高中数学必修1公开课教案1_2_1 函数的概念 第1课时
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
整体设计
教学分析
函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶
段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、
二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习
的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函
数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步
深化和提高.
在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间的依赖关系;同
时,虽然函数概念比较抽象,但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从实际例子中
抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念.
三维目标
1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号 y=f(x)的含义;通过学习函数的概念,培养
学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力;启发学生
运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会数
学表达和交流,发展数学应用意识.
2.掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作
用,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学生学习的积极性.
重点难点
教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.
教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应
关系,甚至认为函数就是函数值.
课时安排
2 课时
教学过程
第 1 课时 函数的概念
导入新课
思路 1.北京时间 2005 年 10 月 12 日 9 时整,万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空,5 天后
圆满完成各项任务并顺利返回.在“神舟”六号飞行期间,我们时刻关注“神舟”六号离我们的距
离 y 随时间 t 是如何变化的,本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究.引出课题.
思路 2.问题:已知函数 y=1,x∈瘙綂
下标 RQ,0,x∈瘙綂
下标 RQ,请用初中所学函数的定义来解释 y 与 x 的函数关系？先让学生回答后,教师指出:这
样解释会显得十分勉强,本节将用新的观点来解释,引出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)给出下列三种对应:(幻灯片)
①一枚炮弹发射后,经过 26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为 845 m,且炮弹距地面的高度
为 h(单位:m)随时间 t(单位:s)变化的规律是 h=130t-5t2.
时间 t 的变化范围是数集 A={t|0≤t≤26},h 的变化范围是数集 B={h|0≤h≤845}.则有对应
f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.
②近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图 1-2-1-1 中的曲线显示了南
极上空臭氧层空洞的面积 S(单位:106 km2)随时间 t(单位:年)从 1991~2001 年的变化情况.
图 1-2-1-1
根据图 1-2-1-1 中的曲线,可知时间 t 的变化范围是数集 A={t|1979≤t≤2001},空臭氧层空洞面
积 S 的变化范围是数集 B={S|0≤S≤26},则有对应:
f:t→S,t∈A,S∈B.
③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.
下表中的恩格尔系数 y 随时间 t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活
质量发生了显著变化.
“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔系数 y 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
根据上表,可知时间 t 的变化范围是数集 A={t|1991≤t≤2001},恩格尔系数 y 的变化范围是数
集 B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应:
f:t→y,t∈A,y∈B.
以上三个对应有什么共同特点？
(2)我们把这样的对应称为函数,请用集合的观点给出函数的定义.
(3)函数的定义域是自变量的取值范围,那么你是如何理解这个“取值范围”的？
(4)函数有意义又指什么？
(5)函数 f:A→B 的值域为 C,那么集合 B=C 吗？
活动：让学生认真思考三个对应,也可以分组讨论交流,引导学生找出这三个对应的本质共性.
解：(1)共同特点是:集合 A、B 都是数集,并且对于数集 A 中的每一个元素 x,在对应关系
f:A→B 下,在数集 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应.
(2)一般地,设 A、B 都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意
一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合
B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A,其中 x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域,函数值
的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
在研究函数时常会用到区间的概念,设 a,b 是两个实数,且 a
a} (a,b］
{x|x≤a} (-∞,a］
{x|x0 时,求 f(a),f(a-1)的值.
活动：
(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范
围,故转化为求使 和 有意义的自变量的取值范围; 有意义,则 x+3≥0,
有意义,则 x+2≠0,转化解由 x+3≥0 和 x+2≠0 组成的不等式组.
(2)让学生回想 f(-3),f( )表示什么含义？f(-3)表示自变量 x=-3 时对应的函数值,f( )表示自
变量 x= 时对应的函数值.分别将-3, 代入函数的对应法则中得 f(-3),f( )的值.
(3)f(a)表示自变量 x=a 时对应的函数值,f(a-1)表示自变量 x=a-1 时对应的函数值.
分别将 a,a-1 代入函数的对应法则中得 f(a),f(a-1)的值.
解：(1)要使函数有意义,自变量 x 的取值需满足 解得-3≤x<-2 或 x>-2,
即函数的定义域是［-3,-2)∪(-2,+∞).
(2)f(-3)= + =-1;
⊆
3x +
2
1
+x
3
2
3x +
2
1
+x 3x +
2
1
+x
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
≠+
≥+
.02
,03
x
x
33- +
23
1
+−
f( )= = .
