2013年天津市高考数学试卷(文科)

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2013年天津市高考数学试卷(文科)

‎2013年天津市高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.‎ ‎1.(5分)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=(  )‎ A.(﹣∞,2] B.[1,2] C.[﹣2,2] D.[﹣2,1]‎ ‎2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=y﹣2x的最小值为(  )‎ A.﹣7 B.﹣4 C.1 D.2‎ ‎3.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为(  )‎ A.7 B.6 C.5 D.4‎ ‎4.(5分)设a,b∈R,则“(a﹣b)a2<0”是“a<b”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.(5分)已知过点P(2,2)的直线与圆(x﹣1)2+y2=5相切,且与直线ax﹣y+1=0垂直,则a=(  )‎ A. B.1 C.2 D.‎ ‎6.(5分)函数f(x)=sin(2x﹣)在区间[0,]上的最小值是(  )‎ A.﹣1 B.﹣ C. D.0‎ ‎7.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数a满足f(log2a)+f(a)≤2f(1),则a的取值范围是(  )‎ A. B.[1,2] C. D.(0,2]‎ ‎8.(5分)设函数f(x)=ex+x﹣2,g(x)=lnx+x2﹣3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则(  )‎ A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a) C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0‎ ‎ ‎ 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.(5分)i是虚数单位.复数(3+i)(1﹣2i)=  .‎ ‎10.(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为  .‎ ‎11.(5分)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为  .‎ ‎12.(5分)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若,则AB的长为  .‎ ‎13.(5分)如图,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC,过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为  .‎ ‎14.(5分)设a+b=2,b>0,则的最小值为  .‎ ‎ ‎ 三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(13分)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如表:‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 质量指标(x,y,z)‎ ‎(1,1,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,2)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(1,2,1)‎ 产品编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 质量指标(x,y,z)‎ ‎(1,2,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,1)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(2,1,2)‎ ‎(Ⅰ)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;‎ ‎(Ⅱ)在该样品的一等品中,随机抽取2件产品,‎ ‎(i)用产品编号列出所有可能的结果;‎ ‎(ii)设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.‎ ‎16.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsin A=3csin B,a=3,cos B=.‎ ‎(1)求b的值; ‎ ‎(2)求sin(2B﹣)的值.‎ ‎17.(13分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:EF∥平面A1CD;‎ ‎(Ⅱ)证明:平面A1CD⊥平面A1ABB1;‎ ‎(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.‎ ‎18.(13分)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左,右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若=8,求k的值.‎ ‎19.(14分)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且﹣2S2,S3,4S4成等差数列.‎ ‎(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ) 证明.‎ ‎20.(14分)设a∈[﹣2,0],已知函数 ‎(Ⅰ) 证明f(x)在区间(﹣1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;‎ ‎(Ⅱ) 设曲线y=f(x)在点Pi(xi,f(xi))(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x1x2x3≠0,证明.‎ ‎ ‎ ‎2013年天津市高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.‎ ‎1.(5分)(2013•天津)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=(  )‎ A.(﹣∞,2] B.[1,2] C.[﹣2,2] D.[﹣2,1]‎ ‎【分析】先化简集合A,解绝对值不等式可求出集合A,然后根据交集的定义求出A∩B即可.‎ ‎【解答】解:∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}‎ ‎∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1,x∈R}={x|﹣2≤x≤1}‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2013•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=y﹣2x的最小值为(  )‎ A.