F1PF2的形状为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 二、填空题 ‎10．双曲线－＝1上一点M到其中一个焦点的距离为7，则点M到另一个焦点的距离为________．‎ ‎11．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________.‎ ‎12．[2020·全国卷Ⅰ]已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．‎ ‎[能力提升]‎ ‎13．[2019·全国卷Ⅲ]双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　　)‎ A. B. C．2 D．3 ‎14．[2020·全国卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)‎ A．4 B．8‎ C．16 D．32‎ ‎15．[2020·河南郑州一中高三测试]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为________________________．‎ ‎16．[2020·长沙一中高三测试]若双曲线－＝1(a>0，b>0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是________．‎ 专练52　双曲线 ‎1．D　由题意得a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，又焦点落在x轴上，∴其双曲线方程为－＝1.‎ ‎2．B　x2－y2＝9可化为－＝1，‎ ‎∴a＝3，由双曲线的定义知 ‎|PF2|＝‎2a＋|PF1|，|QF2|＝‎2a＋|QF1|，‎ ‎∴△F2PQ的周长L＝|PQ|＋|PF2|＋|QF2|‎ ‎＝|PQ|＋‎2a＋|PF1|＋‎2a＋|QF1|‎ ‎＝2|PQ|＋‎4a＝2×7＋4×3＝26.‎ ‎3．C　本题主要考查双曲线的离心率，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．‎ 因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.故选C.‎ ‎4．C　∵c2＝a2＋1，‎ ‎∴e2＝＝＝1＋，‎ 又a2>1，∴0<<1，‎ ‎∴1<1＋<2，∴10，∴a＝1，b＝.‎ 则双曲线方程为：x2－＝1.‎ 故答案为A.‎ ‎9．B　∵x2－y2＝1的焦点(±，0)，e1＝＝，‎ ‎∴由题意得＋＝1的焦点坐标为(±，0)，e＝，‎ ‎∴∴ ‎∴椭圆方程为＋＝1.‎ 设P为两曲线右边的交点，由椭圆、双曲线的定义知，‎ ∴|PF1|＝3，|PF2|＝1，‎ 又|F‎1F2|＝2，且|PF2|2＋|F‎1F2|2＝1＋(2)2＝1＋8＝9＝|PF1|2，‎ ‎∴△PF‎1F2为直角三角形．‎ ‎10．13‎ 解析：由题意，a2＝9，所以a＝3.设点M到另一个焦点的距离为d，由双曲线的定义知，|7－d|＝‎2a＝2×3＝6，所以d＝1(舍)或d＝13.即点M到另一个焦点的距离为13.‎ ‎11. 解析：∵双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±，‎ ‎∴＝，a＝.‎ ‎12．2‎ 解析：点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为，点A坐标为(a,0)，∵AB的斜率为3，‎ ‎∴＝3，即＝＝e＋1＝3，∴e＝2.故离心率e＝2.‎ ‎13．A　本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质、三角形的面积，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝.又tan∠POF＝＝，所以等腰三角形POF的高h＝×＝，所以S△PFO＝××＝.‎ ‎14．B　直线x＝a与双曲线C的两条渐近线y＝±x分别交于D、E两点，则|DE|＝|yD－yE|＝2b，所以S△ODE＝·a·2b＝ab，即ab＝8.所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(当且仅当a＝b时取等号)，即cmin＝4，所以双曲线的焦距‎2c的最小值为8，故选B.‎ ‎15.－＝1‎ 解析：由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点坐标为(4,0)，可得c＝4，即有a2＋b2＝c2＝16，‎ 由双曲线的两条渐近线互相垂直，‎ 即直线y＝x和直线y＝－x垂直，‎ 可得a＝b，‎ 则a＝b＝2，‎ 则该双曲线的方程为－＝1.‎ ‎16. 解析：由题意，|OP|＝，又|OP|≥a，‎ 则≥a，即2ab≥a2，得2b≥a,4b2＝4(c2－a2)≥a2，所以≥，‎ 所以e≥，即e的取值范围是.‎