高考数学真题专题归纳专题06三角函数及解三角形含解析理

高考数学真题专题归纳专题06三角函数及解三角形含解析理

专题06 三角函数及解三角形 ‎【2020年】‎ ‎1.（2020·新课标Ⅰ）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图可得：函数图象过点，‎ 将它代入函数可得：‎ 又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，‎ 所以，解得：‎ 所以函数的最小正周期为 ‎2.（2020·新课标Ⅰ）已知，且，则（ ）‎ A B. ‎ 27‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，得，‎ 即，解得或（舍去），‎ 又.‎ ‎3.（2020·新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（ ）‎ A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，，选项B错误；‎ 当时，，选项A错误；‎ 由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；‎ ‎4.（2020·新课标Ⅱ）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设球的半径为，则，解得：.‎ 设外接圆半径为，边长为， ‎ 是面积为的等边三角形，‎ ‎，解得：，，‎ 27‎ 球心到平面的距离.‎ ‎5.（2020·新课标Ⅲ）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】在中，，，‎ 根据余弦定理：‎ 可得 ，即 由 故.‎ ‎6.（2020·新课标Ⅲ）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）‎ A. –2 B. –1 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，‎ 令，则，整理得，解得，即.‎ ‎7.（2020·山东卷）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）‎ 27‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BC ‎【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,‎ 当时，，‎ 解得：，‎ 即函数的解析式为：‎ ‎.‎ 而 ‎8.（2020·北京卷）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．‎ ‎【答案】（均可）‎ ‎【解析】因为，‎ 所以，解得，故可取.‎ ‎9.（2020·山东卷）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．‎ 27‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，由题意，，所以，‎ 因为,所以，‎ 因，所以，‎ 因为与圆弧相切于点，所以，‎ 即为等腰直角三角形；‎ 在直角中，，，‎ 因为，所以，‎ 解得；‎ 等腰直角面积为；‎ 扇形的面积，‎ 所以阴影部分的面积为.‎ 27‎ ‎10.（2020·浙江卷）已知，则________；______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎11.（2020·江苏卷）已知 =，则的值是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎12.（2020·江苏卷）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时 故答案为：‎ ‎13.（2020·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：‎ 27‎ 上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设圆心到直线距离为，则 所以 令（负值舍去）‎ 当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，‎ ‎14.（2020·新课标Ⅰ）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，，‎ 由勾股定理得，‎ 同理得，，‎ 在中，，，，‎ 27‎ 由余弦定理得，‎ ‎，‎ 在中，，，，‎ 由余弦定理得.‎ ‎【2019年】‎ ‎1．【2019·全国Ⅰ卷】函数f(x)=在的图像大致为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．‎ ‎2．【2019·全国Ⅰ卷】关于函数有下述四个结论：‎ ‎①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（，）单调递增 ‎③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2‎ 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④‎ C．①④ D．①③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 27‎ 为偶函数，故①正确．‎ 当时，，它在区间单调递减，故②错误．‎ 当时，，它有两个零点：；当时，‎ ‎，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．‎ 当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．‎ 综上所述，①④正确，故选C．‎ ‎3．【2019·全国Ⅱ卷】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是 A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| ‎ C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；‎ 因为，周期为，排除C；‎ 作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；‎ 作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，‎ 故选A．‎ 图1‎ 27‎ 图2‎ 图3‎ ‎4．【2019·全国Ⅱ卷】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，，又，，又，，故选B．‎ ‎5．【2019·全国Ⅲ卷】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：‎ ‎①在（）有且仅有3个极大值点 ‎②在（）有且仅有2个极小值点 ‎③在（）单调递增 ‎④的取值范围是[)‎ 27‎ 其中所有正确结论的编号是 A．①④ B．②③‎ C．①②③ D．①③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】①若在上有5个零点，可画出大致图象，‎ 由图1可知，在有且仅有3个极大值点.故①正确；‎ ‎②由图1、2可知，在有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；‎ ‎④当=sin（）=0时，=kπ（k∈Z），所以，‎ 因为在上有5个零点，‎ 所以当k=5时，，当k=6时，，解得，‎ 故④正确.‎ ‎③函数=sin（）的增区间为：，.‎ 取k=0，‎ 27‎ 当时，单调递增区间为，‎ 当时，单调递增区间为，‎ 综上可得，在单调递增.故③正确.‎ 所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.‎ ‎6．【2019·天津卷】已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵为奇函数，∴；‎ 又∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴，故选C.‎ ‎7．【2019·北京卷】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数，周期为.‎ ‎8．【2019·全国Ⅱ卷】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由余弦定理得，所以，即 27‎ ‎，‎ 解得（舍去），‎ 所以，‎ ‎9．【2019·江苏卷】已知，则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，‎ 解得，或.‎ ‎，‎ 当时，上式 当时，上式=‎ 综上，‎ ‎10．【2019·浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．‎ 27‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而,‎ ‎，，所以.‎ ‎.‎ ‎【2018年】‎ ‎1．【2018·全国Ⅲ卷】若，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】.故选B.‎ ‎2．【2018·全国卷II】若在是减函数，则的最大值是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，‎ 所以由得，‎ 27‎ 因此，从而的最大值为，‎ 故选A.‎ ‎3．