高中数学高考复习导数及其应用

高中数学高考复习导数及其应用

高中数学高考综合复习专题三十八导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数 在点 及其附近有定义，当自变量 x 在 处 有 增 量 △ x （ △ x 可 正 可 负 ）， 则 函 数 y 相 应 地 有 增 量 ，这两个增量的比 ，叫做函 数 在点 到 这间的平均变化率。如果 时， 有极限，则说函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在 点 处 的 导 数 （ 或 变 化 率 ）， 记 作 ， 即 。 （Ⅱ）如果函数 在开区间（ ）内每一点都可导，则说 在开区间（ ）内可导，此时，对于开区间（ ）内每一个确定 的值 ，都对应着一个确定的导数 ，这样在开区间（ ） 内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 在开区间（ ） 内 的 导 函 数 （ 简 称 导 数 ）， 记 作 或 ， 即 。 认知： （Ⅰ）函数 的导数 是以 x 为自变量的函数，而函数 在点 处的导数 是一个数值； 在点 处的导数 是 的导函数 当 时的函数值。 （Ⅱ）求函数 在点 处的导数的三部曲： ①求函数的增量 ； ②求平均变化率 ； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函 数 在 点 处 的 导 数 ， 是 曲 线 在 点 处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数 在点 处可导，则 在点 处连续； 若函数 在开区间（ ）内可导，则 在开区间（ ） 内连续（可导一定连续）。 事 实 上 ， 若 函 数 在 点 处 可 导 ， 则 有 此 时 ， 记 ,则有 即 在点 处连续。 （Ⅱ）若函数 在点 处连续，但 在点 处不一定可 导（连续不一定可导）。 反例： 在点 处连续，但在点 处无导数。 事实上， 在点 处的增量 当 时， ， ； 当 时， ， 由此可知， 不存在，故 在点 处不可导。 2、求导公式与求导运算法则 （1）基本函数的导数（求导公式） 公式 1 常数的导数： （c 为常数），即常数的导数等于 0。 公式 2 幂函数的导数： 。 公式 3 正弦函数的导数： 。 公式 4 余弦函数的导数： 公式 5 对数函数的导数： （Ⅰ） ； （Ⅱ） 公式 6 指数函数的导数： （Ⅰ） ； （Ⅱ） 。 （2）可导函数四则运算的求导法则 设 为可导函数，则有 法则 1 ； 法则 2 ； 法则 3 。 3、复合函数的导数 （1）复合函数的求导法则 设 ， 复合成以 x 为自变量的函数 ，则 复合函数 对自变量 x 的导数 ，等于已知函数对中间变量 的导数 ，乘以中间变量 u 对自变量 x 的导数 ， 即 。 引申：设 ， 复合成函数 ， 则 有 （2）认知 （Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外 向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出 ，由第一层中 间变量 的函数结构设出 ，由第二层中间变量 的函数结构设出 ，由此一层一层分析，一直到最里层的中间 变量 为自变量 x 的简单函数 为止。于是所给函数便“分解” 为若干相互联系的简单函数的链条： ； （Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路 ①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给 函数“分解”为相互联系的若干简单函数； ②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述 求导法则和基本公式求； ③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函 数，并作以适当化简或整理。 二、导数的应用 1、函数的单调性 （1）导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数 在某个区间内可导，则若 为 增函数；若 为减函数；若在某个区间内恒有 ， 则在这一区间上为常函数。 （2）利用导数求函数单调性的步骤 （Ⅰ）确定函数 的定义域； （Ⅱ）求导数 ； （Ⅲ）令 ，解出相应的 x 的范围 当 时， 在相应区间上为增函数；当 时 在相应区间上为减函数。 （3）强调与认知 （Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域 D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域 D。