2020高中数学 第一章 三角函数 1

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2020高中数学 第一章 三角函数 1

第1课时 公式二、公式三和公式四 学习目标:1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法.2.能够准确记忆公式二、公式三和公式四.(重点、易混点)3.掌握公式二、公式三和公式四,并能灵活应用.(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1.公式二 ‎(1)角π+α与角α的终边关于原点对称.如图131所示.‎ 图131‎ ‎(2)公式:sin(π+α)=-sin_α,‎ cos(π+α)=-cos_α,‎ tan(π+α)=tan_α.‎ ‎2.公式三 ‎(1)角-α与角α的终边关于x轴对称.如图132所示.‎ 图132‎ ‎(2)公式:sin(-α)=-sin_α,‎ cos(-α)=cos_α,‎ tan(-α)=-tan_α.‎ ‎3.公式四 ‎(1)角π-α与角α的终边关于y轴对称.如图133所示.‎ 图133‎ ‎(2)公式:sin(π-α)=sin_α,‎ cos(π-α)=-cos_α,‎ tan(π-α)=-tan_α.‎ 思考:(1)诱导公式中角α只能是锐角吗?‎ 7‎ ‎(2)诱导公式一~四改变函数的名称吗?‎ ‎[提示] (1)诱导公式中角α可以是任意角,要注意正切函数中要求α≠kπ+,k∈Z.‎ ‎(2)诱导公式一~四都不改变函数名称.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1.思考辨析 ‎(1)公式二~四对任意角α都成立.(  )‎ ‎(2)由公式三知cos[-(α-β)]=-cos(α-β).(  )‎ ‎(3)在△ABC中,sin(A+B)=sin C.(  )‎ ‎[解析] (1)错误,关于正切的三个公式中α≠kπ+,k∈Z.‎ ‎(2)由公式三知cos[-(α-β)]=cos(α-β),‎ 故cos[-(α-β)]=-cos(α-β)是不正确的.‎ ‎(3)因为A+B+C=π,所以A+B=π-C,‎ 所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)√‎ ‎2.已知tan α=3,则tan(π+α)=________.‎ ‎3 [tan(π+α)=tan α=3.]‎ ‎3.求值:(1)sin=________.‎ ‎(2)cos=________.‎ ‎(1) (2)- [(1)sin=sin=sin=.‎ ‎(2)cos=cos=cos=-cos=-.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 给角求值问题 ‎ 求下列各三角函数值:‎ ‎(1)sin 1 320°;(2)cos;(3)tan(-945°). ‎ ‎ [解] (1)法一:sin 1 320°=sin(3×360°+240°)=sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-.‎ 法二:sin 1 320°=sin(4×360°-120°)=sin(-120°)‎ 7‎ ‎=-sin(180°-60°)=-sin 60°=-.‎ ‎(2)法一:cos=cos ‎=cos=cos=-cos=-.‎ 法二:cos=cos ‎=cos=-cos=-.‎ ‎(3)tan(-945°)=-tan 945°=-tan(225°+2×360°)‎ ‎=-tan 225°=-tan(180°+45°)=-tan 45°=-1.‎ ‎[规律方法] 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化;‎ (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角;‎ (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角;‎ (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.计算:(1)cos+cos+cos+cos;‎ ‎(2)tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin(-606°).‎ ‎[解] (1)原式=+ ‎=+ ‎=+=0.‎ ‎(2)原式=tan 10°+tan(180°-10°)+sin(5×360°+66°)-sin[(-2)×360°+114°]‎ ‎=tan 10°-tan 10°+sin 66°-sin(180°-66°)‎ ‎=sin 66°-sin 66°=0.‎ 给值(式)求值问题 ‎ (1)已知sin(α-360°)-cos(180°-α)=m,则sin(180°+α)·cos(180°-α)等于(  )‎ 7‎ A.         B. C. D.- ‎(2)已知cos(α-75°)=-,且α为第四象限角,求sin(105°+α)的值. ‎ ‎ [思路探究] (1) ‎→ ‎(2)→‎ → ‎(1)A [(1)sin(α-360°)-cos(180°-α)‎ ‎=sin α+cos α=m,‎ sin(180°+α)cos(180°-α)=sin αcos α ‎==.]