﹣7 B.﹣4 C.1 D.2‎ ‎【分析】先根据条件画出可行域,设z=y﹣2x,再利用几何意义求最值,将最小值转化为y轴上的截距最小,只需求出直线z=y﹣2x,过可行域内的点B(5,3)时的最小值,从而得到z最小值即可.‎ ‎【解答】解:设变量x、y满足约束条件 ,‎ 在坐标系中画出可行域三角形,‎ 平移直线y﹣2x=0经过点A(5,3)时,y﹣2x最小,最小值为:﹣7,‎ 则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2013•天津)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为(  )‎ A.7 B.6 C.5 D.4‎ ‎【分析】利用循环结构可知道需要循环4次方可得到S←2,因此输出的n←4.‎ ‎【解答】解:由程序框图可知:S=2=0+(﹣1)1×1+(﹣1)2×2+(﹣1)3×3+(﹣1)4×4,‎ 因此当n=4时,S←2,满足判断框的条件,故跳出循环程序.‎ 故输出的n的值为4.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2013•天津)设a,b∈R,则“(a﹣b)a2<0”是“a<b”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】通过举反例可得“a<b”不能推出“(a﹣b)a2<0”,由“(a﹣b)a2<0”能推出“a<b”,从而得出结论.‎ ‎【解答】解:由“a<b”如果a=0,则(a﹣b)a2=0,不能推出“(a﹣b)a2<0”,故必要性不成立.‎ 由“(a﹣b)a2<02”可得a2>0,所以a<b,故充分性成立.‎ 综上可得“(a﹣b)a2<0”是a<b的充分也不必要条件,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2013•天津)已知过点P(2,2)的直线与圆(x﹣1)2+y2=5相切,且与直线ax﹣y+1=0垂直,则a=(  )‎ A. B.1 C.2 D.‎ ‎【分析】由题意判断点在圆上,求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率,然后求出a的值即可.‎ ‎【解答】解:因为点P(2,2)满足圆(x﹣1)2+y2=5的方程,所以P在圆上,‎ 又过点P(2,2)的直线与圆(x﹣1)2+y2=5相切,且与直线ax﹣y+1=0垂直,‎ 所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行,‎ 所以直线ax﹣y+1=0的斜率为:a==2.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2013•天津)函数f(x)=sin(2x﹣)在区间[0,]上的最小值是(  )‎ A.﹣1 B.﹣ C. D.0‎ ‎【分析】由题意,可先求出2x取值范围,再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值.‎ ‎【解答】解:由题意x∈,得2x∈[﹣,],‎ ‎∴∈[,1]‎ ‎∴函数在区间的最小值为.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2013•天津)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数a满足f(log2a)+f(a)≤2f(1),则a的取值范围是(  )‎ A. B.[1,2] C. D.(0,2]‎ ‎【分析】由偶函数的性质将f(log2a)+f(a)≤2f(1)化为:f(log2a)≤f(1),再由f(x)的单调性列出不等式,根据对数函数的性质求出a的取值范围.‎ ‎【解答】解:因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,‎ 所以f(a)=f(﹣log2a)=f(log2a),‎ 则f(log2a)+f(a)≤2f(1)为:f(log2a)≤f(1),‎ 因为函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,‎ 所以|log2a|≤1,解得≤a≤2,‎ 则a的取值范围是[,2],‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2013•天津)设函数f(x)=ex+x﹣2,g(x)=lnx+x2﹣3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则(  )‎ A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a) C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0‎ ‎【分析】先判断函数f(x),g(x)在R上的单调性,再利用f(a)=0,g(b)=0判断a,b的取值范围即可.‎ ‎【解答】解:①由于y=ex及y=x﹣2关于x是单调递增函数,∴函数f(x)=ex+x﹣2在R上单调递增,‎ 分别作出y=ex,y=2﹣x的图象,∵f(0)=1+0﹣2<0,f(1)=e﹣1>0,f(a)=0,∴0<a<1.‎ 同理g(x)=lnx+x2﹣3在R+上单调递增,g(1)=ln1+1﹣3=﹣2<0,g()=,g(b)=0,∴.‎ ‎∴g(a)=lna+a2﹣3<g(1)=ln1+1﹣3=﹣2<0,‎ f(b)=eb+b﹣2>f(1)=e+1﹣2=e﹣1>0.‎ ‎∴g(a)<0<f(b).‎ 故选A.‎ ‎ ‎ 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.(5分)(2013•天津)i是虚数单位.复数(3+i)(1﹣2i)= 5﹣5i .‎ ‎【分析】利用复数的运算法则即可得出.‎ ‎【解答】解:(3+i)(1﹣2i)=3﹣6i+i﹣2i2=5﹣5i.‎ 故答案为5﹣5i.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2013•天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为  .‎ ‎【分析】设出正方体棱长,利用正方体的体对角线就是外接球的直径,通过球的体积求出正方体的棱长.‎ ‎【解答】解:因为正方体的体对角线就是外接球的直径,‎ 设正方体的棱长为a,所以正方体的体对角线长为:a,正方体的外接球的半径为:,‎ 球的体积为:,‎ 解得a=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2013•天津)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为  .‎ ‎【分析】利用抛物线的标准方程y2=8x,可得,故其准线方程为x=﹣2.由题意可得双曲线的一个焦点为(﹣2,0),即可得到c=2.再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2,得到a=1,再利用b2=c2﹣a2可得b2.进而得到双曲线的方程.‎ ‎【解答】解:由抛物线y2=8x,可得,故其准线方程为x=﹣2.‎ 由题意可得双曲线的一个焦点为(﹣2,0),∴c=2.‎ 又双曲线的离心率为2,∴=2,得到a=1,∴b2=c2﹣a2=3.‎ ‎∴双曲线的方程为.‎ 故答案为.