- 2021-05-08 发布 |
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文档介绍
【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(1)
(七十三) 1.(2019·陕西咸阳模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A在椭圆C上,|AF1|=2,∠F1AF2=60°,过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点. (1)求椭圆C的方程; (2)若P,Q的中点为N,在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得MN⊥PQ?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由. 答案 (1)+=1 (2)存在m∈(0,) 理由略 解析 (1)由e=,得a=2c.由|AF1|=2,得|AF2|=2a-2. 由余弦定理得|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cos∠F1AF2=|F1F2|2,即a2-3a+3=c2,解得c=1,a=2,b2=a2-c2=3. 所以椭圆C的方程为+=1. (2)存在这样的点M符合题意. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0). 由F2(1,0),设直线PQ的方程为y=k(x-1), 由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0, 得x1+x2=,故x0==. 又点N在直线PQ上,所以y0=,所以N(,). 因为MN⊥PQ,所以kMN==-,整理得m==∈(0,). 所以在线段OF2上存在点M(m,0),使得MN⊥PQ,m的取值范围为(0,). 2.(2019·甘肃兰州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形. (1)求椭圆C的方程; (2)过圆E:x2+y2=2上任意一点P作圆E的切线l,l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆是否过定点,若过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由. 答案 (1)+=1 (2)过定点(0,0) 解析 (1)因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形,所以b=c,S=·2c·b=a2=3,所以a=,b=,故椭圆C的方程为+=1. (2)圆E的方程为x2+y2=2,设O为坐标原点, 当直线l的斜率不存在时,不妨设直线AB的方程为x=, 则A(,),B(,-),所以∠AOB=,所以以AB为直径的圆过坐标原点. 当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).因为直线与圆E相切,所以d===,所以m2=2+2k2.联立方程组得x2+2(kx+m)2=6,即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0,Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6)=8(6k2-m2+3)=8(4k2+1)>0,由根与系数的关系得 所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 =-+m2==0, 所以⊥,所以以AB为直径的圆恒过坐标原点O. 3.(2019·安徽六安二模)设点P是圆x2+y2=4上的任意一点,点D是点P在x轴上的投影,动点M满足 =2,过定点Q(0,2)的直线l与动点M的轨迹交于A,B两点. (1)求动点M的轨迹方程; (2)在y轴上是否存在点E(0,t),使|EA|=|EB|?若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,请说明理由. 答案 (1)+=1 (2)存在,t∈(-,0] 解析 (1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(xp,yp),则点D的坐标为(xp,0),由 =2,得 ∵点P在圆上,∴x2+(y)2=4,即+=1, ∴点M的轨迹方程为+=1. (2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,当E与原点重合,即t=0时,满足|EA|=|EB|. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+2,代入+=1,消去y,得(3+4k2)x2+16kx+4=0,则由Δ=(16k)2-16(3+4k2)>0,得|k|>. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=. ∵|EA|=|EB|,∴(+)·=0. 又+=(x1+x2,k(x1+x2)+4-2t),=(x2-x1,k(x2-x1)), ∴(x2-x1,k(x2-x1))·(x1+x2,k(x1+x2)+4-2t)=0,展开化简, 得(1+k2)·(x1+x2)+4k-2kt=0, 将x1+x2=-代入化简,得t=-, 又|k|>,∴t=-∈(-,0). 综上,存在符合题意的点E,且实数t的取值范围为(-,0]. 4.(2019·吉林一中二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线x-y+4=0相切. (1)求该抛物线的方程; (2)在x轴的正半轴上,是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l与抛物线C交于A,B两点,使得+为定值?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由. 答案 (1)y2=8x (2)存在M(4,0) 解析 (1)联立方程,有消去x,得y2-2py+8p=0,由直线与抛物线相切,得Δ=8p2-32p=0,解得p=4. 所以抛物线的方程为y2=8x. (2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m>0). 直线l:x=ty+m,由得y2-8ty-8m=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),有y1+y2=8t,y1y2=-8m. |AM|2=(x1-m)2+y12=(t2+1)y12, |BM|2=(x2-m)2+y22=(t2+1)y22. +=+=·=·, 当m=4时,+为定值,所以M(4,0). 5.(2019·福建漳州八校联考)已知抛物线D的顶点是椭圆+=1的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合. (1)求抛物线D的方程; (2)已知动直线l过点P(4,0),交抛物线D于A,B两点,坐标原点O为PQ的中点,求证:∠AQP=∠BQP; (3)是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出直线m的方程;如果不存在,请说明理由. 答案 (1)y2=4x (2)略 (3)直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值2,存在直线m:x=3. 解析 (1)抛物线的焦点为(1,0),∴p=2. ∴抛物线D的方程为y2=4x. (2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2), 由于O为PQ的中点,则Q点坐标为(-4,0). 当l垂直于x轴时,由抛物线的对称性知∠AQP=∠BQP. 当l不垂直于x轴时,设l:y=k(x-4),由得k2x2-4(2k2+1)x+16k2=0, ∴ ∵kAQ==,kBQ==, ∴kAQ+kBQ===0,∴∠AQP=∠BQP. (3)假设存在直线m:x=a满足题意,则圆心M(,),过M作直线x=a的垂线,垂足为E. 设直线m与圆的一个交点为G,则|EG|2=|MG|2-|ME|2,即 |EG|2=|MG|2-|ME|2=-(-a)2=y12++a(x1+4)-a2=x1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2,当a=3时,|EG|2=3, 此时直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值2. 因此存在直线m:x=3满足题意.查看更多