2009年湖南省高考数学试卷(文科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

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文档介绍

2009年湖南省高考数学试卷(文科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

‎2009年湖南省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1. log‎2‎‎2‎的值为( )‎ A.‎-‎‎2‎ B.‎2‎ C.‎-‎‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎2. 抛物线y‎2‎‎=4x的焦点坐标是( )‎ A.‎(4, 0)‎ B.‎(2, 0)‎ C.‎(1, 0)‎ D.‎‎(‎1‎‎2‎,0)‎ ‎3. 设Sn是等差数列‎{an}‎的前n项和,已知a‎2‎‎=3‎,a‎6‎‎=11‎,则S‎7‎等于( )‎ A.‎13‎ B.‎35‎ C.‎49‎ D.‎‎63‎ ‎4. 如图,D,E,F分别是‎△ABC的边AB,BC,CA的中点,则( )‎ A.AD‎→‎‎+DF‎→‎+CF‎→‎=‎‎0‎‎→‎ B.‎BD‎→‎‎-CF‎→‎+DF‎→‎=‎‎0‎‎→‎ C.AD‎→‎‎+CE‎→‎-CF‎→‎=‎‎0‎‎→‎ D.‎BD‎→‎‎-BE‎→‎-FC‎→‎=‎‎0‎‎→‎ ‎5. 某地政府召集‎5‎家企业的负责人开会,已知甲企业有‎2‎人到会,其余‎4‎家企业各有‎1‎人到会,会上有‎3‎人发言,则这‎3‎人来自‎3‎家不同企业的可能情况的种数为( )‎ A.‎14‎ B.‎16‎ C.‎20‎ D.‎‎48‎ ‎6. 平行六面体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,既与AB共面也与CC‎1‎共面的棱的条数为( )‎ A.‎3‎ B.‎4‎ C.‎5‎ D.‎‎6‎ ‎7. 若函数y=f(x)‎的导函数在区间‎[a, b]‎上是增函数,则函数y=f(x)‎在区间‎[a, b]‎上的图象可能是(        )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8. 设函数f(x)‎在‎(-∞, +∞)‎内有定义,对于给定的正数K,定义函数fK‎(x)=‎f(x),f(x)≤K,‎K,f(x)>K.‎取函数f(x)=‎‎2‎‎-|x|‎,当K=‎‎1‎‎2‎时,函数fK‎(x)‎的单调递增区间为‎(‎         ‎‎)‎ A.‎(-∞, 0)‎ B.‎(0, +∞)‎ C.‎(-∞, -1)‎ D.‎‎(1, +∞)‎ 二、填空题(共7小题,每小题5分,满分35分)‎ ‎9. 某班共‎30‎人,其中‎15‎人喜爱篮球运动,‎10‎人喜爱乒乓球运动,‎8‎人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.‎ ‎10. 若x>0‎,则x+‎‎2‎x的最小值为________.‎ ‎11. 在‎(1+‎x‎)‎‎4‎的展开式中,x的系数为________.‎ ‎12. 一个总体分为A,B两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为‎10‎的样本.已知B层中每个个体被抽到的概率都为‎1‎‎12‎,则总体中的个体数为________.‎ ‎13. 过双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0, b>0)‎的一个焦点作圆x‎2‎‎+y‎2‎=‎a‎2‎的两条切线,切点分别为A、B.若‎∠AOB=‎‎120‎‎∘‎(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为________.‎ ‎14. 在锐角‎△ABC中,BC=1‎,B=2A,则ACcosA的值等于________,AC的取值范围为________.‎ ‎15. 如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若AD‎→‎‎=xAB‎→‎+yAC‎→‎,则x=‎________,y=‎________.‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 三、解答题(共6小题,满分75分)‎ ‎16. 已知向量a‎→‎‎=(sinθ, cosθ-2sinθ)‎,b‎→‎‎=(1, 2)‎.‎ ‎(1)若a‎→‎‎ // ‎b‎→‎,求tanθ的值;‎ ‎(2)若‎|a‎→‎|=|b‎→‎|,0<θ<π,求θ的值.‎ ‎17. 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的‎1‎‎2‎,‎1‎‎3‎,‎1‎‎6‎,现在‎3‎名工人独立地从中任选一个项目参与建设,选择哪个工程是随机的.