【数学】2018届一轮复习人教A版直线与圆学案

【数学】2018届一轮复习人教A版直线与圆学案

第一讲 直线与圆 ‎ 考情分析]‎ 直线与圆的方程系为高考命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多在选择题或填空题呈现.‎ 年份 卷别 考查角度及命题位置 ‎2017‎ Ⅲ卷 探索性问题与圆的弦长问题·T20‎ ‎2016‎ Ⅰ卷 直线与圆的位置关系及圆的面积问题·T15‎ ‎2015‎ Ⅰ卷 直线与圆相交问题·T20‎ Ⅱ卷 圆的方程问题·T7‎ ‎ 真题自检]‎ ‎1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D．2‎ 解析：因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离 d＝＝1，解得a＝－.‎ 答案：A ‎2．(2016·高考全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋‎2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．‎ 解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝，因为|AB|＝2，点C到直线y＝x＋‎2a，即x－y＋‎2a＝0的距离d＝＝，由勾股定理 得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.‎ 答案：4π 直线与直线方程 ‎ 方法结论]‎ ‎1．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．‎ ‎2．求直线方程 要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．‎ ‎3．两个距离公式 ‎(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.‎ ‎(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式 d＝.‎ ‎4．与已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)平行的直线可改为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0.‎ ‎5．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，‎ 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，‎ 当l1⊥l2时，有A‎1A2＋B1B2＝0，‎ 当l1∥l2时，A1B2－A2B1＝0且A‎1C2－A‎2C1≠0.‎ ‎ 题组突破]‎ ‎1．(2017·重庆一中检测)若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝，故选D.‎ 答案：D ‎2．“ab＝‎4”‎是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的(　　)‎ A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为两条直线平行，所以斜率相等，即－＝－，可得ab＝4，又当a＝1，b＝4时，满足ab＝4，但是两直线重合，故选C.‎ 答案：C ‎3．经过直线l1：2x－3y＋2＝0与l2：3x－4y－2＝0的交点，且平行于直线4x－2y ‎＋7＝0的直线方程是(　　)‎ A．x－2y＋9＝0 B．4x－2y＋9＝0‎ C．2x－y－18＝0 D．x＋2y＋18＝0‎ 解析：联立两条直线的方程得，解得x＝14，y＝10.所以l1，l2的交点坐标是(14,10)．设与直线4x－2y＋7＝0平行的直线方程为4x－2y＋c＝0(c≠7)，因为4x－2y＋c＝0过l1与l2的交点(14,10)，所以c＝－36，所以所求直线方程为4x－2y－36＝0，即2x－y－18＝0.故选C.‎ 答案：C ‎ 误区警示]‎ ‎1．求直线方程时易忽视斜率k不存在情形．‎ ‎2．利用斜率与截距判断两线平行或垂直关系时易忽视斜率不存在情形．‎ ‎3．有关截距问题易忽视截距为零这一情形．‎ 圆的方程 ‎ 方法结论]‎ ‎1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，‎ 方程为x2＋y2＝r2.‎ ‎2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－‎4F>0，表示以为圆心、为半径的圆．‎ ‎ 题组突破]‎ ‎1．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　)‎ A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0‎ C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0‎ 解析：由(a－1)x－y＋a＋1＝0得(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，由x＋1＝0且x＋y－1＝0，解得x＝－1，y＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.‎ 答案：C ‎2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋‎2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2)∪ B. C．(－2,0) D. 解析：方程为2＋(y＋a)2＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.‎ 答案：D ‎3．(2017·北京西城模拟)与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是(　　)‎ A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2‎ C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2 D．(x－2)2＋(y－2)2＝2‎ 解析：由题意知，曲线为(x－6)2＋(y－6)2＝18，过圆心(6,6)作直线x＋y－2＝0的垂线，垂线方程为y＝x，则所求的最小圆的圆心必在直线y＝x上，又(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝5，故最小圆的半径为，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.‎ 答案：D ‎4．一束光线从圆C的圆心C(－1,1)出发，经x轴反射到圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程刚好是圆C的直径，则圆C的方程为(　　)‎ A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝5‎ C．(x＋1)2＋(y－1)2＝16 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝25‎ 解析：圆C1的圆心C1的坐标为(2,3)，半径为r1＝1.点C(－1,1)关于x轴的对称点C′的坐标为(－1，－1)．‎ 因为C′在反射线上，所以最短路程为|C′C1|－r1，即－1＝4.故圆C的半径为 r＝×4＝2，所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，故选A.