【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(1)

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【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(1)

‎(七十三)‎ ‎1.(2019·陕西咸阳模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A在椭圆C上,|AF1|=2,∠F1AF2=60°,过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若P,Q的中点为N,在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得MN⊥PQ?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ 答案 (1)+=1 (2)存在m∈(0,) 理由略 解析 (1)由e=,得a=2c.由|AF1|=2,得|AF2|=2a-2.‎ 由余弦定理得|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cos∠F1AF2=|F1F2|2,即a2-3a+3=c2,解得c=1,a=2,b2=a2-c2=3.‎ 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)存在这样的点M符合题意.‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0).‎ 由F2(1,0),设直线PQ的方程为y=k(x-1),‎ 由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,‎ 得x1+x2=,故x0==.‎ 又点N在直线PQ上,所以y0=,所以N(,).‎ 因为MN⊥PQ,所以kMN==-,整理得m==∈(0,).‎ 所以在线段OF2上存在点M(m,0),使得MN⊥PQ,m的取值范围为(0,).‎ ‎2.(2019·甘肃兰州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过圆E:x2+y2=2上任意一点P作圆E的切线l,l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆是否过定点,若过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由.‎ 答案 (1)+=1 (2)过定点(0,0)‎ 解析 (1)因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形,所以b=c,S=·2c·b=a2=3,所以a=,b=,故椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)圆E的方程为x2+y2=2,设O为坐标原点,‎ 当直线l的斜率不存在时,不妨设直线AB的方程为x=,‎ 则A(,),B(,-),所以∠AOB=,所以以AB为直径的圆过坐标原点.‎ 当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).因为直线与圆E相切,所以d===,所以m2=2+2k2.联立方程组得x2+2(kx+m)2=6,即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0,Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6)=8(6k2-m2+3)=8(4k2+1)>0,由根与系数的关系得 所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2‎ ‎=-+m2==0,‎ 所以⊥,所以以AB为直径的圆恒过坐标原点O.‎ ‎3.(2019·安徽六安二模)设点P是圆x2+y2=4上的任意一点,点D是点P在x轴上的投影,动点M满足 =2,过定点Q(0,2)的直线l与动点M的轨迹交于A,B两点.‎ ‎(1)求动点M的轨迹方程;‎ ‎(2)在y轴上是否存在点E(0,t),使|EA|=|EB|?若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ 答案 (1)+=1 (2)存在,t∈(-,0]‎ 解析 (1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(xp,yp),则点D的坐标为(xp,0),由 =2,得 ‎∵点P在圆上,∴x2+(y)2=4,即+=1,‎ ‎∴点M的轨迹方程为+=1.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,当E与原点重合,即t=0时,满足|EA|=|EB|.‎ 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+2,代入+=1,消去y,得(3+4k2)x2+16kx+4=0,则由Δ=(16k)2-16(3+4k2)>0,得|k|>.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.‎ ‎∵|EA|=|EB|,∴(+)·=0.‎ 又+=(x1+x2,k(x1+x2)+4-2t),=(x2-x1,k(x2-x1)),‎ ‎∴(x2-x1,k(x2-x1))·(x1+x2,k(x1+x2)+4-2t)=0,展开化简,‎ 得(1+k2)·(x1+x2)+4k-2kt=0,‎ 将x1+x2=-代入化简,得t=-,‎ 又|k|>,∴t=-∈(-,0).‎ 综上,存在符合题意的点E,且实数t的取值范围为(-,0].‎ ‎4.(2019·吉林一中二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线x-y+4=0相切.‎ ‎(1)求该抛物线的方程;‎ ‎(2)在x轴的正半轴上,是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l与抛物线C交于A,B两点,使得+为定值?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ 答案 (1)y2=8x (2)存在M(4,0)‎ 解析 (1)联立方程,有消去x,得y2-2py+8p=0,由直线与抛物线相切,得Δ=8p2-32p=0,解得p=4.‎ 所以抛物线的方程为y2=8x.‎ ‎(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m>0).‎ 直线l:x=ty+m,由得y2-8ty-8m=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),有y1+y2=8t,y1y2=-8m.‎ ‎|AM|2=(x1-m)2+y12=(t2+1)y12,‎ ‎|BM|2=(x2-m)2+y22=(t2+1)y22.‎ +=+=·=·,‎ 当m=4时,+为定值,所以M(4,0).‎ ‎5.(2019·福建漳州八校联考)已知抛物线D的顶点是椭圆+=1的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.‎ ‎(1)求抛物线D的方程;‎ ‎(2)已知动直线l过点P(4,0),交抛物线D于A,B两点,坐标原点O为PQ的中点,求证:∠AQP=∠BQP;‎ ‎(3)是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出直线m的方程;如果不存在,请说明理由.‎ 答案 (1)y2=4x (2)略 (3)直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值2,存在直线m:x=3.‎ 解析 (1)抛物线的焦点为(1,0),∴p=2.‎ ‎∴抛物线D的方程为y2=4x.‎ ‎(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由于O为PQ的中点,则Q点坐标为(-4,0).‎ 当l垂直于x轴时,由抛物线的对称性知∠AQP=∠BQP.‎ 当l不垂直于x轴时,设l:y=k(x-4),由得k2x2-4(2k2+1)x+16k2=0,‎ ‎∴ ‎∵kAQ==,kBQ==,‎ ‎∴kAQ+kBQ===0,∴∠AQP=∠BQP.‎ ‎(3)假设存在直线m:x=a满足题意,则圆心M(,),过M作直线x=a的垂线,垂足为E.‎ 设直线m与圆的一个交点为G,则|EG|2=|MG|2-|ME|2,即 ‎|EG|2=|MG|2-|ME|2=-(-a)2=y12++a(x1+4)-a2=x1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2,当a=3时,|EG|2=3,‎ 此时直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值2.‎ 因此存在直线m:x=3满足题意.‎
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