‎ ‎(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;‎ ‎(2)记X为‎3‎人中选择的项目属于基础设施工程的人数,求X的分布列及数学期望.‎ ‎18. 如图,在正三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,AB=4‎,AA‎1‎=‎‎7‎,点D是BC的中点,点E在AC上,且DE⊥A‎1‎E.‎ ‎(1)证明:平面A‎1‎DE⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎;‎ ‎(2)求直线AD和平面A‎1‎DE所成角的正弦值.‎ ‎19. 已知函数f(x)=x‎3‎+bx‎2‎+cx的导函数的图象关于直线x=2‎对称.‎ ‎(1)求b的值;‎ ‎(2)若f(x)‎在x=t处取得极小值,记此极小值为g(t)‎,求g(t)‎的定义域和值域.‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 ‎20. 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为‎8‎的正方形(记为Q)‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点,过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点,当线段MN的中点落在正方形Q内(包括边界)时,求直线l的斜率的取值范围.‎ ‎21. 对于数列‎{un}‎若存在常数M>0‎,对任意的n∈‎N‎+‎,恒有‎|un+1‎-un|+|un-un‎1‎|+...+|u‎2‎-u‎1‎|≤M则称数列un为B‎-‎数列 ‎(1)首项为‎1‎,公比为‎-‎‎1‎‎2‎的等比数列是否为B-‎数列?请说明理由;‎ ‎(2)设sn是数列‎{xn}‎的前n项和,给出下列两组判断:‎ A组:①数列‎{xn}‎是B-‎数列.      ②数列‎{xn}‎不是B-‎数列.‎ B组  ③数列‎{sn}‎是B-‎数列.      ④数列‎{sn}‎不是B-‎数列 请以其中一组的一个论断条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假,并证明你的结论;‎ ‎(3)若数列‎{an}‎是B‎-‎数列,证明:数列‎{an‎2‎}‎也是B‎-‎数列.‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 参考答案与试题解析 ‎2009年湖南省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1.D ‎2.C ‎3.C ‎4.A ‎5.B ‎6.C ‎7.A ‎8.C 二、填空题(共7小题,每小题5分,满分35分)‎ ‎9.‎‎12‎ ‎10.‎2‎‎2‎.‎ ‎11.‎‎6‎ ‎12.‎‎120‎ ‎13.‎‎2‎ ‎14.‎2‎,‎‎(‎2‎,‎3‎)‎ ‎15.‎1+‎‎3‎‎2‎,‎‎3‎‎2‎ 三、解答题(共6小题,满分75分)‎ ‎16.解:(1)∵ ‎a‎→‎‎ // ‎b‎→‎ ‎∴ ‎2sinθ=cosθ-2sinθ即‎4sinθ=cosθ ‎∴ ‎tanθ=‎‎1‎‎4‎ ‎(2)由‎|a‎→‎|=|b‎→‎|‎ ‎∴ ‎sin‎2‎θ+(cosθ-2sinθ‎)‎‎2‎=5‎ 即‎1-2sin2θ+4sin‎2‎θ=5‎化简得sin2θ+cos2θ=-1‎ 故有sin(2θ+π‎4‎)=-‎‎2‎‎2‎ 又∵ θ∈(0, π)‎∴ ‎‎2θ+π‎4‎∈(π‎4‎, ‎9‎‎4‎π)‎ ‎∴ ‎2θ+π‎4‎=‎5‎‎4‎π或‎2θ+π‎4‎=‎7‎‎4‎π ‎∴ θ=‎π‎2‎或θ=‎3‎‎4‎π ‎17.解:(1)‎3‎名工人独立地从中任选一个项目参与建设 设一次选择基础设施工程、民生工程和产业建设工程依次为事件A、B、C.‎ 则P(A)=‎1‎‎2‎,P(B)=‎1‎‎3‎,P(C)=‎‎1‎‎6‎,‎ 他们选择的项目所属类别互不相同的概率是:‎ A‎3‎‎3‎‎⋅P(A)⋅P(B)⋅P(C)=6×‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎6‎=‎‎1‎‎6‎ ‎(2)由题意知X为‎3‎人中选择的项目属于基础设施工程的人数,‎ X的取值为:‎0‎,‎1‎,‎2‎,‎3‎.‎ P(X=0)=(‎1‎‎3‎‎)‎‎3‎+C‎3‎‎2‎×(‎1‎‎3‎‎)‎‎2‎×‎1‎‎6‎+C‎3‎‎1‎×‎1‎‎3‎×(‎1‎‎6‎‎)‎‎2‎+(‎1‎‎6‎‎)‎‎3‎=‎‎1‎‎8‎‎;‎ P(X=1)=C‎3‎‎1‎×‎1‎‎2‎×[(‎1‎‎3‎‎)‎‎2‎+C‎2‎‎1‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎6‎+(‎1‎‎6‎‎)‎‎2‎]=‎‎3‎‎8‎‎;‎ P(X=2)=C‎3‎‎2‎×(‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎×(‎1‎‎3‎+‎1‎‎6‎)=‎‎3‎‎8‎‎;‎ P(X=3)=(‎1‎‎2‎‎)‎‎3‎=‎‎1‎‎8‎‎.