2015年山东省高考数学试卷(理科)

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2015年山东省高考数学试卷(理科)

‎2015年山东省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)‎ ‎1.(5分)已知集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B=(  )‎ A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)‎ ‎2.(5分)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z=(  )‎ A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i ‎3.(5分)要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需要将函数y=sin4x的图象(  )个单位.‎ A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移 ‎4.(5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=(  )‎ A.﹣a2 B.﹣a2 C.a2 D.a2‎ ‎5.(5分)不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|<2的解集是(  )‎ A.(﹣∞,4) B.(﹣∞,1) C.(1,4) D.(1,5)‎ ‎6.(5分)已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=(  )‎ A.3 B.2 C.﹣2 D.﹣3‎ ‎7.(5分)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(  )‎ A. B. C. D.2π ‎8.(5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(  )‎ ‎(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ﹣2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)‎ A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%‎ ‎9.(5分)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(  )‎ A.﹣或﹣ B.﹣或﹣ C.﹣或﹣ D.﹣或﹣‎ ‎10.(5分)设函数f(x)=,则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是(  )‎ A.[,1] B.[0,1] C.[,+∞) D.[1,+∞)‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)‎ ‎11.(5分)观察下列各式:‎ C=40;‎ C+C=41;‎ C+C+C=42;‎ C+C+C+C=43;‎ ‎…‎ 照此规律,当n∈N*时,‎ C+C+C+…+C=   .‎ ‎12.(5分)若“∀x∈[0,],tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为   .‎ ‎13.(5分)执行右边的程序框图,输出的T的值为   .‎ ‎14.(5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则a+b=   .‎ ‎15.(5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎16.(12分)设f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+).‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()=0,a=1,求△ABC面积的最大值.‎ ‎17.(12分)如图,在三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:BD∥平面FGH;‎ ‎(Ⅱ)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.‎ ‎18.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列{bn},满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎19.(12分)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分,若能被5整除,但不能被10整除,得﹣1分,若能被10整除,得1分.‎ ‎(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;‎ ‎(Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX.‎ ‎20.(13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.‎ ‎(i)求||的值;‎ ‎(ii)求△ABQ面积的最大值.‎ ‎21.(14分)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),其中a∈R,‎ ‎(Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)若∀x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2015年山东省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)‎ ‎1.(5分)已知集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B=(  )‎ A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)‎ ‎【分析】求出集合A,然后求出两个集合的交集.‎ ‎【解答】解:集合A={x|x2﹣4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|2<x<4},‎ 则A∩B={x|2<x<3}=(2,3).‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查集合的交集的求法,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z=(  )‎ A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i ‎【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可.