上海市春季高考数学试卷答案与解析

上海市春季高考数学试卷答案与解析

‎2009年上海市春季高考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.填空题（本大题满分34分）本大题共有11题，‎ ‎1．（3分）（2009•上海）函数y=log2（x﹣1）的定义域是　（1，+∞）　．‎ ‎【考点】对数函数的定义域．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．‎ ‎【解答】解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1‎ 函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）‎ 故答案为（1，+∞）‎ ‎【点评】本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2009•上海）计算：（1﹣i）2=　﹣2i　（i为虚数单位）．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 ‎【分析】按照完全平方公式把要求的式子展开、化简．‎ ‎【解答】解：（1﹣i）2 =1﹣2i+i2 =﹣2i，‎ 故答案为﹣2i．‎ ‎【点评】复数代数形式的乘方，按照多项式的乘方法则进行，再根据i2  =﹣1 化简出最终结果．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2009•上海）函数的最小正周期T=　4π　．‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】直接利用余弦函数的周期的求法，求出函数的周期即可．‎ ‎【解答】解：因为函数，所以函数的最小正周期为：T==4π．‎ 故答案为：4π．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，送分题．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2009•上海）若集合A={x||x|＞1}，集合B={x|0＜x＜2}，则A∩B=　{x|1＜x＜2}　．‎ ‎【考点】交集及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】求解绝对值得不等式化简集合A，然后直接利用交集运算求解．‎ ‎【解答】解：∵A={x||x|＞1}={x|x＜﹣1或x＞1}，B={x|0＜x＜2}，‎ ‎∴A∩B={x|x＜﹣1或x＞1}∩{x|0＜x＜2}={x|1＜x＜2}．‎ 故答案为{x|1＜x＜2}．‎ ‎【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2009•上海）抛物线y2=x的准线方程为　x=﹣　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2=x的准线方程．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1‎ ‎∴‎ ‎∴抛物线y2=x的准线方程为x=﹣‎ 故答案为：x=﹣‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2009•上海）已知．若，则与夹角的大小为 　　．‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】欲求与夹角的大小，根据公式，代入数据计算得到夹角的余弦值，即可得到两个向量的夹角．‎ ‎【解答】解：因为，所以=，‎ 所以与夹角的大小为．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查数量积计算公式，应熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2009•上海）过点A（4，﹣1）和双曲线﹣=1右焦点的直线方程为　x﹣y﹣5=0　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程；双曲线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由双曲线的方程找出a和b的值，根据c2=a2+b2求出双曲线的右焦点的坐标，然后根据右焦点坐标和点A的坐标写出直线的方程即可．‎ ‎【解答】解：由于a2=9，b2=16，∴c2=25，故右焦点为（5，0）．‎ 所求直线方程为y=（x﹣5），即x﹣y﹣5=0．‎ 故答案为：x﹣y﹣5=0‎ ‎【点评】此题考查学生会利用双曲线的简单性质求焦点的坐标，会根据两点坐标求直线的一般式方程，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2009•上海）在△ABC中，若AB=3，∠ABC=75°，∠ACB=60°，则BC等于　　．‎ ‎【考点】正弦定理的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据三角形内角和求得∠BAC，进而根据正弦定理求得BC．‎ ‎【解答】解：根据三角形内角和定理知 ‎∠BAC=180°﹣75°﹣60°=45°．‎ 根据正弦定理得=，‎ 即=，∴BC===．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．考查了学生对基础知识的运用．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2009•上海）已知对于任意实数x，函数f（x）满足f（﹣x）=f（x）．若方程f（x）=0有2009个实数解，则这2009个实数解之和为　0　．