‎ ‎∴ X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎8‎ ‎3‎‎8‎ ‎3‎‎8‎ ‎1‎‎8‎ ‎∴ EX=0×‎1‎‎8‎+1×‎3‎‎8‎+2×‎3‎‎8‎+3×‎1‎‎8‎=‎‎3‎‎2‎.‎ ‎18.解:(1)如图所示,由正三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的性质知AA‎1‎⊥‎平面A‎1‎B‎1‎C‎1‎ 又DE⊂‎平面A‎1‎B‎1‎C‎1‎,‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 所以DE⊥AA‎1‎.‎ 而DE⊥AE.AA‎1‎∩AE=A,‎ 所以DE⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎,‎ 又DE⊂‎平面A‎1‎DE,‎ 故平面A‎1‎DE⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎.‎ ‎(2)过点A做AF垂直A‎1‎E于F,连接DF,‎ 由(1)知:平面A‎1‎DE⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎.‎ 所以AF⊥‎平面A‎1‎DE,‎ 则‎∠ADF即为直线AD和平面A‎1‎DE所成角,‎ 因为DE⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎.‎ 所以DE⊥AC,‎ 而‎△ABC是边长为‎4‎的正三角形,‎ 所以AD=2‎‎3‎,AE=4-CE=4-‎1‎‎2‎CD=3‎,‎ 又因为AA‎1‎=‎‎7‎,‎ 所以A‎1‎E=AA‎1‎‎2‎+AE‎2‎=‎(‎7‎‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎=4‎,‎ AF=AE⋅AA‎1‎A‎1‎E=‎‎3‎‎7‎‎4‎‎,‎ 所以sin∠ADF=AFAD=‎‎21‎‎8‎,‎ 故直线AD和平面A‎1‎DE所成角的正弦值为‎21‎‎8‎ ‎19.解:(1)‎f'(x)=3x‎2‎+2bx+c 因为函数f'(x)‎的图象关于直线x=2‎对称,‎ 所以‎-‎2b‎6‎=2‎,于是b=-6‎ ‎(2)由‎(I)‎知,‎f(x)=x‎3‎-6x‎2‎+cx f'(x)=3x‎2‎-12x+c=3(x-2‎)‎‎2‎+c-12‎ ‎(I)‎当c≥12‎时,f'(x)≥0‎,此时f(x)‎无极值.‎ ‎(II)‎当c<12‎时,f'(x)=0‎有两个互异实根x‎1‎,x‎2‎.‎ 不妨设x‎1‎‎<‎x‎2‎,则x‎1‎‎<2<‎x‎2‎.‎ 当x<‎x‎1‎时,f'(x)>0‎,f(x)‎在区间‎(-∞, x‎1‎)‎内为增函数;‎ 当x‎1‎‎‎x‎2‎时,f'(x)>0‎,f(x)‎在区间‎(x‎2‎, +∞)‎内为增函数.‎ 所以f(x)‎在x=‎x‎1‎处取极大值,在x=‎x‎2‎处取极小值.‎ 因此,当且仅当c<12‎时,函数f(x)‎在x=‎x‎2‎处存在唯一极小值,所以t=x‎2‎>2‎.‎ 于是g(t)‎的定义域为‎(2, +∞)‎.‎ 由f'(t)=3t‎2‎-12t+c=0‎得c=-3t‎2‎+12t.‎ 于是g(t)=f(t)=t‎3‎-6t‎2‎+ct=-2t‎3‎+6‎t‎2‎,t∈(2, +∞)‎.‎ 当t>2‎时,‎g'(t)=-6t‎2‎+12t=6t(2-t)<0‎ 所以函数g(t)‎在区间‎(2, +∞)‎内是减函数,‎ 故g(t)‎的值域为‎(-∞, 8)‎ ‎20.解:(1)设椭圆C的方程为x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎.‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 ‎∵ 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为‎8‎的 正方形,‎ ‎∴ b=c,‎(‎2‎b‎)‎‎2‎=8‎,‎ ‎∴ b=c=2‎,a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎=8‎.‎ ‎∴ x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎.‎ ‎(2)椭圆C的左准线方程为:x=-4‎.∴ P(-4, 0)‎,设直线l的方程为 y=k(x+4)‎‎,M(x‎1‎, y‎1‎)‎,N(x‎2‎, y‎2‎)‎,线段MN的中点G(x‎0‎, y‎0‎)‎.‎ 由y=k(x+4)‎x‎2‎‎+2y‎2‎=8‎化为‎(1+2k‎2‎)x‎2‎+16k‎2‎x+32k‎2‎-8=0‎,①‎ 由‎△=256k‎4‎-4(1+32k‎2‎)(32k‎2‎-8)>0‎,解得‎-‎2‎‎2‎
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