若由不等式 确定的 x 的取值集合为 A，由 确定的 x 的取值范围为 B，则 应用 ； （Ⅱ）在某一区间内 （或 ）是函数 在这一 区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程 的 根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除 去确定 的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导 点，它们也可能是增、减区间的分界点。 举例： （1） 是 R 上的可导函数，也是 R 上的单调函数，但是 当 x=0 时， 。 （2） 在点 x=0 处连续，点 x=0 处不可导，但 在（-∞， 0）内递减，在（0，+∞）内递增。 2、函数的极值 （1）函数的极值的定义 设函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点，都 有 ， 则 说 是 函 数 的 一 个 极 大 值 ， 记 作 ； 如果对 附近的所有点，都有 ，则说 是函数 的一个极小值，记作 。 极大值与极小值统称极值 认知：由函数的极值定义可知： （Ⅰ）函数的极值点 是区间 内部的点，并且函数的极值 只有在区间内的连续点处取得； （Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多 个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极 大值； （Ⅲ）当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时，函 数 在 内的极大值点，极小值点交替出现。 （2）函数的极值的判定 设函数 可导，且在点 处连续，判定 是极大（小） 值的方法是 （Ⅰ）如果在点 附近的左侧 ，右侧 ，则 为极大值； （Ⅱ）如果在点 附近的左侧 ，右侧 ，则 为极小值； 注意：导数为 0 的不一定是极值点，我们不难从函数 的 导数研究中悟出这一点。 （3）探求函数极值的步骤： （Ⅰ）求导数 ； （Ⅱ）求方程 的实根及 不存在的点； 考察 在上述方程的根以及 不存在的点左右两侧的符 号：若左正右负，则 在这一点取得极大值，若左负右正，则 在这一点取得极小值。 3、函数的最大值与最小值 （1）定理 若函数 在闭区间上连续，则 在 上必有最大值和最 小值；在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值。 认知： （Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最 大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数 在整个定义区间上所有函数值中的最小值。 （Ⅱ）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的 （具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值 是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小） 值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。 （Ⅲ）若 在开区间 内可导，且有唯一的极大（小）值， 则这一极大（小）值即为最大（小）值。 （2）探求步骤： 设函数 在 上连续，在 内可导，则探求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下： （ I ）求 在 内的极值； （ II ）求 在定义区间端点处的函数值 ， ； （ III ）将 的各极值与 ， 比较，其中最大者为所 求最大值，最小者为所求最小值。 引申：若函数 在 上连续，则 的极值或最值也可能 在不可导的点处取得。对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述 步骤简化： （ I ）求出 的导数为 0 的点及导数不存在的点（这两种点 称为可疑点）； （ II ）计算并比较 在上述可疑点处的函数值与区间端点处 的函数值，从中获得所求最大值与最小值。 （3）最值理论的应用 解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本 解题思路为： （ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联 系，引入变量，建立适当的函数关系； （ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值； （ III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答 所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点 满足 ，并且 在点 处有极大（小）值，而所给实际问题又 必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。 四、经典例题 例 1、设函数 在点 处可导，且 ，试求 （1） ； （2） ； （3） ； （4） （ 为常数）。 解：注意到 当 ） （1） ； （ 2 ） =A+A=2A （3）令 ，则当 时 ， ∴ （4） 点评：注意 的本质，在这一定义中， 自变量 x 在 处的增量 的形式是多种多样的，但是，不论 选 择哪一种形式，相应的 也必须选择相应的形式，这种步调的一致 是求值成功的保障。 若 自 变 量 x 在 处 的 增 量 为 ， 则 相 应 的 ， 于是有 ； 若令 ，则又有 例 2、 （1）已知 ，求 ； （2）已知 ，求 解： （1）令 ，则 ，且当 时， 。 注意到这里 ∴ （2）∵ ∴ ① 注意到 ， ∴由已知得 ② ∴由①、②得 例 3、求下列函数的导数 （ 1 ） ； （ 2 ） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） 解： （1） （2） ， ∴ （3） ， ∴ （4） ， ∴ （5） ， ∴ （6） ∴当 时， ； ∴当 时， ∴ 即 。 点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先 对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商 的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先 变后求”的手法显然更为灵巧。 例 4、在曲线 C： 上，求斜率最小的切线所对 应的切点，并证明曲线 C 关于该点对称。 解： （1） ∴当 时， 取得最小值-13 又当 时， ∴斜率最小的切线对应的切点为 A（2，-12）； （2）证明：设 为曲线 C 上任意一点，则点 P 关于点 A 的对称点 Q 的坐标为 且有 ① ∴将 代入 的解析式得 ， ∴点 坐标为方程 的解 ∴ 注意到 P，Q 的任意性，由此断定曲线 C 关于点 A 成中心对称。 例 5、已知曲线 ，其中 ，且均 为可导函数， 求证：两曲线在公共点处相切。 证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的 切线重合， 设上述两曲线的公共点为 ，则有 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 于是，对于 有 ； ① 对于 ，有 ② ∴由①得 ， 由②得 ∴ ，即两曲线在公共点处的切线斜率相等， ∴两曲线在公共点处的切线重合 ∴两曲线在公共点处相切。 例 6、 （1）是否存在这样的 k 值，使函数 在 区间（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，若存在，求出这样的 k 值； （2）若 恰有三个单调区间，试确定 的取值范围， 并求出这三个单调区间。 解： （1） 由题意，当 时 ，当 x∈(2,+∞) 时 ， ∴由函数 的连续性可知 ， 即 整理得 解得 或 验证： （Ⅰ）当 时， ∴若 ，则 ；若 ， 则 ， 符合题意； （Ⅱ）当 时， ， 显然不合题意。 于是综上可知，存在 使 在（1，2）上递减，在（2， +∞）上递增。 （2） 若 ，则 ，此时 只有一个增区间 ， 与题设矛盾； 若 ，则 ，此时 只有一个增区间 ，与题 设矛盾； 若 ，则 并且当 时， ； 当 时， ∴综合可知，当 时， 恰有三个单调区间： 减区间 ；增区间 点评：对于（1），由已知条件得 ，并由此获得 k 的可能 取值，进而再利用已知条件对所得 k 值逐一验证，这是开放性问题 中寻求待定系数之值的基本策略。 例 7、已知函数 ，当且仅当 时， 取得极值，并且极大值比极小值大 4. （1）求常数 的值； （2）求 的极值。 解： （1） ， 令 得方程 ∵ 在 处取得极值 ∴ 或 为上述方程的根， 故有 ∴ ，即 ① ∴ 又∵ 仅当 时取得极值， ∴方程 的根只有 或 ， ∴方程 无实根， ∴ 即 而当 时， 恒成立， ∴ 的正负情况只取决于 的取值情况 当 x 变化时， 与 的变化情况如下表： 1 (1，+∞) + 0 — 0 + 极大值 极小值 ∴ 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 。 