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】不妨设方程f（x）=0的实数解为x1，x2，…，x2009，且x1＜x2＜…＜x2009，由f（﹣x）=f（x），可知实数解关于原点对称，由此可求得答案．‎ ‎【解答】解：设方程f（x）=0的实数解为x1，x2，…，x2009，‎ 不妨设x1＜x2＜…＜x2009，‎ 又f（﹣x）=f（x），‎ ‎∴如存在x0使f（x0）=0，则f（﹣x0）=0，‎ ‎∴x1+x2009=0，x2+x2008=0，…，x1004+x1006=0，x1005=0，‎ ‎∴x1+x2+…+x2009=0．‎ 故答案为：0．‎ ‎【点评】本题考查偶函数的性质、方程的解，考查学生的观察能力，属基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2009•上海）一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘．若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为　　（结果用数值表示）．‎ ‎【考点】等可能事件的概率．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题；创新题型．‎ ‎【分析】由题意知本题是一个古典概型，由分步计数原理试验发生所包含的总事件数266，满足条件的事件是10个字母的前6个个组成单词“monkey”，第二到第七个组成，第三到第八个组成，第四到第九个组成，第五到第十个，共有5种结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，‎ ‎∵由分步计数原理试验发生所包含的总事件数2610，‎ 满足条件的事件中“monkey”出现的可能方式有：10个字母的前6个组成单词“monkey”，第二到第七个组成，第三到第八个组成，第四到第九个组成，第五到第十个，共有5种结果．其它四个字母没有限制，共有264种，‎ ‎∴由古典概型公式得到P==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题是一个古典概型，培养学生运用数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2009•上海）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间[0，1]对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标变成，原来的坐标变成1，等等）．那么原闭区间[0，1]上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是　和 　；原闭区间[0，1]上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为　，，…，　．‎ ‎【考点】归纳推理．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题；压轴题．‎ ‎【分析】根据题意，可知下一次的操作把上一次的对应点正好扩大了2倍．因为第一次操作后，原线段AB上的，均变成，则第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是和，则它们的和可求．根据题意，将恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标列出数据，找出规律，列出通式即可．‎ ‎【解答】解：∵第一次操作后，原线段AB上的，，均变成，‎ ‎∴对应点扩大了2倍，‎ 则第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是和，‎ 根据题意，得 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎1‎ 由上图表格，可以推出第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数的通式为为，．‎ 所以恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为，，…，．‎ 故答案为：和 ；，，…，．‎ ‎【点评】此题的难点是理解题意，能够发现对应点之间的变化规律：下一次的操作把上一次的对应点正好扩大了2倍．解答本题的难点是根据数据列出通式，方便比较数据之间的联系，通过列表格的形式，可以直观一些．‎ ‎　‎ 二．选择题（本大题满分12分）‎ ‎12．（3分）（2009•上海）在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线垂直的判定．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．‎ ‎【解答】解：在空间中，两条直线没有公共点，这两条直线可能是异面直线，‎ 即由“两条直线没有公共点”不能推知“这两条直线平行”；‎ 反过来，由“两条直线平行”可知“这两条直线没有公共点”．‎ 因此，在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件，‎ 故选B．‎ ‎【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2009•上海）过点P（0，1）与圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（　　）‎ A．x=0 B．y=1 C．x+y﹣1=0 D．x﹣y+1=0‎ ‎【考点】直线的一般式方程．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】圆的直径所在直线符合题意，求出辞职显得斜率，用点斜式求直线的方程．