上海市高考二轮数列复习题

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上海市高考二轮数列复习题

数列与不等式结合典型题 ‎1.已知数列中,,其前n项和为,满足,‎ ‎. 数列满足 ‎ (Ⅰ)求数列、的通项;‎ ‎ (Ⅱ)若为数列的前n项和,求证:‎ ‎2.已知定义在(-1,1)上的函数时,有 ‎ (I)判断的奇偶性,并证明之;‎ ‎ (II)令的通项公式;‎ ‎ (III)设Tn为数列的前n项和,问是否存在正整数m,使得对任意的成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,则说明理由.‎ ‎3.(本小题满分14分)‎ 设函数 ‎(Ⅰ)求及定义域;‎ ‎(Ⅱ)若数列的通项公式;‎ ‎(Ⅲ)Sn表示{bn}的前n项和,试比较Sn与的大小.‎ ‎4.(本小题满分14分)‎ 已知数列 ‎ (1)求数列的通项公式;‎ ‎ (2)设,试推断是否存在常数A,B,C,使对一切都 有成立?说明你的理由;‎ ‎ (3)求证:‎ ‎5. 设函数f(x)=(a ÎN*), 又存在非零自然数m, 使得 f(m)= m , f(– m)< –成立.‎ ‎ (1) 求函数f(x)的表达式;‎ ‎ (2) 设{an}是各项非零的数列, 若对任意nÎN*成立, 求数 ‎ 列{an}的一个通项公式;‎ ‎ (3) 在(2)的条件下, 数列{an}是否惟一确定? 请给出判断, 并予以证明 ‎6. 已知函数的图象过点A(1,2)和B(2,5).‎ ‎ (1)求函数的反函数的解析式;‎ ‎ (2)记,试推断是否存在正数k,使得 ‎ 对一切均成立?若存在,求出k的 ‎ 最大值;若不存在,说明理由.‎ ‎7.设向量a =(),b =()(),函数 a·b在[0,1]上的最小值与最大值的和为,又数列{}满足:.‎ ‎ (1)求证:;‎ ‎(2)求的表达式;‎ ‎(3),试问数列{}中,是否存在正整数,使得对于任意的正整数,都有≤成立?证明你的结论.‎ 答案 ‎1.解:(I)时, 1分 ‎ 当 ①‎ ‎ ②‎ ‎ 由②-①,有 2分 ‎ 从而,‎ ‎ ∴数列是以1为首项,为公比的等比数列.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴‎ ‎ (II)当时, 1分 ‎ ∵‎ ‎ , ③‎ ‎ . ④‎ ‎ 由③-④,得 ‎ 1分 ‎ 1分 ‎2.解:(I)令。‎ ‎ 又当时,。‎ ‎ ∴对任意。‎ ‎ 为奇函数。 3分 ‎ (II)‎ ‎ 。‎ ‎ ‎ ‎ 在(-1,1)上是奇函数, ‎ ‎ ‎ ‎ 为首项,以2为公比的等比数列。‎ ‎ ‎ ‎ (III)‎ ‎ ‎ ‎ 假设存在正整数m,使得对任意的,有.‎ ‎ 即.只需 ‎ 故存在正整数m,使得对成立.‎ ‎ 此时m的最小值为10.‎ ‎3.解(Ⅰ)由 ‎∵‎ ‎∴ …………2分 ‎∴ …………6分 ‎(Ⅱ)∵‎ ‎∴ ………………8分 ‎∵ ∴‎ ‎∴‎ ‎ ………………10分 ‎(Ⅲ)∴‎ ‎∵‎ ‎∴当 ‎ …………12分 当 当时,‎ 对于 ……………………14分 ‎4..(满分14分)‎ ‎(1)由已知;‎ 则数列是公比为2的等比数列.‎ 又……………………4分 ‎ (2)‎ ‎,恒成立,则 故存在常数A,B,C,满足条件.………………………………9分 ‎ (3)由(2)知:‎ ‎…………14分 ‎5. (本小题满分14分)‎ ‎(1) 由, 得 2分 由(1)得 m = ,‎ 当a = 2时, m = 2, 满足(2)式;‎ 当a = 3时, m = 1, 不满足(2)式, 舍去. 得f ( x ) = ( x ¹ 1). 3分 ‎(2) 由条件得 ‎∴ an(1 – an) = 2Sn (3) , 2分 令n = 1,得 a1 = –1, ‎ 又an – 1(1 – an – 1 )= 2S n – 1 , ∴(an + a n – 1 )(an + 1 – a n – 1 )= 0,‎ 由an – a n – 1 = – 1 , a1 = –1,得{an}是首项为– 1, 公差为– 1的等差数列,‎ ‎∴ an= – 1 +(n – 1 )( – 1)= – n . 3分 ‎(3)由(2)知,满足条件的数列不惟一.‎ ‎ 考虑到a1 ¹ 1, 由 an = – a n – 1 及an – a n – 1 = – 1和a1 = –1,‎ 构造数列{ –1, –2, 2,–2, –3, – 4, … , – n +2, … }. 2分 用数学归纳法证明,该数列满足(3)式,‎ 当n = 1, 2, 3, 4, 5时,直接代入可得(3)式成立,‎ 假设n = k ( k ³ 5)时,(3)成立, 则n = k + 1时,‎ Sk+1=Sk+ak+1=ak(1 – ak)+ a k + 1 =(1+a k +1)·[1-(1 + ak+1)]+a k + 1 =ak+1(1–a k+1).‎ ‎ 所以n = k + 1时(3)式成立, 即该数列满足题设条件.‎ ‎ 得满足条件的数列不惟一. ‎ 注:构造数列也可能是:‎ ‎{ –1, 1, –1, –2, –3, – 4, … , – n , … };‎ 或{ –1, –2,2, –2, 2, –2, … , (–1) n – 1 2 , … }( n > 1 )等等.‎ ‎6. .解:(1)由已知得…………3分 ‎ 令,由,‎ ‎………………5分 ‎ (2)…………………………………………6分 ‎ 设存在正数k,使成立 ‎ 则,………………………………8分 ‎ 记,则 ‎ ‎ ‎ 是随n的增大而增大………………………………12分 ‎ 即k的最大值为…14分 ‎7.解 (1)证明:a·b =,因为对称轴 ,‎ 所以在[0,1]上为增函数,。‎ ‎(2)解:由 ‎ 得 ‎ 两式相减得,‎ ‎ 当时, ‎ 当≥2时, ‎ 即 ‎ ‎(3)解:由(1)与(2)得 设存在正整数,使得对于任意的正整数,都有≤成立,‎ 当时, ‎ 当≥2时,,‎ 所以当时,,‎ 当时,, ‎ 当时, ‎ 所以存在正整数,使得对于任意的正整数,都有≤成立. ‎
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