‎ ‎【解答】解:=i,则=i(1﹣i)=1+i,‎ 可得z=1﹣i.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查复数的基本运算,基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需要将函数y=sin4x的图象(  )个单位.‎ A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移 ‎【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可.‎ ‎【解答】解:因为函数y=sin(4x﹣)=sin[4(x﹣)],‎ 要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查三角函数的图象的平移,值域平移变换中x的系数是易错点.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=(  )‎ A.﹣a2 B.﹣a2 C.a2 D.a2‎ ‎【分析】由已知可求,,根据=()•=代入可求 ‎【解答】解:∵菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,‎ ‎∴=a2,=a×a×cos60°=,‎ 则=()•==‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算,属于基础试题 ‎ ‎ ‎5.(5分)不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|<2的解集是(  )‎ A.(﹣∞,4) B.(﹣∞,1) C.(1,4) D.(1,5)‎ ‎【分析】运用零点分区间,求出零点为1,5,讨论①当x<1,②当1≤x≤5,③当x>5,分别去掉绝对值,解不等式,最后求并集即可.‎ ‎【解答】解:①当x<1,不等式即为﹣x+1+x﹣5<2,即﹣4<2成立,故x<1;‎ ‎②当1≤x≤5,不等式即为x﹣1+x﹣5<2,得x<4,故1≤x<4;‎ ‎③当x>5,x﹣1﹣x+5<2,即4<2不成立,故x∈∅.‎ 综上知解集为(﹣∞,4).‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式的解法,主要考查运用零点分区间的方法,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=(  )‎ A.3 B.2 C.﹣2 D.﹣3‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).‎ 则A(2,0),B(1,1),‎ 若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,‎ 此时,目标函数为z=2x+y,‎ 即y=﹣2x+z,‎ 平移直线y=﹣2x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为4,满足条件,‎ 若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+1=4,解得a=3,‎ 此时,目标函数为z=3x+y,‎ 即y=﹣3x+z,‎ 平移直线y=﹣3x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件,‎ 故a=2,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(  )‎ A. B. C. D.2π ‎【分析】画出几何体的直观图,利用已知条件,求解几何体的体积即可.‎ ‎【解答】解:由题意可知几何体的直观图如图:旋转体是底面半径为1,高为2的圆柱,挖去一个相同底面高为1的倒圆锥,‎ 几何体的体积为:=.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.画出几何体的直观图是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(  )‎ ‎(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ﹣2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)‎ A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%‎ ‎【分析】由题意P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%,可得P(3<ξ<6)=(95.44%﹣68.26%),即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由题意P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%,‎ 所以P(3<ξ<6)=(95.44%﹣68.26%)=13.59%.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量μ和σ的应用,考查曲线的对称性,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(  )‎ A.﹣或﹣ B.﹣或﹣ C.﹣或﹣ D.﹣或﹣‎ ‎【分析】点A(﹣2,﹣3)关于y轴的对称点为A′(2,﹣3),可设反射光线所在直线的方程为:y+3=k(x﹣2),利用直线与圆相切的性质即可得出.‎ ‎【解答】解:点A(﹣2,﹣3)关于y轴的对称点为A′(2,﹣3),‎ 故可设反射光线所在直线的方程为:y+3=k(x﹣2),化为kx﹣y﹣2k﹣3=0.‎ ‎∵反射光线与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,‎ ‎∴圆心(﹣3,2)到直线的距离d==1,‎ 化为24k2+50k+24=0,‎ ‎∴k=或﹣.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点,考查了计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)设函数f(x)=,则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是(  )‎ A.[,1] B.[0,1] C.[,+∞) D.[1,+∞)‎ ‎【分析】令f(a)=t,则f(t)=2t,讨论t<1,运用导数判断单调性,进而得到方程无解,讨论t≥1时,以及a<1,a≥1,由分段函数的解析式,解不等式即可得到所求范围.