由题意得 整理得 ② 于是将①，②联立，解得 （2）由（1）知， 点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与 的关系， 立足研究 的根的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法， 这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数 ”与“ 在 处取得极值”的必要关系。 例 8、 （1）已知 的最大值为 3，最小值为 -29，求 的值； （2）设 ，函数 的最大值为 1， 最小值为 ，求常数 的值。 解： （1）这里 ，不然 与题设矛盾 令 ，解得 或 x=4（舍去） （Ⅰ）若 ，则当 时， ， 在 内递 增； 当 时， ， 在 内递减 又 连续，故当 时， 取得最大值 ∴由已知得 而 ∴此时 的最小值为 ∴由 得 （Ⅱ）若 ，则运用类似的方法可得 当 时 有最小 值，故有 ； 又 ∴当 时， 有最大值， ∴由已知得 于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求 或 （2） ， 令 得 解得 当 在 上变化时， 与 的变化情况如下表： -1 (-1,0) 0 1 + 0 — 0 + 极大值 极小值 ∴当 时， 取得极大值 ；当 时， 取得极小 值 。 由 上 述 表 格 中 展 示 的 的 单 调 性 知 ∴ 最大值在 与 之中， 的最小值在 和 之中， 考察差式 ， 即 ， 故 的最大值为 由此得 考察差式 ，即 ， ∴ 的最小值为 由此得 ，解得 于是综合以上所述得到所求 。 五、高考真题 （一）选择题 1、设 ， ， ，…， ， ，则 （ ）。 A 、 B 、 C 、 D、 分析：由题意得 ， ， ， ， ∴ 具有周期性，且周期为 4， ∴ ，应选 C。 2、函数 有极值的充要条件为（ ） A、 B、 C、 D、 分析： ∴当 时， 且 ； 当 时，令 得 有解， 因此 才有极值，故应选 C。 3、设 ， 分别是定义在 R 上的奇导数和偶导数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集 是（ ） A、（-3，0）∪（3，+∞） B、（-3，0）∪（0，3） C、（-∞，-3）∪（3，+∞） D、（-∞，-3）∪（0，3） 分析：为便于描述，设 ，则 为奇导数，当 时， ，且 ∴根据奇函数图象的对称性知， 的解集为（-∞，-3）∪ （0，3），应选 D。 二、填空题 1 过原点作曲线 的切线，则切点坐标为 ，切 线的斜率为 。 分析：设切点为 M ，则以 M 为切点的切线方程为 ∴由曲线过原点得 ，∴ ， ∴切点为 ，切线斜率为 。 点评：设出目标（之一）迂回作战，则从切线过原点切入，解题 思路反而简明得多。 2 曲线 在点 处的切线与 x 轴，直线 所围成 的三角形面积为 ，则 = 。 分析： ∴曲线 在点 处的切线方程为 即 切线与 x 轴交点 ， 又直线 与切线交点纵坐标为 ， ∴上述三角形面积 ， 由此解得 即 3 曲 线 与 在 交 点 处 的 切 线 夹 角 是 （以弧度数作答） 分析：设两切线的夹角为 ，将两曲线方程联立，解得交点坐 标为 又 ， 即两曲线在点 处的切线斜率分别为-2，3 ∴ ， ∴ ，应填 。 （三）解答题 1 已知 ，讨论导数 的极值点的个数。 解析：先将 求导， 即 。 当 时， 有两根，于是 有两极值点。 当 时， ， 为增函数， 没极值点。 本题考查导数的应用以及二次方程根、“ ”等知识。 解答： 令 ，得 1、当 即 或 时，方程 有两个不同的实根 、 ， 不防设 ， 于是 ，从而有下表： + 0 — 0 + ↗ 为极大值 ↘ 为极小值 ↗ 即此时 有两个极值点； 2、当 即 时，方程 有两个相 同的实根 ， 于是 ，故当 时， ；当 时， ，因此 无极值； 3、当 即 时， ， 而 ， 故 为增函数。此时 无极值； ∴当 时， 有两个极值点；当 时， 无 极值点。 2 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 。 （Ⅰ）求函数 的解析式； （Ⅱ）求函数 的单调区间。 解析： （1）由 在切线上，求得 ，再由 在 函数图象上和 得两个关于 的方程。 （2）令 ，求出极值点， 求增区间， 求 减区间。 此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。 