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2013•天津)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若,则AB的长为  .‎ ‎【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出.‎ ‎【解答】解:∵,.‎ ‎∴==‎ ‎=+﹣==1,‎ 化为,‎ ‎∵,∴.‎ 故答案为.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2013•天津)如图,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC,过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为  .‎ ‎【分析】连结圆心O与A,说明OA⊥AE,利用切割线定理求出AE,通过余弦定理求出∠BAE的余弦值,然后求解BD即可.‎ ‎【解答】解:如图连结圆心O与A,因为过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.所以OA⊥AE,‎ 因为AB=AD=5,BE=4,‎ 梯形ABCD中,AB∥DC,BC=5,‎ 由切割线定理可知:AE2=EB•EC,所以AE==6,‎ 在△ABE中,BE2=AE2+AB2﹣2AB•AEcosα,即16=25+36﹣60cosα,‎ 所以cosα=,AB=AD=5,‎ 所以BD=2×ABcosα=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2013•天津)设a+b=2,b>0,则的最小值为  .‎ ‎【分析】由题意得代入所求的式子,进行化简后,再对部分式子利用基本不等式求出范围,再由a的范围求出式子的最小值.‎ ‎【解答】解:∵a+b=2,∴,‎ ‎∴=,‎ ‎∵b>0,|a|>0,∴≥1(当且仅当b2=4a2时取等号),‎ ‎∴≥1,‎ 故当a<0时,的最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(13分)(2013•天津)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如表:‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 质量指标(x,y,z)‎ ‎(1,1,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,2)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(1,2,1)‎ 产品编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 质量指标(x,y,z)‎ ‎(1,2,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,1)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(2,1,2)‎ ‎(Ⅰ)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;‎ ‎(Ⅱ)在该样品的一等品中,随机抽取2件产品,‎ ‎(i)用产品编号列出所有可能的结果;‎ ‎(ii)设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.‎ ‎【分析】(Ⅰ)用综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示,则样本的一等品率可求;‎ ‎(Ⅱ)(i)直接用列举法列出在该样品的一等品中,随机抽取2件产品的所有等可能结果;‎ ‎(ii)列出在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4的所有情况,然后利用古典概型概率计算公式求解.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)计算10件产品的综合指标S,如下表:‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ S ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ 其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9共6件,故样本的一等品率为.‎ 从而可估计该批产品的一等品率为0.6;‎ ‎(Ⅱ)(i)在该样本的一等品种,随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},‎ ‎{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},‎ ‎{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9}共15种.‎ ‎(ii)在该样本的一等品种,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7.‎ 则事件B发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共6种.‎ 所以p(B)=.‎ ‎ ‎ ‎16.(13分)(2013•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsin A=3csin B,a=3,cos B=.‎ ‎(1)求b的值; ‎ ‎(2)求sin(2B﹣)的值.‎ ‎【分析】(Ⅰ) 直接利用正弦定理推出bsinA=asinB,结合已知条件求出c,利用余弦定理直接求b的值;‎ ‎(Ⅱ) 利用(Ⅰ)求出B的正弦函数值,然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值,利用两角差的正弦函数直接求解的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,有正弦定理,可得bsinA=asinB,‎ 又bsinA=3csinB,可得a=3c,又a=3,所以c=1.‎ 由余弦定理可知:b2=a2+c2﹣2accosB,,‎ 即b2=32+12﹣2×3×cosB,‎ 可得b=.‎ ‎(Ⅱ)由,可得sinB=,‎ 所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣,‎ sin2B=2sinBcosB=,‎ 所以===.‎ ‎ ‎ ‎17.(13分)(2013•天津)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:EF∥平面A1CD;‎ ‎(Ⅱ)证明:平面A1CD⊥平面A1ABB1;‎ ‎(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.‎ ‎【分析】(I)连接ED,要证明EF∥平面平面A1CD,只需证明EF∥DA1即可;‎ ‎(II)欲证平面平面A1CD⊥平面A1ABB1,即证平面内一直线与另一平面垂直,根据直线与平面垂直的判定定理证得CD⊥面A1ABB1,再根据面面垂直的判定定理得证;‎ ‎(III)先过B作BG⊥AD交A1D于G,利用(II)中结论得出BG⊥面A1CD,从而∠BCG为所求的角,最后在直角△BGC中,求出sin∠BCG即可得出直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.