‎ ‎【解答】解:令f(a)=t,‎ 则f(t)=2t,‎ 当t<1时,3t﹣1=2t,‎ 由g(t)=3t﹣1﹣2t的导数为g′(t)=3﹣2tln2,‎ 在t<1时,g′(t)>0,g(t)在(﹣∞,1)递增,‎ 即有g(t)<g(1)=0,‎ 则方程3t﹣1=2t无解;‎ 当t≥1时,2t=2t成立,‎ 由f(a)≥1,即3a﹣1≥1,解得a≥,且a<1;‎ 或a≥1,2a≥1解得a≥0,即为a≥1.‎ 综上可得a的范围是a≥.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查分段函数的运用,主要考查函数的单调性的运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)‎ ‎11.(5分)观察下列各式:‎ C=40;‎ C+C=41;‎ C+C+C=42;‎ C+C+C+C=43;‎ ‎…‎ 照此规律,当n∈N*时,‎ C+C+C+…+C= 4n﹣1 .‎ ‎【分析】仔细观察已知条件,找出规律,即可得到结果.‎ ‎【解答】解:因为C=40;‎ C+C=41;‎ C+C+C=42;‎ C+C+C+C=43;‎ ‎…‎ 照此规律,可以看出等式左侧最后一项,组合数的上标与等式右侧的幂指数相同,‎ 可得:当n∈N*时,C+C+C+…+C=4n﹣1;‎ 故答案为:4n﹣1.‎ ‎【点评】本题考查归纳推理的应用,找出规律是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)若“∀x∈[0,],tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为 1 .‎ ‎【分析】求出正切函数的最大值,即可得到m的范围.‎ ‎【解答】解:“∀x∈[0,],tanx≤m”是真命题,‎ 可得tanx≤1,所以,m≥1,‎ 实数m的最小值为:1.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点评】本题考查函数的最值的应用,命题的真假的应用,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)执行右边的程序框图,输出的T的值为  .‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.‎ ‎【解答】解:赋值:n=1,T=1,‎ 判断1<3,‎ 执行T=1+=1+=1+,n=2;‎ 判断2<3,‎ 执行T=+==,n=3;‎ 判断3<3不成立,算法结束,输出T=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查程序框图,考查定积分的求法,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则a+b=  .‎ ‎【分析】对a进行分类讨论,分别题意和指数函数的单调性列出方程组,解得答案.‎ ‎【解答】解:当a>1时,函数f(x)=ax+b在定义域上是增函数,‎ 所以,‎ 解得b=﹣1,=0不符合题意舍去;‎ 当0<a<1时,函数f(x)=ax+b在定义域上是减函数,‎ 所以 ,‎ 解得b=﹣2,a=,‎ 综上a+b=,‎ 故答案为:‎ ‎【点评】本题考查指数函数的单调性的应用,以及分类讨论思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为  .‎ ‎【分析】求出A的坐标,可得=,利用△OAB的垂心为C2的焦点,可得×(﹣)=﹣1,由此可求C1的离心率.‎ ‎【解答】解:双曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,‎ 与抛物线C2:x2=2py联立,可得x=0或x=±,‎ 取A(,),设垂心H(0,),‎ 则kAH==,‎ ‎∵△OAB的垂心为C2的焦点,‎ ‎∴×(﹣)=﹣1,‎ ‎∴5a2=4b2,‎ ‎∴5a2=4(c2﹣a2)‎ ‎∴e==.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,确定A的坐标是关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎16.(12分)设f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+).‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()=0,a=1,求△ABC面积的最大值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由三角函数恒等变换化简解析式可得f(x)=sin2x﹣,由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得f(x)的单调递增区间,由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得单调递减区间.‎ ‎(Ⅱ)由f()=sinA﹣=0,可得sinA,cosA,由余弦定理可得:bc,且当b=c时等号成立,从而可求bcsinA≤,从而得解.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,f(x)=sin2x﹣‎ ‎=sin2x﹣‎ ‎=sin2x﹣‎ 由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得:k≤x≤k,k∈Z;‎ 由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得:k≤x≤k,k∈Z;‎ 所以f(x)的单调递增区间是[k,k],(k∈Z);单调递减区间是:[k,k],(k∈Z);‎ ‎(Ⅱ)由f()=sinA﹣=0,可得sinA=,‎ 由题意知A为锐角,所以cosA=,‎ 由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,‎ 可得:1+bc=b2+c2≥2bc,即bc,且当b=c时等号成立.‎ 因此S=bcsinA≤,‎ 所以△ABC面积的最大值为.‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质,余弦定理,基本不等式的应用,属于基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)如图,在三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:BD∥平面FGH;‎ ‎(Ⅱ)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据AB=2DE便可得到BC=2EF,从而可以得出四边形EFHB为平行四边形,从而得到BE∥HF,便有BE∥平面FGH,再证明DE∥‎ 平面FGH,从而得到平面BDE∥平面FGH,从而BD∥平面FGH;‎ ‎(Ⅱ)连接HE,根据条件能够说明HC,HG,HE三直线两两垂直,从而分别以这三直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,然后求出一些点的坐标.