‎ 答案：A ‎ 误区警示]‎ 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是D2＋E2－‎4F＞0，易忽视这一点．‎ 直线与圆的位置关系 ‎ 方法结论]‎ ‎1．直线和圆的位置关系的判断方法 直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系如表.‎ 方法 几何法：根据 d＝与r的大小关系 代数法： 消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号判断 相交 d＜r Δ>0‎ 相切 d＝r Δ＝0‎ 相离 d＞r Δ<0‎ ‎2.弦长与切线长的计算方法 ‎(1)弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2(其中d为弦心距)．‎ ‎(2)切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|＝(其中C为圆心)．‎ ‎ 典例](2017·常州模拟)如图，已知圆心坐标为M(，1)的圆M与x轴及直线y＝x均相切，切点分别为A，B，另一圆N与圆M相切，且与x轴及直线y＝x均相切，切点分别为C，D.‎ ‎(1)求圆M与圆N的方程；‎ ‎(2)过点B作MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦长．‎ 解析：(1)由于圆M与∠BOA的两边相切，故M到OA，OB的距离相等，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且直线ON为∠BOA的平分线，因为M(，1)，所以M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，所以圆M的方程为(x－)2＋(y－1)2＝1.‎ 设圆N的半径为r，连接AM，CN，则Rt△OAM∽Rt△OCN，得＝，即＝，解得r＝3，‎ OC＝3，所以圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9.‎ ‎(2)由对称性可知，所求弦长为过点A的MN的平行线被圆N截得的弦长，此弦所在直线的方程为 y＝(x－)，即x－y－＝0，圆心N到该直线的距离d＝＝，‎ 故弦长为2＝.‎ ‎ 类题通法]‎ ‎1．圆上的点到直线的距离的化归思想 ‎(1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数求解．(2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系求解．(3)直接设点，利用方程思想解决．‎ ‎2．数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中是关键点．‎ ‎ 演练冲关]‎ ‎1．(2016·惠州调研)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 解析：两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<<5，所以两圆相交．‎ 答案：B ‎2．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是(　　)‎ A．30 B．18‎ C．6 D．5 解析：由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为＋3＝8，最小距离为－3＝2，故最大距离与最小距离的差为6.‎ 答案：C ‎3．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.‎ 解析：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.‎ 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.‎ ‎(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．‎ ‎(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2.‎ 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则＝，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.‎ 当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，‎ 并整理得7x2＋8x－8＝0，‎ 解得x1,2＝.所以|AB|＝|x2－x1|＝.‎ 当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.‎ 综上，|AB|＝2或|AB|＝.‎ 直线、圆与其他知识的交汇问题 高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线与圆和函数、不等式、平面向量、三角、数列及圆锥曲线等知识交汇，体现命题创新．‎ ‎ 典例]　(2014·高考福建卷)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为(　　)‎ A．5 B．29‎ C．37 D．49‎ 解析：平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD，因圆心C(a，b)∈Ω，且圆C与x轴相切，所以点C在如图所示的线段MN上，线段MN的方程为y＝1(－2≤x≤6)，由图形得，当点C在点N(6,1)处时，‎ a2＋b2取得最大值62＋12＝37，故选C.‎ 答案：C ‎ 类题通法]‎ 对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系，其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化等思想方法．‎ ‎ 演练冲关]‎ ‎1．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点．若圆上一点C满足＝＋，则r＝(　　)‎ A．2 B. C．2 D. 解析：已知＝＋，两边平方化简得·＝－r2，所以cos ∠AOB＝－，所以cos＝，圆心O(0,0)到直线的距离为＝，所以＝，解得r＝.‎ 答案：B ‎2．已知圆O：x2＋y2＝4，若不过原点O的直线l与圆O交于P，Q两点，且满足直线OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为(　　)‎ A．－1或1 B．0或－ C．1 D．－1‎ 解析：设直线l：y＝kx＋b(b≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－4＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，kOP·kOQ＝·＝(k＋)(k＋)＝k2＋kb()＋＝k2＋kb(－)＋＝，由kOP·kOQ＝k2，得＝k2，解得k＝±1，故选A.‎ 答案：A ‎3．在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．‎ 解析：设D(x，y)，由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1，向量＋＋＝(x－1，y＋)，故|＋＋|＝的最大值为圆(x－3)2＋y2＝1上的动点到点(1，－)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心(3,0)到点(1，－)的距离加上圆的半径，即＋1＝1＋.‎ 答案：1＋