2015年高考数学（文科）真题分类汇编E单元 不等式
数 学
E 单元 不等式
E1 不等式的概念与性质
12．A2、E1[2015·福建卷] “对任意 x∈0，π
2
，ksin xcos x
0.故选项 A
中的不是最低费用；(ay＋bz＋cx)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(z－y)＝(a－b)(y－z)>0，故选项
C 中的不是最低费用；(ay＋bx＋cz)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－x)＝a(y－z)＋b(x
－y)＋c(z－y＋y－x)＝(a－c)(y－z)＋(b－c)(x－y)>0，选项 D 中的不是最低费用．
综上所述，选项 B 中的为最低费用．
E2 绝对值不等式的解法
21．E2，B3，B12[2015·广东卷] 设 a 为实数，函数 f(x)＝(x－a)2＋|x－a|－a(a－1)．
(1)若 f(0)≤1，求 a 的取值范围；
(2)讨论 f(x)的单调性；
(3)当 a≥2 时，讨论 f(x)＋4
x
在区间(0，＋∞)内的零点个数．
4．A2、E2[2015·天津卷] 设 x∈R，则“10，
解得2
30，故 g(x)为增函数；
当－10 时，g′(x)>0，故 g(x)为增函数．
综上知 g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)上为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)上为增函数．
11．E3[2015·广东卷] 不等式－x2－3x＋4>0 的解集为________．(用区间表示)
11．(－4，1) [解析] 由－x2－3x＋4>0 得－40 的解集
为(－4，1)．
E4 简单的一元高次不等式的解法
E5 简单的线性规划问题
15．E5[2015·全国卷Ⅰ] 若 x，y 满足约束条件
x＋y－2≤0，
x－2y＋1≤0，
2x－y＋2≥0，
则 z＝3x＋y 的最大值为
________．
15．4 [解析] 作出约束条件表示的可行域如图所示，当目标函数线平移至经过可行域
的顶点 A(1，1)时，目标函数 z 取得最大值，故 zmax＝3×1＋1＝4.
5．E5[2015·安徽卷] 已知 x，y 满足约束条件
x－y≥0，
x＋y－4≤0，
y≥1，
则 z＝－2x＋y 的最大值是
( )
A．－1 B．－2
C．－5 D．1
5．A [解析] 二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC 内部及其边界，
当直线 y＝2x＋z 过 A 点时 z 最大，又 A(1，1)，因此 z 的最大值为－1，选 A.
4．E5[2015·广东卷] 若变量 x，y 满足约束条件
x＋2y≤2，
x＋y≥0，
x≤4，
则 z＝2x＋3y 的最大值为
( )
A．2 B．5
C．8 D．10
4．B [解析] 作出约束条件表示的可行域如图所示，易知目标函数在点 A 处取得最大
值，A 点坐标为(4，－1)，此时 zmax＝2×4＋3×(－1)＝5.
12．E5[2015·湖北卷] 若变量 x，y 满足约束条件
x＋y≤4，
x－y≤2，
3x－y≥0，
则 3x＋y 的最大值是
________．
12．10 [解析] 作出约束条件表示的可行域如图所示，
易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是(3，1)，(1，3)，(－1，－3)．将三个顶点
的坐标依次代入 3x＋y，求得的值分别为 10，6，－6，比较可得 3x＋y 的最大值为 10.
15．E5[2015·全国卷Ⅰ] 若 x，y 满足约束条件
x＋y－2≤0，
x－2y＋1≤0，
2x－y＋2≥0，
则 z＝3x＋y 的最大值为
________．
15．4 [解析] 作出约束条件表示的可行域如图所示，当目标函数线平移至经过可行域
的顶点 A(1，1)时，目标函数 z 取得最大值，故 zmax＝3×1＋1＝4.
14．E5[2015·全国卷Ⅱ] 若 x，y 满足约束条件
x＋y－5≤0，
2x－y－1≥0，
x－2y＋1≤0，
则 z＝2x＋y 的最大值为
________．
14．8 [解析] 根据约束条件作出可行域如图所示，平移目标函数线，当它经过点 A(3，
2)时，目标函数取得最大值，zmax＝2×3＋2＝8.