连接BG,可说明为平面ACFD的一条法向量,设平面FGH的法向量为,根据即可求出法向量,设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ,根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:根据已知条件,DF∥AC,EF∥BC,DE∥AB;‎ ‎△DEF∽△ABC,又AB=2DE,‎ ‎∴BC=2EF=2BH,‎ ‎∴四边形EFHB为平行四边形;‎ ‎∴BE∥HF,HF⊂平面FGH,BE⊄平面FGH;‎ ‎∴BE∥平面FGH;‎ 同样,因为GH为△ABC中位线,∴GH∥AB;‎ 又DE∥AB;‎ ‎∴DE∥GH;‎ ‎∴DE∥平面FGH,DE∩BE=E;‎ ‎∴平面BDE∥平面FGH,BD⊂平面BDE;‎ ‎∴BD∥平面FGH;‎ ‎(Ⅱ)连接HE,则HE∥CF;‎ ‎∵CF⊥平面ABC;‎ ‎∴HE⊥平面ABC,并且HG⊥HC;‎ ‎∴HC,HG,HE三直线两两垂直,分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设HC=1,则:‎ H(0,0,0),G(0,1,0),F(1,0,1),B(﹣1,0,0);‎ 连接BG,根据已知条件BA=BC,G为AC中点;‎ ‎∴BG⊥AC;‎ 又CF⊥平面ABC,BG⊂平面ABC;‎ ‎∴BG⊥CF,AC∩CF=C;‎ ‎∴BG⊥平面ACFD;‎ ‎∴向量为平面ACFD的法向量;‎ 设平面FGH的法向量为,则:‎ ‎,取z=1,则:;‎ 设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ,则:cosθ=|cos|=;‎ ‎∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°.‎ ‎【点评】考查棱台的定义,平行四边形的定义,线面平行的判定定理,面面平行的判定定理及其性质,线面垂直的性质及线面垂直的判定定理,以及建立空间直角坐标系,利用空间向量求二面角的方法,平面法向量的概念及求法,向量垂直的充要条件,向量夹角余弦的坐标公式,平面和平面所成角的定义.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列{bn},满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用2Sn=3n+3,可求得a1=3;当n>1时,2Sn﹣1=3n﹣1+‎ ‎3,两式相减2an=2Sn﹣2Sn﹣1,可求得an=3n﹣1,从而可得{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)依题意,anbn=log3an,可得b1=,当n>1时,bn=31﹣n•log33n﹣1=(n﹣1)×31﹣n,于是可求得T1=b1=;当n>1时,Tn=b1+b2+…+bn=+(1×3﹣1+2×3﹣2+…+(n﹣1)×31﹣n),利用错位相减法可求得{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)因为2Sn=3n+3,所以2a1=31+3=6,故a1=3,‎ 当n>1时,2Sn﹣1=3n﹣1+3,‎ 此时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1,即an=3n﹣1,‎ 所以an=.‎ ‎(Ⅱ)因为anbn=log3an,所以b1=,‎ 当n>1时,bn=31﹣n•log33n﹣1=(n﹣1)×31﹣n,‎ 所以T1=b1=;‎ 当n>1时,Tn=b1+b2+…+bn=+(1×3﹣1+2×3﹣2+…+(n﹣1)×31﹣n),‎ 所以3Tn=1+(1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+(n﹣1)×32﹣n),‎ 两式相减得:2Tn=+(30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣(n﹣1)×31﹣n)=+﹣(n﹣1)×31﹣n=﹣,‎ 所以Tn=﹣,经检验,n=1时也适合,‎ 综上可得Tn=﹣.‎ ‎【点评】本题考查数列的求和,着重考查数列递推关系的应用,突出考查“错位相减法”求和,考查分析、运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分,若能被5整除,但不能被10整除,得﹣1分,若能被10整除,得1分.‎ ‎(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;‎ ‎(Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据“三位递增数”的定义,即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”;‎ ‎(Ⅱ)随机变量X的取值为:0,﹣1,1分别求出对应的概率,即可求出分布列和期望.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)根据定义个位数字是5的“三位递增数”有:125,135,145,235,245,345;‎ ‎(Ⅱ)由题意知,全部“三位递增数”的个数为,‎ 随机变量X的取值为:0,﹣1,1,‎ 当X=0时,可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合,即;‎ 当X=﹣1时,首先选择5,由于不能被10整除,因此不能选择数字2,4,6,8,可以从1,3,7,9中选择两个数字和5进行组合,即;‎ 当X=1时,有两种组合方式,第一种方案:首先选5,然后从2,4,6,8中选择2个数字和5进行组合,即;第二种方案:首先选5,然后从2,4,6,8中选择1个数字,再从1,3,7,9中选择1个数字,最后把3个数字进行组合,即.‎ 则P(X=0)==,P(X=﹣1)==,P(X=1)==,‎ X ‎0‎ ‎﹣1‎ ‎1‎ P EX=0×+(﹣1)×+1×=.‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算,求出对应的概率是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.