‎ ‎(2)∵cos(α-75°)=-<0,且α为第四象限角,‎ ‎∴sin(α-75°)=- ‎=-=-,‎ ‎∴sin(105°+α)=sin[180°+(α-75°)]‎ ‎=-sin(α-75°)=.‎ 母题探究:1.例2(2)条件不变,求cos(255°-α)的值.‎ ‎[解] cos(255°-α)=cos[180°-(α-75°)]‎ ‎=-cos(α-75°)=.‎ ‎2.将例2(2)的条件“cos(α-75°)=-”改为“tan(α-75°)=-‎5”‎,其他条件不变,结果又如何?‎ ‎[解] 因为tan(α-75°)=-5<0,且α为第四象限角,‎ 所以α-75°是第四象限角.‎ 由 解得或 (舍)‎ 所以sin(105°+α)=sin[180°+(α-75°)]‎ ‎=-sin(α-75°)=.‎ 7‎ ‎[规律方法] 解决条件求值问题的两技巧 (1)寻找差异:解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.‎ (2)转化:可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.‎ 提醒:设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.‎ 利用诱导公式化简问题 ‎[探究问题]‎ ‎1.利用诱导公式化简sin(kπ+α)(其中k∈Z)时,化简结果与k是否有关?‎ 提示:有关.因为k是奇数还是偶数不确定.‎ 当k是奇数时,即k=2n+1(n∈Z),sin(kπ+α)=sin(π+α)=-sin α;‎ 当k是偶数时,即k=2n(n∈Z),sin(kπ+α)=sin α.‎ ‎2.利用诱导公式化简tan(kπ+α)(其中k∈Z)时,化简结果与k是否有关?‎ 提示:无关.根据公式tan(π+α)=tan α可知tan(kπ+α)=tan α.(其中k∈Z)‎ ‎ 设k为整数,化简:‎ .‎ ‎[思路探究] 本题常用的解决方法有两种:‎ ‎①为了便于运用诱导公式,必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论;②观察式子结构,kπ-α+kπ+α=2kπ,(k+1)π+α+(k-1)π-α=2kπ,可使用配角法.‎ ‎[解] 法一:(分类讨论)当k为偶数时,设k=‎2m(m∈Z),则原式====-1;‎ 当k为奇数时,设k=‎2m+1(m∈Z),同理可得原式=-1.‎ 法二:(配角法)由于kπ-α+kπ+α=2kπ,(k+1)π+α+(k-1)π-α=2kπ,故cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α),sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α),‎ sin(kπ-α)=-sin(kπ+α).‎ 所以原式==-1.‎ ‎[规律方法] 三角函数式化简的常用方法 (1)合理转化:①将角化成2kπ±α,kπ±α,k∈Z的形式.‎ ‎②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.‎ (2)切化弦:一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.‎ 7‎ 提醒:注意分类讨论思想的应用.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2.化简:(1);‎ ‎(2). ‎ ‎ [解] (1)原式===-tan α.‎ ‎(2)原式 ‎= ‎= ‎==-1.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1.tan等于(  )‎ A.-        B. C.- D. C [tan=tan=tan ‎=tan=-tan=-.]‎ ‎2.如果α,β满足α+β=π,那么下列式子中正确的个数是(  )‎ ‎①sin α=sin β;②sin α=-sin β;③cos α=-cos β;④cos α=cos β;⑤tan α=-tan β.‎ A.1     B.2 ‎ C.3     D.4‎ C [因为α+β=π,所以sin α=sin(π-β)=sin β,‎ 故①正确,②错误;‎ cos α=cos(π-β)=-cos β,‎ 故③正确,④错误;‎ tan α=tan(π-β)=-tan β,⑤正确.故选C.]‎ 7‎ ‎3.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,那么cos(α-π)的值是(  ) ‎ A. B.- C.± D. B [因为sin(π+α)=-sin α=,所以sin α=-.‎ 又α是第四象限角,所以cos α=,‎ 所以cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-.]‎ ‎4.的值等于________.‎ -2 [原式= ‎= ‎===-2.]‎ ‎5.化简(1);‎ ‎(2). ‎ ‎ [解] (1) ‎= ‎==-cos2α.‎ ‎(2) ‎==-cos α.‎ 7‎
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