13．E5[2015·北京卷] 如图 13，△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D，P(x，y)为 D
中任意一点，则 z＝2x＋3y 的最大值为________．
图 13
13．7 [解析] 根据题意，z＝2x＋3y 变形为 y＝－2
3x＋1
3z，直线 AC 的斜率为 k＝2－1
0－2
＝
－1
2>－2
3
，利用求目标函数最值的方法，当 y＝－2
3x＋1
3z 过点 A(2，1)时 z 取得最大值 zmax＝
2×2＋3×1＝7.
10．E5[2015·福建卷] 变量 x，y 满足约束条件
x＋y≥0，
x－2y＋2≥0，
mx－y≤0.
若 z＝2x－y 的最大值为 2，
则实数 m 等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
10．C [解析] 由约束条件可知，
①若 m∈[2，＋∞)，则当 x＝0，
y＝0
时， zmax＝0(舍去)；
②若 m∈1
2
，2，则当 x－2y＋2＝0，
mx－y＝0，
即
x＝ 2
2m－1
，
y＝ 2m
2m－1
时， zmax＝2× 2
2m－1
－ 2m
2m－1
＝2，
所以 m＝1；
③若 m∈－∞，1
2
，则 z 无最大值(舍去)．
4．E5[2015·湖南卷] 若变量 x，y 满足约束条件
x＋y≥1，
y－x≤1，
x≤1，
则 z＝2x－y 的最小值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．A [解析] 画出可行域如图中阴影部分所示，平移直线 2x－y＝0，可知在直线 x＋y
＝1 与 y－x＝1 的交点 A(0，1)处 z 取最小值，zmin＝0－1＝－1，选 A.
12．E5[2015·山东卷] 若 x，y 满足约束条件
y－x≤1，
x＋y≤3，
y≥1，
则 z＝x＋3y 的最大值为________．
12．7 [解析] 作出可行域如图所示，当直线 x＋3y－z＝0 过可行域内的点 A 时，z 取
得最大值．联立 y－x＝1，
x＋y＝3，
解得 x＝1，
y＝2，
即 A(1，2)，故 zmax＝1＋3×2＝7.
11．E5[2015·陕西卷] 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料．已知生产 1
吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分
别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲 乙 原料限额
A(吨) 3 2 12
B(吨) 1 2 8
A.12 万元 B．16 万元
C．17 万元 D．18 万元
11．D [解析] 设该企业每天生产甲种产品 x 吨、乙种产品 y 吨，则 x，y 需满足约束
条件
3x＋2y≤12，
x＋2y≤8，
x≥0，
y≥0，
可获利润 z＝3x＋4y.约束条件表示的平面区域是以(0，0)，(4，0)，(2，
3)，(0，4)为顶点的四边形及其内部，把各顶点坐标代入检验可知，目标函数在点(2，3)处
取得最大值 3×2＋4×3＝18，即该企业每天可获得最大利润为 18 万元．
2．E5[2015·天津卷] 设变量 x，y 满足约束条件
x－2≤0，
x－2y≤0，
x＋2y－8≤0，
则目标函数 z＝3x＋y 的
最大值为( )
A．7 B．8
C．9 D．14
2．C [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的
几何意义可知，目标函数在点 A(2，3)处取得最大值，且 zmax＝9.
14．H4，E5[2015·浙江卷] 已知实数 x，y 满足 x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的
最大值是________．
14．15 [解析] 方法一：当 x，y 满足 x2＋y2≤1 时，2x＋y－4<0，6－x－3y>0，
设 z＝|2x＋y－4|＋|6－x－3y|，则 z＝－2x－y＋4＋6－x－3y＝－3x－4y＋10，即 3x＋4y
＋z－10＝0.由题意可知，|z－10|
5
≤1，即|z－10|≤5，所以 5≤z≤15，故所求最大值为 15.