‎ ‎【解答】解：易知圆的直径所在直线符合题意，由圆心为O（1，0）且过点P（0，1），故直线的斜率，‎ 则根据点斜式方程为 y﹣1=﹣1（x﹣0），即 x+y﹣1=0，‎ 故选 C．‎ ‎【点评】本题考查用点斜式求求直线方程，判断圆的直径所在直线符合题意是解题的突破口．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2009•上海）已知函数若f（x0）＞3，则x0的取值范围是（　　）‎ A．x0＞8 B．x0＜0或x0＞8 C．0＜x0＜8 D．x0＜0或0＜x0＜8‎ ‎【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题；分类讨论．‎ ‎【分析】通过对函数f（x）在不同范围内的解析式，得关于x0的不等式，从而可解得x0的取值范围．‎ ‎【解答】解：①当x≤0时，f（x0）=＞3，‎ ‎∴x0+1＞1，‎ ‎∴x0＞0 这与x≤0相矛盾，‎ ‎∴x∈∅．‎ ‎②当x＞0时，f（x0）=log2x0＞3，‎ ‎∴x0＞8‎ 综上：x0＞8‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查对数函数的单调性，及分段函数，在解不等式时注意分类讨论，是个基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2009•上海）函数的反函数图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】反函数；函数的图象．菁优网版权所有 ‎【专题】常规题型；压轴题．‎ ‎【分析】先画出条件中函数式的图象，再将其图象作关于直线y=x对称的图象即得．‎ ‎【解答】解：作出函数的图象，如图，‎ ‎∵互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，‎ ‎∴函数的反函数图象是：C．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本小题主要考查反函数、反函数的应用、函数的图象等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，‎ ‎16．（12分）（2009•上海）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AC=∠ACB=，∠AA1C=，侧棱BB1‎ 与底面所成的角为，AA1=4，BC=4．求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】如图，在Rt△AA1C中求出AC，作B1H⊥平面ABC，垂足为H，则∠B1BH=，求出B1H就是棱柱的高，然后求出斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．‎ ‎【解答】解：在Rt△AA1C中，AC=AA1•tan∠AA1C=4×=4．‎ 作B1H⊥平面ABC，垂足为H，则∠B1BH=，‎ 在Rt△B1BH中，B1H=BB1•sin∠B1BH=AA1•sin=4×=6．‎ ‎∴V=S△ABC•B1H=×4×4×6=48．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积的求法，求出底面面积，它的高是本题的难点，注意正确分析，仔细体会．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2009•上海）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且3an+1+2Sn=3（n为正整数）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记S=a1+a2+…+an+…若对任意正整数n，kS≤Sn恒成立，求实数k的最大值．‎ ‎【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）3an+1+2sn=3，3an+2sn﹣1=3，两式相减，得3an+1﹣3an+2（Sn﹣Sn﹣1）=0，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）S==，由此能求出k的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由题设条件得 ‎3an+1+2sn=3，3an+2sn﹣1=3‎ 两式相减，得3an+1﹣3an+2（Sn﹣Sn﹣1）=0，‎ 即，n＞1 又，‎ 所以通项为：．‎ ‎（2）S==，‎ 要kS≤Sn恒成立，由于Sn递增 所以只要kS=S1，即k的最大值为．‎ ‎【点评】本题考查数列的递推式和数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式和数列的综合应用．‎ ‎　‎ ‎18．（14分）（2009•上海）我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径R=34百公里）的中心F为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）．‎ ‎【考点】椭圆的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】利用待定系数法，先求出轨道方程，再利用探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，可求探测器位置的坐标，从而可求探测器在变轨时与火星表面的距离．‎ ‎【解答】解：设所求轨道方程为，．‎ ‎∵a+c=800+34，a﹣c=8+34，‎ ‎∴a=438，c=396．…（4分）‎ 于是 b2=a2﹣c2=35028．‎ ‎∴所求轨道方程为 ．…（8分）‎ 设变轨时，探测器位于P（x0，y0），则x02+y02=ab=81975.1，‎ 又，‎ 解得 x0=239.7，y0=156.7．