(3)∵a>0,∴a∈［-3,-2)∪(-2,+∞),
即 f(a),f(a-1)有意义.
则 f(a)= + ;
f(a-1)= = .
点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号 f(x)的理解.求使函数有意义的自变量的取值范
围,通常转化为解不等式组.
f(x)是表示关于变量 x 的函数,又可以表示自变量 x 对应的函数值,是一个整体符号,分开符号
f(x)没有什么意义.符号 f 可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.例如 f(x)=x2-x+5,当 x=2 时,
看作“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去 2,再加上 5;当 x 为某一代数式(或某一个函数
记 号 时 ), 则 左 右 两 边 的 所 有 x 都 用 同 一 个 代 数 式 ( 或 某 一 个 函 数 ) 来 代 替 .
如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,f［g(x)］=［g(x)］2-g(x)+5 等等.
符号 y=f(x)表示变量 y 是变量 x 的函数,它仅仅是函数符号,并不表示 y 等于 f 与 x 的乘积;符
号 f(x)与 f(m)既有区别又有联系,当 m 是变量时,函数 f(x)与函数 f(m)是同一个函数;当 m 是
常数时,f(m)表示自变量 x=m 对应的函数值,是一个常量.
已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即:
(1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R.
(2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果 f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
(4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实
数集合(即求各部分定义域的交集).
(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
变式训练
1.求函数 y= 的定义域.
答案：{x|x≤1,且 x≠-1}.
点评：本题容易错解：化简函数的解析式为 y=x+1 ,得函数的定义域为{x|x≤1}.其原
因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数
的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前时,不要化简解析式.
2.2007 山东滨州二模,理 1 若 f(x)= 的定义域为 M,g(x)=|x|的定义域为 N,令全集 U=R,则
M∩N 等于( )
A.M B.N C. M D. N
分析:由题意得 M={x|x>0},N=R,则 M∩N={x|x>0}=M.
答案：A
3.已知函数 f(x)的定义域是［-1,1］,则函数 f(2x-1)的定义域是________.
3
2
23
2
133
2
+
++
2
33
8
3 +
3a +
2
1
+a
21
131-a +−++
a 1
12 +++
aa
xx
x −−+
+
11
)1( 2
x-1-
x
1
分析:要使函数 f(2x-1)有意义,自变量 x 的取值需满足-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1.
答案：［0,1］
思路 2
1.2007 湖北武昌第一次调研,文 14 已知函数 f(x)= ,那么 f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )
+f(4)+f( )=________.
活动：
观察所求式子的特点,引导学生探讨 f(a)+f( )的值.
解法一：原式= = +
= .
解法二：由题意得 f(x)+f( )= = =1.
则原式= +1+1+1= .
点评：本题主要考查对函数符号 f(x)的理解.对于符号 f(x),当 x 是一个具体的数值时,相应地
f(x)也是一个具体的函数值.本题没有求代数式中的各个函数值,而是看到代数式中含有
f(x)+f( ),故先探讨 f(x)+f( )的值,从而使问题简单地获解.求含有多个函数符号的代数式值
时,通常不是求出每个函数值,而是观察这个代数式的特 ?找到规律再求解.
受思维定势的影响,本题很容易想到求出每个函数值来求解,虽然可行,但是这样会浪费时间,
得不偿失.其原因是解题前没有观察思考,没有注意经验的积累.
变式训练
1.已知 a、b∈N*,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则 =_________.分析:令
a=x,b=1(x∈N*),
则有 f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x),
即有 =2(x∈N*).
所以,原式= =4012.
答案：4012
2.2007 山 东 蓬 莱 一 模 , 理 13 设 函 数 f(n)=k(k∈N*),k 是 π 的 小 数 点 后 的 第 n 位 数
2
2
1 x
x
+ 2
1
3
1
4
1
a
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)4
1(1
)4
1(
41
4
)3
1(1
)3
1(
31
3
)2
1(1
)2
1(
21
2
11
1
+
+++
+
+++
+
++++ 2
1
17
1
17
16
10
1
10
9
5
1
5
4 +++++
2
7
x
1
2
2
2
2
)1(1
)1(
1
x
x
x
x
+
++ 22
2
1
1
1 xx
x
+++
2
1
2
7
x
1
x
1
)2006(
)2007(
)2(
)3(
)1(
)2(
f
f
f
f
f
f +++
)(
)1(
xf
xf +
2006
222 ++
字,π=3.1415926535…,则 等于________.
