2021届高考数学一轮复习专题三数列课件

2021届高考数学一轮复习专题三数列课件

专题三　数列 题型 1 等差、等比数列的综合问题 等差数列与等比数列的综合应用常出现在全国高考试卷 中，主要考查等差数列、等比数列的“基本概念、基本公式、 基本性质及基本运算 ” ，对于 S n 与 a n 的关系式，备考复习时应 该予以重视 . 例 2 ： (20 19 年新课标 Ⅱ ) 已知数列 { a n } 和 { b n } 满足 a 1 ＝ 1 ， b 1 ＝ 0,4 a n ＋ 1 ＝ 3 a n － b n ＋ 4,4 b n ＋ 1 ＝ 3 b n － a n － 4. (1) 证明： { a n ＋ b n } 是等比数列， { a n － b n } 是等差数列； (2) 求 { a n } 和 { b n } 的通项公式 . 【 规律方法 】 已知数列前 n 项和与第 n 项的关系，求数列 关于前 n 项和的递推关系或关于第 n 项的递推关系，若满足等 比数列或 等差数列的定义，用等比数列或等差数列的通项公式 求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比数列或等差数列 求通项公式 . 【 跟踪训练 】 解： (1) 设等比数列 { a n } 的公比为 q ，且 q >0 ， 在等比数列 { a n } 中，由 a n >0 ， a 1 a 3 ＝ 4 ，得 a 2 ＝ 2. 　 ① 又 a 3 ＋ 1 是 a 2 和 a 4 的等差中项， ∴ 2( a 3 ＋ 1) ＝ a 2 ＋ a 4 . 　 ② 把 ① 代入 ② ，得 2(2 q ＋ 1) ＝ 2 ＋ 2 q 2 ， 解得 q ＝ 2 或 q ＝ 0( 舍去 ). ∴ a n ＝ a 2 q n － 2 ＝ 2 n － 1 . 则 b n ＝ log 2 a n ＋ 1 ＝ log 2 2 n ＝ n . 题型 2 数列与不等式的综合问题 数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判 断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等 式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明 . 在 解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法， 如比较法、综合法、分析法等 . 如果是解不等式问题，要使用不 等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等 . 解： (1) ∵ 数列 { b n } 满足 b 1 ＝ 1 ， b 2 ＝ 2 ，且 a n b n ＋ b n ＝ nb n ＋ 1 . ∴ n ＝ 1 时， a 1 ＋ 1 ＝ 2 ，解得 a 1 ＝ 1. 又数列 { a n } 是公差为 2 的等差数列， ∴ a n ＝ 1 ＋ 2( n － 1) ＝ 2 n － 1. ∴ 2 nb n ＝ nb n ＋ 1 ，化为 2 b n ＝ b n ＋ 1 ， ∴ 数列 { b n } 是首项为 1 ，公比为 2 的等比数列 . ∴ b n ＝ 2 n － 1 . 【 跟踪训练 】 题型 3 数列中的探索性问题 例 5 ： (20 14 年新课标 Ⅰ ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1 ＝ 1 ， a n ≠ 0 ， a n a n ＋ 1 ＝ λS n － 1 ，其中 λ 为常数 . (1) 证明： a n ＋ 2 － a n ＝ λ ； (2) 是否存在 λ ，使得 { a n } 为等差数列？并说明理由 . 思维点拨： (1) 由相邻两项 a n ， a n ＋ 1 间的递推关系式 a n a n ＋ 1 ＝ λS n － 1 ，得到 a n ＋ 2 － a n ，再利用 a n ＋ 1 ＝ S n ＋ 1 － S n 消去 a n ＋ 1 进行证明； (2) 若 { a n } 为等差数列，则有 2 a 2 ＝ a 1 ＋ a 3 ，故可由此求出 λ ＝ 4 ，进而由 a n ＋ 2 － a n ＝ 4 验证 { a n } 是否为等差数列即可 . (1) 证明： 由题设， a n a n ＋ 1 ＝ λS n － 1 ， a n ＋ 1 a n ＋ 2 ＝ λS n ＋ 1 － 1 ， 两式相减，得 a n ＋ 1 ( a n ＋ 2 － a n ) ＝ λa n ＋ 1 . 由于 a n ＋ 1 ≠ 0 ， ∴ a n ＋ 2 － a n ＝ λ . (2) 解： 由题设 a 1 ＝ 1 ， a 1 a 2 ＝ λS 1 － 1 ，得 a 2 ＝ λ － 1. 由 (1) 知， a 3 ＝ λ ＋ 1. 令 2 a 2 ＝ a 1 ＋ a 3 ，解得 λ ＝ 4. ∴ a n ＋ 2 － a n ＝ 4. 由此可得 { a 2 n － 1 } 是首项为 1 ，公差为 4 的等差数列， a 2 n － 1 ＝ 4 n － 3. { a 2 n } 是首项为 3 ，公差为 4 的等差数列， a 2 n ＝ 4 n － 1. ∴ a n ＝ 2 n － 1 ， a n ＋ 1 － a n ＝ 2. 因此存在 λ ＝ 4 ，使得数列 { a n } 为等差数列 . 【 规律方法 】 探索性问题的类型及解法： ① 条件探索性问题：一般采用分析法，从结论或部分条件 入手，执果索因，导出所需条件，注意这类问题往往要求的是 问题的充分条件，不一定是充要条件 . ② 存在性探索问题：一般假定存在，在这个前提下推理， 若由此推出矛盾，则否定假设，否则给出肯定结论 . ③ 结论探索性问题，由给定的已知条件进行猜想透彻分析， 发现规律，获取结论 . 【 跟踪训练 】