方法二：坐标原点到直线 2x＋y－4＝0 和 6－x－3y＝0 的距离分别是 4
5
，6
10
，均大于 1，
在 x，y 满足 x2＋y2≤1 的条件下，2x＋y－4≤0，6－x－3y≥0 恒成立．故在 x2＋y2≤1 下，
|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝－(2x＋y－4)＋(6－x－3y)＝－3x－4y＋10，令 m＝－3x－4y，
则 y＝－3
4x－m
4
，m 的几何意义是直线 m＝－3x－4y 在 y 轴上的截距的－4 倍，若 m 最大，
则需要直线 m＝－3x－4y 在 y 轴上的截距最小．
故只有当直线 m＝－3x－4y 与单位圆 x2＋y2＝1 相切于第三象限时，m 取得最大值．此
时可求得切点坐标为－3
5
，－4
5
，故 mmax＝－3× －3
5 －4× －4
5 ＝5，所以|2x＋y－4|＋|6－x
－3y|＝－3x－4y＋10 的最大值为 15.
10．E5[2015·重庆卷] 若不等式组
x＋y－2≤0，
x＋2y－2≥0，
x－y＋2m≥0
表示的平面区域为三角形，且其面积
等于4
3
，则 m 的值为( )
A．－3 B．1
C.4
3 D．3
10．B [解析] 作出不等式组满足的平面区域，如图中阴影部分所示．由图可知，要使
不等式组表示的平面区域为三角形，则有 m>－1.由 x＋y－2＝0，
x－y＋2m＝0，
解得 x＝1－m，
y＝1＋m，
即 A(1
－m，1＋m)．由 x＋2y－2＝0，
x－y＋2m＝0，
解得
x＝2
3
－4
3m，
y＝2
3
＋2
3m，
即 B2
3
－4
3m，2
3
＋2
3m.因为 S△ABC＝S△ADC－S
△BDC＝1
2(2＋2m)(1＋m)－2
3
＋2m
3
＝1
3(m＋1)2＝4
3
，解得 m＝1 或 m＝－3(舍去)．故选 B.
E6 基本不等式
2
a bab
5．E6[2015·福建卷] 若直线x
a
＋y
b
＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则 a＋b 的最小值等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．C [解析] 依题意有1
a
＋1
b
＝1，所以 a＋b＝(a＋b)·1
a
＋1
b
＝1＋a
b
＋b
a
＋1≥2＋2 a
b
·b
a
＝4，当且仅当 a＝b＝2 时等号成立．
7．E6[2015·湖南卷] 若实数 a，b 满足1
a
＋2
b
＝ ab，则 ab 的最小值为( )
A. 2 B．2
C．2 2 D．4
7．C [解析] 方法一：由已知得1
a
＋2
b
＝b＋2a
ab
＝ ab，ab ab＝b＋2a≥2 2 ab，当且仅
当 b＝2a＝2 5
4
时，等号成立，所以 ab≥2 2.
方法二： ab＝1
a
＋2
b
≥2 2
ab
，即 ab≥2 2，当且仅当 b＝2a＝2 5
4
时，等号成立，选 C.
10．B7、E6[2015·陕西卷] 设 f(x)＝ln x，0p
C．p＝rq
10．C [解析] r＝1
2(f(a)＋f(b))＝1
2ln(ab)＝ln ab＝p.因为 b>a>0，所以a＋b
2
> ab，又函
数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以 q>p＝r，故选 C.
9．E5，E6[2015·四川卷] 设实数 x，y 满足
2x＋y≤10，
x＋2y≤14，
x＋y≥6，
则 xy 的最大值为( )
A.25
2 B.49
2 C．12 D．16
9．A [解析] 画出可行域如图所示．可知当曲线 z＝xy 与线段 AC 相切时 xy 取得最大
值．此时 2x＋y＝10，故 xy＝1
2
·2x·y≤1
2
2x＋y
2
2
＝25
2
，当且仅当 x＝5
2
，y＝5 时取等号，
对应点落在线段 AC 上，故 xy 的最大值为25
2
，选 A.
