2021届课标版高考理科数学一轮复习教师用书：第六章素养提升3　高考中数列解答题的提分策略

2021届课标版高考理科数学一轮复习教师用书：第六章素养提升3　高考中数列解答题的提分策略

素养提升3　高考中数列解答题的提分策略 ‎1[2019全国卷Ⅱ,19,12分][理]已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an - bn+4,4bn+1=3bn - an - 4.‎ ‎(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an - bn}是等差数列;‎ ‎(2)求{an}和{bn}的通项公式.‎ ‎(1)将已知条件中与an,bn有关的两式相加,根据等比数列的定义证明{an+bn}是等比数列;将已知条件中与an,bn有关的两式相减,根据等差数列的定义证明{an - bn}是等差数列.‎ ‎(2)①根据等比数列和等差数列的通项公式分别求出{an+bn}与{an - bn}的通项公式;‎ ‎②将{an+bn}与{an - bn}的通项公式相加减后除以2,分别求出{an}和{bn}的通项公式.‎ ‎(1)由题意可知a1+b1=1,a1 - b1=1.‎ 因为4an+1+4bn+1=3an - bn+4+3bn - an - 4=2an+2bn,‎ 即an+1‎‎+‎bn+1‎an‎+‎bn‎=‎‎1‎‎2‎,①‎ 所以数列{an+bn}是首项为1,公比为‎1‎‎2‎的等比数列.②‎ 因为4an+1 - 4bn+1=3an - bn+4 - (3bn - an - 4)=4an - 4bn+8,‎ 即(an+1 - bn+1) - (an - bn)=2,③‎ 所以数列{an - bn}是首项为1,公差为2的等差数列.④‎ ‎(2)由(1)知,an+bn=‎1‎‎2‎n-1‎,⑤‎ an - bn=2n - 1.⑥‎ 所以an=‎1‎‎2‎[(an+bn)+(an - bn)]=‎1‎‎2‎n+n - ‎1‎‎2‎,⑦‎ bn=‎1‎‎2‎[(an+bn) - (an - bn)]=‎1‎‎2‎n - n+‎1‎‎2‎.⑧‎ 感悟升华 阅 卷 现 场 得分点 第(1)问 采点得 分说明 ‎①根据条件求出an+1‎‎+‎bn+1‎an‎+‎bn‎=‎‎1‎‎2‎得2分;‎ ‎②写出结论得1分;‎ ‎③根据条件求出(an+1 - bn+1) - (an - bn)=2得2分;‎ ‎④写出结论得1分.‎ ‎6分 第(2)问 采点得 分说明 ‎⑤求出数列{an+bn}的通项公式得1分;‎ ‎⑥求出数列{an - bn}的通项公式得1分;‎ ‎⑦由an=‎1‎‎2‎[(an+bn)+(an - bn)]求得数列{an}的通项公式得2分;‎ ‎⑧由bn=‎1‎‎2‎[(an+bn) - (an - bn)]求得数列{bn}的通项公式得2分.‎ ‎6分 满 分 策 ‎1.解答数列类大题的关键 熟练把握等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及相应的性质是解数列问题的关键.‎ 略 ‎2.化归与转化思想的运用 当给定的数列不是等差数列或等比数列时,应利用化归思想或构造思想,将给定的数列转化为等差数列或等比数列求解.‎ ‎3.解数列求和题的技巧 重点要掌握等差数列、等比数列的求和公式以及常用的“错位相减法”“裂项相消法”等方法.解决问题的关键在于数列的通项公式,要根据通项公式的特征准确选择相应的方法.‎ ‎2 [2017全国卷Ⅲ,17,12分]设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n - 1)an=2n.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{an‎2n+1‎}的前n项和.‎ ‎(1)a1+3a2+…+(2n - 1)an=2n数列{(2n - 1)an}的前n项和→利用通项与前n项和的关系求解 ‎(1)因为a1+3a2+…+(2n - 1)an=2n　①,‎ 故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n - 3)an - 1=2(n - 1)　②.1分(得分点1)‎ ‎① - ②得(2n - 1)an=2,所以an=‎2‎‎2n-1‎.4分(得分点2)‎ 又当n=1时,a1=2满足上式,5分(得分点3)‎ 所以{an}的通项公式为an=‎2‎‎2n-1‎.6分(得分点4)‎ ‎(2)记数列{an‎2n+1‎}的前n项和为Sn,‎ 由(1)知an‎2n+1‎=‎2‎‎(2n-1)(2n+1)‎=‎1‎‎2n-1‎‎- ‎‎1‎‎2n+1‎,8分(得分点5)‎ 则Sn=(1 - ‎1‎‎3‎)+(‎1‎‎3‎‎ -‎‎1‎‎5‎)+…+(‎1‎‎2n-1‎‎- ‎‎1‎‎2n+1‎)10分(得分点6)‎ ‎=1 - ‎‎1‎‎2n+1‎ ‎=‎2n‎2n+1‎.12分(得分点7)‎ 感悟升华 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 裂项相消法求和.