2015年数学理高考课件3-8 正弦定理和余弦定理的应用

2015年数学理高考课件3-8 正弦定理和余弦定理的应用

[ 最新考纲展示 ] 　 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 . 第八节　正弦定理和余弦定理的应用 实际应用中的常用术语 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的． 2 ．利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置． 3 ． 解三角形应用题的两种情形 (1) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解； (2) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程 ( 组 ) ，解方程 ( 组 ) 得出所要求的解． 1. 两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40° ，灯塔 B 在观察站南偏东 60° ，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( 　　 ) A ．北偏东 10° 　　　　　　　 B ．北偏西 10° C ．南偏东 80° D ．南偏西 80° 解析： 由条件及图可知， ∠ A ＝ ∠ B ＝ 40° ，又 ∠ BCD ＝ 60° ，所以 ∠ CBD ＝ 30° ，所以 ∠ DBA ＝ 10° ，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80°. 答案： D 答案： C 3 ．海上有 A ， B ， C 三个小岛，测得 A ， B 两岛相距 10 海里， ∠ BAC ＝ 60° ， ∠ ABC ＝ 75° ，则 B ， C 间的距离是 ________ 海里． 4 ．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成 45° 角，树干也倾斜为与地面成 75° 角，树干底部与树尖着地处相距 20 m ，则折断点与树干底部的距离是 ________ m. 测量距离问题 【 例 1】 　 (2014 年石家庄模拟 ) 如图所示，有两座建筑物 AB 和 CD 都在河的对岸 ( 不知道它们的高度，且不能到达对岸 ) ，某人想测量两座建筑物尖顶 A 、 C 之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线 EF ，用卷尺测得 EF 的长度为 a ，并用测角仪测量了一些角度： ∠ AEF ＝ α ， ∠ AFE ＝ β ， ∠ CEF ＝ θ ， ∠ CFE ＝ φ ， ∠ AEC ＝ γ . 请你用文字和公式写出计算 A 、 C 之间距离的步骤和结果． 反思总结 求距离问题时要注意 (1) 选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解； (2) 确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 高度问题 【 例 2】 　 (2014 年青岛模拟 ) 如图，在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30° ，测得湖中之影的俯角为 45° ，则云距湖面的高度为 ( 精确到 0.1 m)( 　　 ) A ． 2.7 m 　　　　　　 B ． 17.3 m C ． 37.3 m D ． 373 m [ 答案 ] 　 C 反思总结 求解高度问题首先应分清 (1) 在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角； (2) 准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图； (3) 运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用． 变式训练 2. 如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C ，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60° ，再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10 米到位置 D ，测得 ∠ BDC ＝ 45° ，则塔 AB 的高是 ________ 米． 方位角问题 (1) 求此时该外国船只与 D 岛的距离； (2) 观测中发现，此外国船只正以每小时 4 海里的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离 D 岛 12 海里处，不让其进入 D 岛 12 海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值． ( 参考数据： sin 36°52 ′≈ 0.6 ， sin 53°08 ′≈ 0.8) 反思总结 解决方位角问题其关键是弄清方位角概念．结合图形恰当选择正、余弦定理解三角形，同时注意平面图形的几何性质的应用． 变式训练 3. 如图，一船在海上自西向东航行，在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东 α 角，前进 m km 后在 B 处测量该岛的方位角为北偏东 β 角，已知该岛周围 n km 范围内 ( 包括边界 ) 有暗礁，现该船继续东行，当 α 与 β 满足条件 ________ 时，该船没有触礁危险． 答案： m cos α cos β > n sin( α － β ) —— 函数思想在解三角形中的应用 函数思想在解三角形中常与余弦定理应用及函数最值求法相综合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要求考生要有一定的分析问题解决问题的能力． 【 典例 】 　 (2014 年郑州模拟 ) 如图所示，一辆汽车从 O 点出发沿一条直线公路以 50 公里 / 小时的速度匀速行驶 ( 图中的箭头方向为汽车行驶方向 ) ，汽车开动的同时，在距汽车出发点 O 点的距离为 5 公里、距离公路线的垂直距离为 3 公里的 M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？ 答案： 6 本小节结束 请按 ESC 键返回