解答 （Ⅰ）由函数 的图象在点 处的切线方程为 知： ，即 ， ∴ 即 解得 所以所求函数解析式 （Ⅱ） 令 解得 当 或 时， 当 时， 所 以 在 内 是 减 函 数 ， 在 内是增函数。 3 已知 是函数 的一个极值点，其 中 （Ⅰ）求 与 的关系表达式； （Ⅱ）求 的单调区间； （Ⅲ）当 时，函数 的图象上任意一点的切线斜率 恒大于 3m，求 的取值范围。 解析：（1）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究 函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想，第 2 小题要根据 的符号，分类讨论 的单调区间；第 3 小题是二次三项式在一个 区间上恒成立的问题，用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式 在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想。 解答： （Ⅰ） ， 是函数 的一个极值 点 ∴ ∴ ； （ Ⅱ ） 令 ，得 与 的变化如下表： 1 — 0 + 0 — 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 因此， 的单调递减区间是 和 ； 的单调 递增区间是 ； （ Ⅲ ） 由 （ Ⅱ ） 即 令 ， 且 ， 即 m 的取值范围是 。 4 已知函数 。 （Ⅰ）求 的单调区间和值域； （Ⅱ）设 ，函数 ，若对于任意 ，总存在 ，使得 成立，求 的取值范围。 解析：本题考查导数的综合运用，考查综合运用数学知识解决问 题能力，考查思维及推理能力以及运算能力，本题入手点容易， （Ⅰ）中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为 工具， （Ⅱ）是三次函数问题，因而导数法也是首选，若 成 立，则二次函数值域必满足 关系，从而达到求解目的。 解： （Ⅰ）由 得 或 。 ∵ ∴ （舍去） 则 ， ， 变化情况表为： 0 1 — 0 + ↘ ↗ 因而当 时 为减函数；当 时 为增函数； 当 时， 的值域为 ； （Ⅱ） 因此 ，当 时 因 此 当 时 为 减 函 数 ， 从 而 当 时 有 又 ，即当 时有 任给 ， ，存在 使得 则 由（1）得 或 ，由（2）得 又 故 的取值范围为 。 5 已知 ，函数 （1）当 为何值时， 取得最小值？证明你的结论； （2）设 在 上是单调函数，求 的取值范围。 解析：本题考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方 法及推理和运算能力，本题（Ⅰ）常规题型，方法求 ，解 的根，列表，确定单调性，并判断极值点，对（Ⅱ）由（Ⅰ） 在 上单调，而 ，因此只要 即 满足题设条件，从中解出 的范围。 解答：（Ⅰ） 令 则 从而 ，其中 当 变化时, ， 的变化情况如下表 + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴ 在 处取得极大值， 处取得极小值 当 时 ， ，且 在 为减函数，在 为增函数 而当 时 ，当 时 ∴当 时 取最小值； （Ⅱ）当 时 在 上为单调函数的充要条件是 ，解得 综上， 在 上为单调函数的充要条件为 , 即 的取值范围为） 。 6.已知 ，函数 （Ⅰ）当 时，求使 成立的 成立的 的集合； （Ⅱ）求函数 在区间 上的最小值。 答案： （Ⅰ）｛0，1， ｝ （Ⅱ） 解答： （Ⅰ）由题意， , 当 时 ,解得 或 ， 当 时 ，解得 综上，所求解集为｛0,1,1+ ｝ (Ⅱ)设此最小值为 m ① 当 时，在区间［1，2］上， ， 因为 ）， 则 是区间［1，2］上的增函数，所以 ② 时，在区间［1，2］， 由 知 ； ③ 当 时，在区间［1，2］上， 如果 在区间（1，2）内， 从而 在区间［1，2］上为增函数，由此得 ； 如果 则 。 当 时， ，从而 为区间［1， ］上的增 函数； 当 时， ，从而 为区间［ ，2］上的 减函数 因此，当 时， 或 。 当 时， 故 当 时 . 综上所述,所求函数的最小值 7、 (Ⅰ)设函数 求 的最小 值; ( Ⅱ ) 设 正 数 满 足 ， 证 明 。 解析：本题考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数 学知识解决问题的能力。（Ⅰ）已知函数为超越函数，若求其最小值， 则采用导数法，求出 ，解 得 ，再判 断 与 时 的符号，确定 为极小值点，也是函数的 最小值，对（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明，但由 到 过 渡是难点。 