‎ 逻辑推理 观察已知式子的特点,利用前n项和与通项的关系求解通项;根据an‎2n+1‎‎=‎‎2‎‎(2n-1)(2n+1)‎的特点裂项求和.‎ 得分 要点 ‎(1)得步骤分:抓住得分点的解题步骤,“步步为赢”.第(1)问中,由an满足的关系式,通过消项求得an,并验证当n=1时成立,从而写出结果.第(2)问中观察数列通项公式的结构特征,利用裂项相消法求得数列的前n项和Sn.‎ ‎(2)得关键分:①an - 1满足的关系式;②验证n=1;③对通项裂项.这些都是必不可少的过程,有则给分,无则没分.‎ ‎(3)得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如得分点2,5,7.‎ 答题 模板 求数列通项与前n项和的步骤 第一步:由等差(等比)数列的定义求通项,或者由递推公式求通项.‎ 第二步:根据前n项和的表达式或通项的特征,选择适当的方法求和.‎ 第三步:明确、规范地表述结论.‎ ‎3 [2018浙江,20,15分]已知等比数列{an}的公比q>1,且a‎3‎‎+a‎4‎+‎a‎5‎‎②‎=28,a‎4‎‎+2是a‎3‎,a‎5‎的等差中项‎①‎.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1‎-bn)an}的前n项和为2n‎2‎+n‎③‎.‎ ‎(1)求q的值;‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式.‎ ‎(1)由①可知,a3+a5=2(a4+2),代入②可求出a4及a3+a5,进而可求出公比q;(2)由③及“an=Sn - Sn - 1”可求出数列{(bn+1 - bn)an}的通项公式,由(1)可先求出an,然后可求出{bn+1 - bn}的通项公式,再用叠加法及错位相减法即可求出{bn}的通项公式.‎ ‎(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.(3分)‎ 由a3+a5=20,得8(‎1‎q+q)=20,‎ 解得q=2或q=‎1‎‎2‎.(5分)‎ 因为q>1,所以q=2.(6分)‎ ‎(2)设cn=(bn+1 - bn)an,数列{cn}的前n项和为Sn.‎ 由cn=S‎1‎‎,n=1,‎Sn‎-Sn-1‎,n≥2,‎解得cn=4n - 1.(8分)‎ 由(1)可知an=2n - 1,‎ 所以bn+1 - bn=(4n - 1)·(‎1‎‎2‎)n - 1,(9分)‎ 故bn - bn - 1=(4n - 5)·(‎1‎‎2‎)n - 2,n≥2,‎ bn - b1=(bn - bn - 1)+(bn - 1 - bn - 2)+…+(b3 - b2)+(b2 - b1)‎ ‎=(4n - 5)·(‎1‎‎2‎)n - 2+(4n - 9)·(‎1‎‎2‎)n - 3+…+7·‎1‎‎2‎+3.(11分)‎ 设Tn=3+7·‎1‎‎2‎+11·(‎1‎‎2‎)2+…+(4n - 5)·(‎1‎‎2‎)n - 2,n≥2,‎ 则‎1‎‎2‎Tn=3·‎1‎‎2‎+7·(‎1‎‎2‎)2+…+(4n - 9)·(‎1‎‎2‎)n - 2+(4n - 5)·(‎1‎‎2‎)n - 1,(13分)‎ 所以‎1‎‎2‎Tn=3+4·‎1‎‎2‎+4·(‎1‎‎2‎)2+…+4·(‎1‎‎2‎)n - 2 - (4n - 5)·(‎1‎‎2‎)n - 1,‎ 因此Tn=14 - (4n+3)·(‎1‎‎2‎)n - 2,n≥2,(14分)‎ 又b1=1,所以bn=15 - (4n+3)·(‎1‎‎2‎)n - 2.(15分)‎ 感悟升华 命题 探源 本题主要考查等差中项,等比数列的通项公式,数列的通项与前n项和的关系等,同时考查了方程、转化与化归等思想方法,以及数学运算、逻辑推理等核心素养.‎ 失分 探源 ‎(1)高考复习中将“边缘化”知识遗忘.如将“等差中项”这一概念遗忘,以致无法找到解题的切入点.‎ ‎(2)没有运用方程思想解决问题.如没有将a3+a5=2a4+4代入②中求出a4及a3+a5等.‎ ‎(3)没有掌握好公式“an=Sn - Sn - 1”及其蕴含的思想方法,以致无法求出{(bn+1 - bn)an}的通项公式.‎ ‎(4)求出bn+1 - bn=(4n - 1)(‎1‎‎2‎)n - 1后,不能运用叠加法求出bn.‎ ‎(5)没有掌握好错位相减法,以致求出bn - b1的表达式后无法化简.‎ ‎(6)计算错误.如在用错位相减法求bn - b1的过程中出现错误.‎ ‎(7)在最后一步直接把Tn当作bn,导致错误.‎