14．E6[2015·重庆卷] 设 a，b>0，a＋b＝5，则 a＋1＋ b＋3的最大值为________．
14 ． 3 2 [ 解 析 ] ( a＋1 ＋ b＋3 )2 ＝ a ＋ b ＋ 4 ＋ 2 a＋1 · b＋3 ≤ 9 ＋
2×（ a＋1）2＋（ b＋3）2
2
＝9＋a＋b＋4＝18，当且仅当 a＋1＝b＋3 且 a＋b＝5，即 a＝
7
2
，b＝3
2
时等号成立，所以 a＋1＋ b＋3≤3 2.
E7 不等式的证明方法
E8 不等式的综合应用
14．E8[2015·山东卷] 定义运算“ ”：x y＝x2－y2
xy
(x，y∈R，xy≠0)．当 x>0，y>0 时，
x y＋(2y) x 的最小值为________．
14. 2 [解析] 由题意得 x y＋(2y) x＝x2－y2
xy
＋4y2－x2
2xy
＝2y2＋x2
2xy
＝y
x
＋ x
2y
≥2 y
x
· x
2y
＝ 2，当且仅当 x＝ 2y 时，等号成立 .
E9 单元综合
4．[2015·浙江五校联考] 设 a，b 是实数，则“a>b>1”是“a＋1
a>b＋1
b
”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．A [解析] 因为 a＋1
a
－b＋1
b
＝（a－b）（ab－1）
ab
，a>b>1，所以 a＋1
a
－b＋1
b
＝
（a－b）（ab－1）
ab
>0，则充分性成立．当 a＝1
2
，b＝2
3
时，显然不等式 a＋1
a>b＋1
b
成立，但
a>b>1 不成立，所以必要性不成立．故选 A.
6．[2015·重庆一中模拟] 设对任意实数 x∈[－1，1]，不等式 x2＋ax－3a<0 恒成立，则
实数 a 的取值范围是( )
A．a>0 B．a>1
2
C．a>1
4 D．a>0 或 a<－12
6．B [解析] 设 f(x)＝x2＋ax－3a.
∵对任意实数 x∈[－1，1]，不等式 x2＋ax－3a＜0 恒成立，
∴ f（－1）＝1－a－3a<0，
f（1）＝1＋a－3a<0，
即 1－4a<0，
1－2a<0，
∴
a>1
4
，
a>1
2
，
故 a>1
2.
3．[2015·南昌调研] 若正数 a，b 满足1
a
＋1
b
＝1，则 4
a－1
＋ 16
b－1
的最小值为( )
A．16 B．25
C．36 D．49
3 ． A [ 解 析 ] 因 为 a>0 ， b>0 ， 1
a
＋ 1
b
＝ 1 ， 所 以 a ＋ b ＝ ab ， 则 4
a－1
＋ 16
b－1
＝
4（b－1）＋16（a－1）
（a－1）（b－1）
＝ 4b＋16a－20
ab－（a＋b）＋1
＝4b＋16a－20.
又 4b＋16a＝4(b＋4a)1
a
＋1
b
＝20＋4b
a
＋4a
b
≥20＋4×2× b
a
·4a
b
＝36，当且仅当b
a
＝4a
b
且
1
a
＋1
b
＝1，即 a＝3
2
，b＝3 时取等号，所以 4
a－1
＋ 16
b－1
≥36－20＝16.
6．[2015·南充模拟] 若目标函数 z＝ax＋by(a>0，b>0)满足约束条件
2x－y－6≤0，
x－y＋2≥0，
x≥0，y≥0，
且
最大值为 40，则5
a
＋1
b
的最小值为( )
A.25
6 B.9
4 C．1 D．4
6．B [解析] 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，
当直线 z＝ax＋by(a>0，b>0)过直线 x－y＋2＝0 与直线 2x－y－6＝0 的交点(8，10)时，
z 取得最大值 40，即 8a＋10b＝40，即 4a＋5b＝20，所以5
a
＋1
b
＝5
a
＋1
b
×4a＋5b
20
＝5
4
＋5b
4a
＋ a
5b
≥
5
4
＋1＝9
4
，当且仅当 a＝10
3
，b＝4
3
时取等号．
