【数学】2020届一轮复习北师大版数列的概念与简单的表示法作业
1.(2018浙江台州第一次调考,6)设数列{an},{bn}满足an+bn=700,an+1=an+bn,n∈N*,若a6=400,则( )
A.a4>a3 B.b4
b3 D.a40,+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.
解析 (1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3.
可得-+2(an+1-an)=4an+1,
即2(an+1+an)=-=(an+1+an)(an+1-an).
由于an>0,可得an+1-an=2.
又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.
所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.
(2)由an=2n+1可知
bn===.
设数列{bn}的前n项和为Tn,则
Tn=b1+b2+…+bn
=
=.
C组 教师专用题组
考点 数列的概念及表示方法
1.(2014课标Ⅱ,16,5分)数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1= .
答案
2.(2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是 .
答案 an=
3.(2016课标全国Ⅲ,17,12分)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
解析 (1)由题意得a2=,a3=.(5分)
(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).
因为{an}的各项都为正数,所以=.
故{an}是首项为1,公比为的等比数列,因此an=.(12分)
思路分析 (1)根据数列的递推公式,由a1可求出a2,由a2求出a3.(2)把递推公式因式分解得出{an}是等比数列,求出其通项公式.
4.(2014大纲全国,17,10分)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.
(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
解析 (1)证明:由an+2=2an+1-an+2得,
an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.
又b1=a2-a1=1.
所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.
于是
所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.
又a1=1,所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.
5.(2014湖南,16,12分)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.
解析 (1)当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n.
当n=1时,a1=1也适合上式,
故数列{an}的通项公式为an=n(n∈N*).
(2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn,记数列{bn}的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).
记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,
则A==22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.
故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.
评析 本题考查数列的前n项和与通项的关系,数列求和等知识,含有(-1)n的数列求和要注意运用分组求和的方法.
6.(2014江西,17,12分)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.
解析 (1)由Sn=,得a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2.
经验证,a1=1符合an=3n-2,
所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.
(2)证明:要使a1,an,am成等比数列,只需要=a1·am,
即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2,
而此时m∈N*,且m>n,
所以对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.
7.(2014广东,19,14分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
解析 (1)依题有
解得a1=3,a2=5,a3=7.
(2)∵Sn=2nan+1-3n2-4n,①
∴当n≥2时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).②
①-②并整理得an+1=(n≥2).
由(1)猜想an=2n+1,下面用数学归纳法证明.
当n=1时,a1=2+1=3,命题成立;当n=2时,a2=2×2+1=5,命题成立;
假设当n=k时,ak=2k+1命题成立.
则当n=k+1时,ak+1=
=
=2k+3=2(k+1)+1,
即当n=k+1时,结论成立.
综上,∀n∈N*,an=2n+1.
【三年模拟】
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2019届浙江“超级全能生”9月联考,10)已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),设bn=,则b100=( )
A.3-198 B. C. D.
答案 C
2.(2018浙江镇海中学阶段测试,8)已知数列{an}满足a1=,an+1=-an+1(n∈N*),则m=++…+的整数部分是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
3.(2018浙江宁波模拟,5)记Sn为数列{an}的前n项和.对“任意正整数n,均有an>0”是“{Sn}为递增数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
二、填空题(单空题4分,多空题6分,共22分)
4.(2019届浙江温州普通高中适应性测试,16)已知数列{an}满足an+1=an+kan-1(n∈N*,n≥2),且2a1=a2=-2a4=2,则an的最大值为 .
答案 2
5.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),13)已知数列{an}满足:a1=3,an+1=-2an+2,则a3= ;an= .
答案 17;+1
6.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),14)有一个著名的猜想叫“3X+1猜想”,它是说:任给一个正整数,如果它是偶数,就将它减半;如果它是奇数,则将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.如初始正整数为5,按照上述变换规则,我们得到一个数列:5,16,8,4,2,1,….那么,当初始正整数为2时,按照上述规则进行变换(注:1可以多次出现),第8项为 ; 如果对正整数n(首项)按照上述规则进行变换(注:1可以多次出现)后的第8项为1,则n的所有可能值的集合为 .
答案 1;{2,3,16,20,21,128}
7.(2018浙江温州二模(3月),14)若递增数列{an}满足:a1=a,a2=2-a,an+2=2an,则实数a的取值范围为 ,记数列{an}的前n项和为Sn,则S2n= .
答案 0⇒=,
∴an=···…··a1=···…·×1=n.
故数列{an}的通项公式为an=n.
(2)证明:bn=n+,故不等式++…+≤+ln n等价于+++…+≤+ln n.
设Tn=+++…+--ln n,则
Tn+1=+++…++--ln(n+1).
所以Tn+1-Tn=+ln n-ln(n+1)=-ln.
又当x>0时,有不等式ln(1+x)>x-,令x=,有ln>-,
所以Tn+1-Tn=-ln<-+
=-<0.
因此Tn
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