2020年高中数学新教材同步必修第一册 第3章 再练一课 (范围：3
再练一课(范围：3.2)
1．已知函数 f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3 为偶函数，则 f(x)在(－5，－2)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．非单调函数
D．可能是增函数，也可能是减函数
答案 A
解析 ∵f(x)为偶函数，∴m＝0，f(x)＝－x2＋3，
∴f(x)的对称轴为 y 轴，
故 f(x)在(－5，－2)上是增函数．
2．已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上的解析式为 f(x)＝x＋1，下列大小关系正确的是( )
A．f(1)>f(2) B．f(1)>f(－2)
C．f(－1)>f(－2) D．f(－1)
f(a)，则实数 a 的取
值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，1)
C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
答案 B
解析 当 x≥0 时，f(x)＝x2＋2x 是增函数，又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(x)是 R 上
的增函数，所以由 f(3－2a)>f(a)得 3－2a>a，解得 a<1.
5．已知奇函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a0 时，f(x)max＝f(2)＝4，解得 a＝3
8
；
当 a<0 时，f(x)max＝f(－1)＝4，解得 a＝－3.
综上，a＝3
8
或 a＝－3.
8．已知 f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b 是常数)，且 f(－3)＝5，则 f(3)＝________.
答案 －21
解析 令 g(x)＝f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，
∴g(x)为奇函数，
又 g(－3)＝f(－3)＋8＝13，
∴g(3)＝－13，
又 g(3)＝f(3)＋8，∴f(3)＝g(3)－8＝－21.
9．已知函数 f(x)＝2x＋1
x＋1
.
(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
解 (1)因为 f(x)＝2x＋1
x＋1
＝2－ 1
x＋1
，
所以 f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
证明如下：任取 x1，x2∈[1，＋∞)，
且 x10，
所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)0，
所以 f(x)＝－f(－x)＝－(－x2－2x)＝x2＋2x，
所以 a＝1，b＝2，所以 a－b＝－1.
(2)由(1)知，f(x)＝
－x2＋2x，x≥0，
x2＋2x，x<0，
由函数图象特征，知 f(x)在[－1,1]上单调递增，
若函数 f(x)在区间[－1，m－2]上单调递增，
则[－1，m－2]⊆[－1,1]，
所以 m－2>－1，
m－2≤1，
解得 10
的解集为________．
答案 (－2,0)∪(2，＋∞)
解析 依题意画出 f(x)的简图如下，
不等式fx
x >0 可化为 x>0，
fx>0
或 x<0，
fx<0.
即－22.
15．设函数 f(x)在 R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且 f(2a2＋a＋1)0，
2a2－2a＋3＝2 a－1
2 2＋5
2>0，
且 f(2a2＋a＋1)2a2－2a＋3，
即 3a－2>0，解得 a>2
3
，
∴a 的取值范围为
2
3
，＋∞
.
16．已知函数 f(x)的定义域是(0，＋∞)，当 x>1 时，f(x)>0，且 f(x·y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求 f(1)；
(2)证明：f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果 f
1
3 ＝－1，求满足不等式 f(x)－f(x－2)≥2 的 x 的取值范围．
(1)解 令 x＝y＝1，得 f(1)＝2f(1)，
故 f(1)＝0.
(2)证明 令 y＝1
x
，
得 f(1)＝f(x)＋f
1
x ＝0，
故 f
1
x ＝－f(x)．
任取 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x11，故 f
x2
x1 >0，
从而 f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)解 由于 f
1
3 ＝－1，而 f
1
3 ＝－f(3)，故 f(3)＝1.
在 f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令 x＝y＝3，
得 f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.
故所给不等式可化为 f(x)－f(x－2)≥f(9)，
∴f(x)≥f[9(x－2)]，∴x≤9
4.
又 x>0，
x－2>0，
∴2
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