高中数学 3_1_4课时同步练习 新人教A版选修2-1

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高中数学 3_1_4课时同步练习 新人教A版选修2-1

第3章 ‎‎3.1.4‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.已知A、B、C、D、E是空间五点,若{,,}、{,,A}均不能构成空间的一个基底,则在下列各结论中,正确的结论共有(  )‎ ‎①{A,A,}不构成空间的一个基底;‎ ‎②{,A,A}不构成空间的一个基底;‎ ‎③{B,,D}不构成空间的一个基底;‎ ‎④{A,C,E}构成空间的一个基底.‎ A.4个            B.3个 C.2个 D.1个 解析: 由A、A、A与、A、A均不能构成空间的一个基底可知A、A、A、A为共面向量,即A、B、C、D、E五点共面,故①②③为真命题.‎ 答案: B ‎2.给出下列命题:‎ ‎①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底;‎ ‎②若a∥b,则a,b与任一个向量都不能构成空间的一个基底;‎ ‎③A、B、C、D是空间四点,若B,B,B不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.‎ 其中正确命题的个数是(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 解析: ①②③都是真命题.‎ 答案: D ‎3.若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=αa+βb+γc,则α,β,γ分别为(  )‎ A.,-1,- B.,1, C.-,1,- D.,1,- 解析: d=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)‎ ‎=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3‎ 又∵d=e1+2e2+3e3,‎ ‎∴,‎ ‎∴ 答案: A ‎4.如图所示,已知平行六面体OABC-O′A′B′C′,=a,=c,′=b,D是四边形OABC的中心,则(  )‎ A.=-a+b+c ‎ B.=-b-a-c C.=a-b-c ‎ D.=a-b+c 解析: =+ ‎=+ ‎=+(+)‎ ‎=a-b+c.‎ 答案: D 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,则从以下各向量a、b、c、a+b、a-b、a+c、a-c、b+c、b-c中选出三个向量,有些可构成空间的基底,请你写出三个基底:____________.‎ 答案: ①{c,a+b,a-b} ②{b,a+c,a-c}‎ ‎③{a,b+c,b-c}‎ ‎6.正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,点E、F分别是底面A‎1C1和侧面CD1的中心,若+λ=0(λ∈R),则λ=________.‎ 解析: 如图,连结A‎1C1,C1D,则E在A‎1C1上,F在C1D上,‎ 易知EF綊A1D,‎ ‎∴=,‎ 即E-=0,‎ ‎∴λ=-.‎ 答案: - 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎7.如图所示,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设O=a,O=b,O=c,E、F分别是PC和PB的中点,试用a,b,c表示:B、B、A、E.‎ 解析: 连结BO,则B=B=(B+O)=(c-b-a)=-a-b+c.‎ B=B+C=-a+C=-a+(C+O)‎ ‎=-a-b+c.‎ A=A+P=A+O+(P+O)‎ ‎=-a+c+(-c+b)=-a+b+c.‎ E=C=O=a.‎ ‎8.已知正四面体ABCD棱长为a,试建立恰当的坐标系并表示出各个顶点的坐标.‎ 解析: 过A作AG垂直于平面BCD,‎ 由于AB=AC=AD,所以G为△BCD的中心,‎ 过G作GF∥CD,E为CD的中点,‎ 以G为原点,,G,G分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 因为△BCD的边长为a,‎ 则BE=a,GE=a,‎ 又=,‎ 所以GF=×a=a,‎ 又BG=a,‎ 所以AG==a,‎ 所以A,B,C,‎ D.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9.(10分)如图所示,平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,E、F分别在B1B和D1D上,‎ 且BE=BB1,DF=DD1.‎ ‎(1)证明:A、E、C1、F四点共面;‎ ‎(2)若=x+y+z,‎ 求x+y+z.‎ 解析: (1)证明:∵=++ ‎=+++ ‎=+ ‎=+++=+,‎ ‎∴A、E、C1、F四点共面.‎ ‎(2)∵=-=+-(+)‎ ‎=+-- ‎=-++,‎ ‎∴x=-1,y=1,z=,‎ ‎∴x+y+z=.‎
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