【2018·天津】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 ‎【答案】A ‎【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为.‎ 则函数的单调递增区间满足，即，‎ 令可得一个单调递增区间为.‎ 函数的单调递减区间满足：，即，‎ 令可得一个单调递减区间为：.‎ 故选A.‎ ‎4．【2018·浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 27‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A，B；‎ 因为时，，所以排除选项C，故选D.‎ ‎5．【2018·全国Ⅱ】在中，，，，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为 所以，故选A.‎ ‎6．【2018·全国Ⅲ】的内角的对边分别为，，，若 27‎ 的面积为，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可知，所以，‎ 由余弦定理，得，因为，所以，故选C.‎ ‎7．【2018·浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．‎ ‎【答案】，3‎ ‎【解析】由正弦定理得，所以 由余弦定理得（负值舍去）.‎ ‎8．【2018·全国Ⅰ】已知函数，则的最小值是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，‎ 所以当时，函数取得最小值，此时，‎ 27‎ 所以，故答案是.‎ ‎9．【2018·北京卷】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，‎ 所以，‎ 因为，所以当时，ω取最小值为.‎ ‎10．【2018·全国Ⅲ】函数在的零点个数为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，由题可知，或，解得，或，故有3个零点.‎ ‎11．【2018·江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，所以，‎ 因为，所以 ‎【2017年】‎ ‎1．【2017·全国Ⅰ】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是 A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 27‎ 个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.‎ ‎2．【2017·全国Ⅲ】设函数，则下列结论错误的是 A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 ‎ D．在(，)单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确；‎ 函数图象的对称轴为，即，取，可得y=f(x)的图象关于直线对称，选项B正确；‎ ‎，函数的零点满足，即，取，可得的一个零点为，选项C正确；‎ 27‎ 当时，，函数在该区间内不单调，选项D错误.‎ 故选D.‎ ‎3．【2017·天津卷】设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则 A．， B．， ‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，其中，所以，‎ 又，所以，所以，，‎ 由得，故选A．‎ ‎4．【2017·山东卷】在中，角A，B，C的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，‎ 所以，‎ 故选A.‎ ‎5．【2017·浙江卷】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取BC中点E，由题意：，‎ 27‎ ‎△ABE中，，∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴，‎ 解得或（舍去）．‎ 综上可得，△BCD面积为，．‎ ‎6．【2017·全国Ⅱ】函数()的最大值是 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】化简三角函数的解析式：‎ ‎，‎ 由自变量的范围：可得：，‎ 当时，函数取得最大值1.‎ ‎7．【2017·北京卷】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，（或），‎ 所以.‎ ‎8．【2018·全国Ⅱ】已知，，则__________．‎ 27‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，，所以 所以，‎ 因此 ‎9．【2017·江苏卷】若则 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．故答案为．‎ ‎【2016年】‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】已知函数 为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )‎ ‎（A）11        （B）9     （C）7        （D）5‎ ‎【答案】B ‎【解析】 因为为的零点，为图像的对称轴，所以，即，所以，又因为在单调，所以，即，则的最大值为9.故选B.‎ ‎2.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )‎ ‎（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 ‎（C）向左平行移动个单位长度 　（D）向右平行移动个单位长度 ‎【答案】D 27‎ ‎【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.‎ ‎3.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．‎ ‎4.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，‎ 且，故选D.‎ ‎5.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.‎ 27‎ ‎6.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由，得或，所以，故选A．‎ ‎7.【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（ ）‎ A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 ‎【答案】B ‎【解析】，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．‎ ‎8.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）‎ A.，的最小值为B. ，的最小值为 C.，的最小值为D.，的最小值为 ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.‎ ‎9.【2016年高考四川理数】= .‎ ‎【答案】‎ 27‎ ‎【解析】由二倍角公式得 ‎10.【2016高考新课标2理数】的内角的对边分别为，若，，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.‎ ‎11.【2016高考浙江理数】已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则A=______，b=________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】，所以 ‎12.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向 右平移_____________个单位长度得到．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，＝‎ ‎，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平 移个单位长度得到．‎ ‎13.【2016高考山东理数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（ ）‎ ‎（A） （B）π （C） （D）2π 27‎ ‎【答案】B ‎【解析】,故最小正周期,故选B.‎ ‎14.【2016高考天津理数】在△ABC中，若,BC=3， ,则AC= （ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由余弦定理得,选A.‎ ‎15.【2016高考江苏卷】定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 ▲ .‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由，因为，所以共7个 ‎16.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 ▲ .‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】，又，因此 即最小值为8.‎ ‎ ‎ 27‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 27‎