‎ ‎(i)求||的值;‎ ‎(ii)求△ABQ面积的最大值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和a,b,c的关系,计算即可得到b,进而得到椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)求得椭圆E的方程,(i)设P(x0,y0),||=λ,求得Q的坐标,分别代入椭圆C,E的方程,化简整理,即可得到所求值;‎ ‎(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=kx+m代入椭圆E的方程,运用韦达定理,三角形的面积公式,将直线y=kx+m代入椭圆C的方程,由判别式大于0,可得t的范围,结合二次函数的最值,又△ABQ的面积为3S,即可得到所求的最大值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,PF1+PF2=2a=4,可得a=2,‎ 又=,a2﹣c2=b2,‎ 可得b=1,即有椭圆C的方程为+y2=1;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆E的方程为+=1,‎ ‎(i)设P(x0,y0),||=λ,由题意可知,‎ Q(﹣λx0,﹣λy0),由于+y02=1,‎ 又+=1,即(+y02)=1,‎ 所以λ=2,即||=2;‎ ‎(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=kx+m代入椭圆E的方程,可得 ‎(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,由△>0,可得m2<4+16k2,①‎ 则有x1+x2=﹣,x1x2=,所以|x1﹣x2|=,‎ 由直线y=kx+m与y轴交于(0,m),‎ 则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•‎ ‎=2,设=t,则S=2,‎ 将直线y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,‎ 由△≥0可得m2≤1+4k2,②‎ 由①②可得0<t≤1,则S=2在(0,1]递增,即有t=1取得最大值,‎ 即有S,即m2=1+4k2,取得最大值2,‎ 由(i)知,△ABQ的面积为3S,‎ 即△ABQ面积的最大值为6.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理,同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),其中a∈R,‎ ‎(Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)若∀x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.‎ ‎【分析】(I)函数f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),其中a∈R,x∈(﹣1,+∞).=.令g(x)=2ax2+ax﹣a+1.对a与△分类讨论可得:(1)当a=0时,此时f′(x)>0,即可得出函数的单调性与极值的情况.‎ ‎(2)当a>0时,△=a(9a﹣8).①当时,△≤0,②当a时,△>0,即可得出函数的单调性与极值的情况.‎ ‎(3)当a<0时,△>0.即可得出函数的单调性与极值的情况.‎ ‎(II)由(I)可知:(1)当0≤a时,可得函数f(x)在(0,+∞)上单调性,即可判断出.‎ ‎(2)当<a≤1时,由g(0)≥0,可得x2≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调性,即可判断出.‎ ‎(3)当1<a时,由g(0)<0,可得x2>0,利用x∈(0,x2)时函数f(x)单调性,即可判断出;‎ ‎(4)当a<0时,设h(x)=x﹣ln(x+1),x∈(0,+∞),研究其单调性,即可判断出 ‎【解答】解:(I)函数f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),其中a∈R,x∈(﹣1,+∞).‎ ‎=.‎ 令g(x)=2ax2+ax﹣a+1.‎ ‎(1)当a=0时,g(x)=1,此时f′(x)>0,函数f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,无极值点.‎ ‎(2)当a>0时,△=a2﹣8a(1﹣a)=a(9a﹣8).‎ ‎①当时,△≤0,g(x)≥0,f′(x)≥0,函数f(x)在(﹣1,+∞‎ ‎)上单调递增,无极值点.‎ ‎②当a时,△>0,设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1,x2,x1<x2.‎ ‎∵x1+x2=,‎ ‎∴,.‎ 由g(﹣1)>0,可得﹣1<x1.‎ ‎∴当x∈(﹣1,x1)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;‎ 当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;‎ 当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.‎ 因此函数f(x)有两个极值点.‎ ‎(3)当a<0时,△>0.由g(﹣1)=1>0,可得x1<﹣1<x2.‎ ‎∴当x∈(﹣1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;‎ 当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.‎ 因此函数f(x)有一个极值点.‎ 综上所述:当a<0时,函数f(x)有一个极值点;‎ 当0≤a时,函数f(x)无极值点;‎ 当a时,函数f(x)有两个极值点.‎ ‎(II)由(I)可知:‎ ‎(1)当0≤a时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ ‎∵f(0)=0,‎ ‎∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意.‎ ‎(2)当<a≤1时,由g(0)≥0,可得x2≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ 又f(0)=0,‎ ‎∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意.‎ ‎(3)当1<a时,由g(0)<0,可得x2>0,‎ ‎∴x∈(0,x2)时,函数f(x)单调递减.‎ 又f(0)=0,‎ ‎∴x∈(0,x2)时,f(x)<0,不符合题意,舍去;‎ ‎(4)当a<0时,设h(x)=x﹣ln(x+1),x∈(0,+∞),h′(x)=>0.‎ ‎∴h(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ 因此x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0,即ln(x+1)<x,‎ 可得:f(x)<x+a(x2﹣x)=ax2+(1﹣a)x,‎ 当x>时,‎ ax2+(1﹣a)x<0,此时f(x)<0,不合题意,舍去.‎ 综上所述,a的取值范围为[0,1].‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值,考查了分析问题与解决问题的能力,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题.‎ ‎ ‎
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