分析:由题意得 f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…,
则有 =1.
答案：1
2.2007 山东济宁二模,理 10 已知 A={a,b,c},B={-1,0,1},函数 f:A→B 满足 f(a)+f(b)+f(c)=0,则
这样的函数 f(x)有( )
A.4 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个
活动：学生思考函数的概念,什么是不同的函数.定义域和值域确定后,不同的对应法则就是不
同的函数,因此对 f(a),f(b),f(c)的值分类讨论,注意要满足 f(a)+f(b)+f(c)=0.
解：当 f(a)=-1 时,
则 f(b)=0,f(c)=1 或 f(b)=1,f(c)=0,
即此时满足条件的函数有 2 个;
当 f(a)=0 时,
则 f(b)=-1,f(c)=1 或 f(b)=1,f(c)=-1 或 f(b)=0,f(c)=0,
即此时满足条件的函数有 3 个;
当 f(a)=1 时,
则 f(b)=0,f(c)=-1 或 f(b)=-1,f(c)=0,
即此时满足条件的函数有 2 个.
综上所得,满足条件的函数共有 2+3+2=7(个).
故选 C.
点评：本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数.
变式训练
若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析
式为 y=x2,值域是{1,4}的“同族函数”共有( )
A.9 个 B.8 个 C.5 个 D.4 个
分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有
1 个绝对值为 1 的实数和绝对值为 2 的实数.
令 x2=1,得 x=±1;令 x2=4,得 x=±2.
所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2},
{-1,-2,2},{1,-1,-2,2},则“同族函数”共有 9 个.
答案：A
知能训练
1.2007 学年度山东淄博高三第二次摸底考试,理 16 已知函数 f(x)满足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,
则
=______.
解：∵f(p+q)=f(p)f(q),
∴f(x+x)=f(x)f(x),即 f2(x)=f(2x).
令 q=1,得 f(p+1)=f(p)f(1),∴ =f(1)=3.
[ ]{ }
100
)10(fff
[ ]{ }
100
)10(fff
)9(
)10()5(
)7(
)8()4(
)5(
)6()3(
)3(
)4()2(
)1(
)2()1( 22222
f
ff
f
ff
f
ff
f
ff
f
ff +++++++++
)(
)1(
pf
pf +
∴原式= =2(3+3+3+3+3)=30.
答案：30
2.2006 第 十 七 届 “ 希 望 杯 ” 全 国 数 学 邀 请 赛 ( 高 一 ) 第 一 试 ,2 若 f(x)= 的 定 义 域 为
A,g(x)=f(x+1)-f(x)的定义域为 B,那么( )
A.A∪B=B B.A B C.A B D.A∩B=
分析:由题意得 A={x|x≠0},B={x|x≠0,且 x≠-1}.则 A∪B=A,则 A 错;A∩B=B,则 D 错;由于
BA,则 C 错,B 正确.
答案：B
拓展提升
问题:已知函数 f(x)=x2+1,x∈R.
(1)分别计算 f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值.
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.
活动：让学生探求 f(x)-f(-x)的值.分析(1)中各值的规律,归纳猜想出结论,再用解析式证明.
解：(1)f(1)-f(-1)=(12+1)-［(-1)2+1］=2-2=0;
f(2)-f(-2)=(22+1)-［(-2)2+1］=5-5=0;
f(3)-f(-3)=(32+1)-［(-3)2+1］=10-10=0.
(2)由(1)可发现结论:对任意 x∈R,有 f(x)=f(-x).证明如下:
由题意得 f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x).
∴对任意 x∈R,总有 f(x)=f(-x).
课堂小结
本节课学习了:函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号 f(x)的理解.
作业
课本 P24,习题 1.2A 组 1、5.
设计感想
本节教学中,在归纳函数的概念时,本节设计运用了大量的实例,如果不借助于信息技术,那么
会把时间浪费在实例的书写上,会造成课时不足即拖堂现象.本节重点设计了函数定义域的求
法,而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习.由于函数是高中数学的重点内容之一,也
是高考的重点和热点,因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展,以满足高考的需要.
(设计者：高建勇)
)9(
)10(2
)7(
)8(2
)5(
)6(2
)3(
)4(2
)1(
)2(2
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f ++++
x
1
⊆ ∅