‎ ‎【解答】证明:(I)三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC∥A1C1,AC=A1C1,连接ED,‎ 可得DE∥AC,DE=AC,又F为棱A1C1的中点.∴A1F=DE,A1F∥DE,‎ 所以A1DEF是平行四边形,所以EF∥DA1,‎ DA1⊂平面A1CD,EF⊄平面A1CD,∴EF∥平面A1CD ‎(II)∵D是AB的中点,∴CD⊥AB,‎ 又AA1⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,‎ ‎∴AA1⊥CD,又AA1∩AB=A,‎ ‎∴CD⊥面A1ABB1,又CD⊂面A1CD,‎ ‎∴平面A1CD⊥平面A1ABB1;‎ ‎(III)过B作BG⊥A1D交A1D于G,‎ ‎∵平面A1CD⊥平面A1ABB1,且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D,‎ BG⊥A1D,‎ ‎∴BG⊥面A1CD,‎ 则∠BCG为所求的角,‎ 设棱长为a,可得A1D=,由△A1AD∽△BGD,得BG=,‎ 在直角△BGC中,sin∠BCG==,‎ ‎∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎18.(13分)(2013•天津)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左,右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若=8,求k的值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)先根据椭圆方程的一般形式,令x=c代入求出弦长使其等于,再由离心率为,可求出a,b,c的关系,进而得到椭圆的方程.‎ ‎(Ⅱ)直线CD:y=k(x+1),设C(x1,y1),D(x2,y2),由消去y得,(2+3k2)x2+6k2x+3k2﹣6=0,再由韦达定理进行求解.求得,利用=8,即可求得k的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)根据椭圆方程为.‎ ‎∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为,‎ ‎∴当x=﹣c时,,得y=±,‎ ‎∴=,‎ ‎∵离心率为,∴=,‎ 解得b=,c=1,a=.‎ ‎∴椭圆的方程为;‎ ‎(Ⅱ)直线CD:y=k(x+1),‎ 设C(x1,y1),D(x2,y2),‎ 由消去y得,(2+3k2)x2+6k2x+3k2﹣6=0,‎ ‎∴x1+x2=﹣,x1x2=,又A(﹣,0),B(,0),‎ ‎∴‎ ‎=(x1+,y1)•(﹣x2.﹣y2)+(x2+,y2)•(﹣x1.﹣y1),‎ ‎=6﹣(2+2k2)x1x2﹣2k2(x1+x2)﹣2k2,‎ ‎=6+=8,解得k=.‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)(2013•天津)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且﹣2S2,S3,4S4成等差数列.‎ ‎(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ) 证明.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由题意得2S3=﹣2S2+4S4,变形为S4﹣S3=S2﹣S4,进而求出公比q的值,代入通项公式进行化简;‎ ‎(Ⅱ)根据(Ⅰ)求出,代入再对n分类进行化简,判断出Sn随n的变化情况,再分别求出最大值,再求出的最大值.‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:设等比数列{an}的公比为q,‎ ‎∵﹣2S2,S3,4S4等差数列,‎ ‎∴2S3=﹣2S2+4S4,即S4﹣S3=S2﹣S4,‎ 得2a4=﹣a3,∴q=,‎ ‎∵,∴=;‎ ‎(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得,Sn==1﹣,‎ ‎∴,‎ 当n为奇数时,==,‎ 当n为偶数时,=,‎ ‎∴随着n的增大而减小,‎ 即,且,‎ 综上,有成立.‎ ‎ ‎ ‎20.(14分)(2013•天津)设a∈[﹣2,0],已知函数 ‎(Ⅰ) 证明f(x)在区间(﹣1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;‎ ‎(Ⅱ) 设曲线y=f(x)在点Pi(xi,f(xi))(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x1x2x3≠0,证明.‎ ‎【分析】(Ⅰ)令,.分别求导即可得到其单调性;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:f′(x)在区间(﹣∞,0)内单调递减,在区间内单调递减,在区间内单调递增.‎ 已知曲线y=f(x)在点Pi(xi,f(xi))(i=1,2,3)处的切线相互平行,可知x1,x2,x3互不相等,利用导数的几何意义可得.‎ 不妨x1<0<x2<x3,根据以上等式可得,从而.设g(x)=3x2﹣(a+3)x+a,利用二次函数的单调性可得.‎ 由,解得,于是可得 ‎,通过换元设t=,已知a∈[﹣2,0],可得,‎ 故,即可证明.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)令,.‎ ‎①,由于a∈[﹣2,0],从而当﹣1<x<0时,,‎ 所以函数f1(x)在区间(﹣1,0)内单调递减,‎ ‎②=(3x﹣a)(x﹣1),由于a∈[﹣2,0],所以0<x<1时,;‎ 当x>1时,,即函数f2(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.‎ 综合①②及f1(0)=f2(0),可知:f(x)在区间(﹣1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;‎ ‎(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知:f′(x)在区间(﹣∞,0)内单调递减,在区间内单调递减,在区间内单调递增.‎ 因为曲线y=f(x)在点Pi(xi,f(xi))(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x1,x2,x3互不相等,且.‎ 不妨x1<0<x2<x3,由+a=.‎ 可得,解得,从而.‎ 设g(x)=3x2﹣(a+3)x+a,则.‎ 由,解得,‎ 所以,‎ 设t=,则,‎ ‎∵a∈[﹣2,0],∴,‎ 故,‎ 故.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:minqi5;沂蒙松;qiss;gongjy;sxs123(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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