…（11分）‎ ‎∴探测器在变轨时与火星表面的距离为．…（14分）‎ 答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里．…（16分）‎ ‎【点评】本题以实际问题为载体，考查椭圆方程的运用，解题的关键是求出椭圆方程，利用探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，求出探测器位置的坐标 ‎　‎ ‎19．（16分）（2009•上海）如图，在直角坐标系xOy中，有一组对角线长为an的正方形AnBnCnDn（n=1，2，…），其对角线BnDn依次放置在x轴上（相邻顶点重合）．设{an}是首项为a，公差为d（d＞0）的等差数列，点B1的坐标为（d，0）．‎ ‎（1）当a=8，d=4时，证明：顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；‎ ‎（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点An均落在抛物线y2=2x上；‎ ‎（3）为使所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，求a与d之间所应满足的关系式．‎ ‎【考点】曲线与方程；三点共线；轨迹方程．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）求出A1A2、A1A3的斜率，利用斜率不相等，即可得到结论；‎ ‎（2）确定顶点An的横坐标、纵坐标，即可证得结论；‎ ‎（3）顶点An的横、纵坐标，消去n﹣1，利用所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，即可求a与d之间所应满足的关系式．‎ ‎【解答】（1）证明：由题意可知，A1（8，4），A2（18，6），A3（32，8），‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；‎ ‎（2）证明：由题意可知，顶点An的横坐标=2（n+1）2，‎ 顶点An的纵坐标．‎ ‎∵对任意正整数n，点An（xn，yn）的坐标满足方程y2=2x，‎ ‎∴所有顶点An均落在抛物线y2=2x上．‎ ‎（3）解：由题意可知，顶点An的横、纵坐标分别是+（n﹣1）a，‎ 消去n﹣1，可得 为使得所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，则有 解之，得d=4p，a=8p．‎ ‎∴a，d所应满足的关系式是：a=2d．‎ ‎【点评】本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（18分）（2009•上海）设函数fn（θ）=sinnθ+（﹣1）ncosnθ，0，其中n为正整数．‎ ‎（1）判断函数f1（θ）、f3（θ）的单调性，并就f1（θ）的情形证明你的结论；‎ ‎（2）证明：2f6（θ）﹣f4（θ）=（cos4θ﹣sin4θ）（cos2θ﹣sin2θ）；‎ ‎（3）对于任意给定的正奇数n，求函数fn（θ）的最大值和最小值．‎ ‎【考点】三角函数的最值；函数单调性的判断与证明；同角三角函数基本关系的运用．菁优网版权所有 ‎【专题】证明题；综合题；压轴题．‎ ‎【分析】（1）设 θ1＜θ2，θ1、θ2∈[0，]，根据三角函数的特点判断f1（θ1）﹣f1（θ2）=（sinθ1﹣sinθ2）+（cosθ2﹣cosθ1）＜0，从而得出结论；‎ ‎（2）首先利用余弦的二倍角公式化简原式的左边等于cos22θ，同理原式右边也等于cos22θ，从而证明结论．‎ ‎（3）当n=1时，f1（θ）在[0，]上单调递增，求出最值；当n=3时，f3（θ）在[0，]上为单调递增，求出最值；正奇数n≥5的情形，首先根据定义判断出函数的单调递增，从而得出fn（θ）的最大值为fn（）=0，最小值为fn（0）=﹣1．‎ ‎【解答】解：（1）f1（θ）、f3（θ）在0，上均为单调递增的函数．‎ 对于函数f1（θ）=sinθ﹣cosθ，设 θ1＜θ2，θ1、θ2∈[0，]，则 f1（θ1）﹣f1（θ2）=（sinθ1﹣sinθ2）+（cosθ2﹣cosθ1），‎ ‎∵sinθ1＜sinθ2，cosθ2＜cosθ1∴f1（θ1）＜f1（θ2）函数f1（θ）在[0，]上单调递增．‎ ‎（2）∵原式左边=2（sin6θ+cos6θ）﹣（sin4θ+cos4θ）‎ ‎=2（sin2θ+cos2θ）（sin4θ﹣sin2θcos2θ+cos4θ）﹣（sin4θ+cos4θ）‎ ‎=1﹣sin22θ=cos22θ．‎ 又∵原式右边=（cos2θ﹣sin2θ）2=cos22θ ‎∴2f6（θ）﹣f4（θ）=（cos4θ﹣sin4θ）（cos2θ﹣sin2θ）．‎ ‎（3）当n=1时，函数f1（θ）在[0，]上单调递增，‎ ‎∴f1（θ）的最大值为f1（）=0，最小值为f1（0）=﹣1．‎ 当n=3时，函数f3（θ）在[0，]上为单调递增．‎ ‎∴f3（θ）的最大值为f3（）=0，最小值为f3（0）=﹣1．‎ 下面讨论正奇数n≥5的情形：对任意θ1、θ2∈[0，]，且θ1＜θ2∵fn（θ1）﹣fn（θ2）=（sinnθ1﹣sinnθ2）+（cosnθ2﹣cosnθ1），‎ 以及 0≤sinθ1＜sinθ2＜1 0≤cosθ2＜cosθ1＜1，‎ ‎∴sinnθ1＜sinnθ2 cosnθ2＜cosnθ1，从而fn（θ1）＜fn（θ2）．‎ ‎∴fn（θ）在[0，]上为单调递增，‎ 则fn（θ）的最大值为fn（）=0，最小值为fn（0）=﹣1．‎ 综上所述，当n为奇数时，函数fn（θ）的最大值为0，最小值为﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的最值，函数单调性的判定以及同角三角函数的基本关系，一般根据定义判断函数的单调性，此题有一定难度．‎ ‎　‎