解答： （Ⅰ）函数 f（x）的定义域为（0，1） 令 当 时，f′(x)<0, ∴f(x)在区间 是减函数； 当 时，f′(x)>0, ∴f(x)在区间 是增函数。 ∴f（x）在 时取得最小值且最小值为 (Ⅱ)用数学归纳法证明 （i）当 n=1 时，由（Ⅰ）知命题成立； (ii)假定当 n=k 时命题成立，即若正数 满足 ,则 当 n=k+1 时，若正数 满足 令 , 则 为正数，且 由归纳假定知 ① 同理，由 ,可得 ≥(1－x)(－k)+(1－x)log2(1－x). ② 综合①、②两式 ≥[x+(1－x)](－k)+xlog2x+(1－x)log2(1－x) ≥－(k+1). 即当 n=k+1 时命题也成立。 根据（i）、(ii)可知对一切正整数 n 命题成立。 8 函数 在区间 内可导，导函数 是减函数，且 ，设 ， 是曲线 在点 处的 切线方程，并设函数 （Ⅰ）用 、 、 表示 m； （Ⅱ）证明：当 时, （Ⅲ）若关于 x 的不等式 在 上恒成立， 其中 a、b 为实数，求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系。 解答： （ I ） 在 点 处 的 切 线 方 程 为 即 因而 ； (Ⅱ)证明：令 ，则 因为 递减，所以 递增,因此，当 时， ； 当 时， ， 所以 是 唯一的极值点，且是极小值点，可知 的最小 值为 0 因此 0 即 ； （Ⅲ） 解法一： 是不等式成立的必要条件，以下设此条件 成立。 ，即 对任意 成立的充要 条件是 ， 另一方面，由于 满足前述题设中关于 的条件， 利用(Ⅱ)的结果可知， 的充要条件是：过点 与曲 线 相切的直线的斜率不大于 ， 该切线的方程为： ， 于是 的充要条件是 综上，不等式 对任意 成立的充要条 件是 ① 显然，存在 使①式成立的充要条件是：不等式 ② 有解，解不等式②得 ③ 因此，③式即为 的取值范围，①式即为实数 与 所满足的 关系。 （Ⅲ） 解法二： 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此 条件成立。 ，即 对任意 成立的充要条 件是 令 ，于是 对任意 成立的充 要条件是 。 由 得 当 时， ；当 时， ，所以，当 时， 取最小值。因此 成立的充要条件是 ，即 综上，不等式 对任意 成立的充要条件 是 ① 显然，存在 a、b 使①式成立的充要条件是：不等式 ② 有 解 ， 解 不 等 式 ② 得 ③ 因此，③式即为 b 的取值范围，①式即为实数 a 与 b 所满足的 关系。 点评：本题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以 及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的关系，考查考生的学习能 力，抽象思维能力，以及综合运用数学基本关系解决问题的能力。对 （Ⅰ），曲线 在点 处切线斜率为 ，切线方 程为 ， 即 ，因而 ；对（Ⅱ） 即证明 在 时恒成立，构造函数 则 ∵ ∴ ∴ ，则 由 递减 ∴ 递增，则当 时 ， 当 时， ， 则 是 的极值点，且为极小值点， 所 以 极 小 值 为 ，即 恒成立， 因而 ；对（Ⅲ）有两种思考方法，是该题难点，其求 解过程比较详细。 9．设点 和抛物线 其中 由以下方法得到： ，点 在抛物线 上，点 到 的距离是 到 上点的最短 距离，…，点 在抛物线 上，点 到 的距离是 到 上点的最短距离。 （Ⅰ）求 及 的方程； （Ⅱ）证明 是等差数列。 解答： （Ⅰ）由题意得 设点 是 上任一点 则 令 则 由题意得： 即 又 在 上，∴ 解得 故 方程为： （Ⅱ）设点 是 上任意一点。 则 令 由题意得 即 又∵点 在 上 ∴ ∴ 即 下面用数学归纳法证明： ①当 n=1 时， ，等式成立。 ②假设 n=k 时，等号成立，即 则当 n=k+1 时，由（*）知： 又 ∴ 即当 n=k+1 时，等式成立 由①②知，等式 成立 ∴ 是等差数列 点评： （Ⅰ）设 为 上任一点 ∵ ，换句话说：在点 处 取得最小值。 令 ∴ 此为关键 （Ⅱ）方法同（Ⅰ）推导出： 然后用数 学归纳法证明。 10. 已知函数 （Ⅰ）求函数 的反函数 及 的导数 ； （Ⅱ）假设对任意 ， 不等式 成立，求实数 m 的取值范围。 解答： （Ⅰ）解：由 ，得 ， 所以 （Ⅱ） 解法 1 由 ，得 即 对 于 恒 有 ① 设 ，于是不等式①化为 ② 当 ， 、 时， ， ， 所以 都是增函数。 因此当 时， 的最大值为 的最小值为 而不等式②成立当且仅当 ，即 ， 于是得 解法 2：由 ，得 ， 设 ， 于是原不等式对于 恒成立等价于 ③ 由 ， ， 注意到 ，故有 ， ， 从而可知 与 均在 上单调递增， 因 此 不 等 式 ③ 成 立 当 且 仅 当 ， 即