高考数学试题分类汇编数列

高考数学试题分类汇编数列

‎2005年高考试题分类解析（数列部分）‎ 选择题 ‎1. （广东卷）已知数列满足，，…．若，则(B)‎ ‎（Ａ）（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５‎ ‎2. （福建卷）3．已知等差数列中，的值是 （ A ）‎ ‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ ‎3. （湖南卷）已知数列满足，则= （B ）‎ ‎ A．0 B． C． D． ‎4. （湖南卷）已知数列{log2(an－1)}（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则 ‎　　= （C）‎ ‎　　A．2　　 B．　　 C．1　　 D． ‎5. （湖南卷）设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（C）‎ ‎　　A．sinx　 B．－sinx　 C．cosx　 D．－cosx ‎6. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=(C )‎ ‎ ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189‎ ‎7. (全国卷II) 如果数列是等差数列，则(B )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎8. (全国卷II) 11如果为各项都大于零的等差数列，公差，则(B)‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎9. （山东卷）是首项=1，公差为=3的等差数列，如果=2005，则序号等于(C )‎ ‎（A）667 （B）668 （C）669 （D）670‎ ‎10. （上海）16．用n个不同的实数a1,a2,┄an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3‎ 一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,┄ain,记bi=- ai1+2ai2-3 ai3+┄+(-1)nnain, 1 3 2‎ i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3‎ 是12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+212-312=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1‎ 的数阵中, b1+b2+┄+b120等于 3 1 2‎ 3 ‎2 1‎ ‎ [答]( C )‎ ‎ (A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720‎ ‎11. （浙江卷）＝( C )‎ ‎(A) 2 (B) 4 (C) (D)0‎ ‎12. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( C)‎ ‎ (A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。‎ ‎13. （江西卷）‎ 填空题 ‎1. （广东卷）‎ 设平面内有ｎ条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点．若用表示这ｎ条直线交点的个数，则_____5________；当ｎ＞４时，＝_____________．‎ ‎2. （北京卷）已知n次多项式,‎ ‎ 如果在一种算法中，计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算的值共需要9次运算（6‎ 次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 n(n＋3) 次运算．‎ ‎ 下面给出一种减少运算次数的算法：（k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的 值共需要 2n 次运算．‎ ‎3. （湖北卷）设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 -2 .‎ ‎4. (全国卷II) 在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为___216 __．‎ ‎5. （山东卷） ‎6. （上海）12、用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行，记，。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=_-1080_________。‎ ‎7、计算：=_3 _________。‎ ‎8. （天津卷）设,则 ‎9. （天津卷）在数列{an}中, a1=1, a2=2,且，则=_2600_ ___.‎ ‎10. (重庆卷)= -3 .‎ 解答题[来源:学科网ZXXK]‎ ‎1.（北京卷）设数列{an}的首项a1=a≠，且, ‎ 记，n＝＝l，2，3，…·．‎ ‎（I）求a2，a3；‎ ‎（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎（III）求．‎ 解：（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；‎ ‎（II）∵ a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,‎ 所以b1=a1－=a－, b2=a3－=(a－), b3=a5－=(a－),‎ 猜想：{bn}是公比为的等比数列·‎ ‎ 证明如下：‎ ‎ 因为bn+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn, (n∈N*)‎ ‎ 所以{bn}是首项为a－, 公比为的等比数列·‎ ‎ （III）.‎ ‎2.（北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求 ‎ （I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；‎ ‎ （II）的值.‎ 解：（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得 ，，，‎ 由（n≥2），得（n≥2），‎ 又a2=，所以an=(n≥2),‎ ‎∴ 数列{an}的通项公式为；‎ ‎（II）由（I）可知是首项为，公比为项数为n的等比数列，∴ = ‎3．（福建卷）已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.‎ ‎ （Ⅰ）求q的值；‎ ‎（Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.‎ 解：（Ⅰ）由题设 ‎（Ⅱ）若 当 故 若 当[来源:Zxxk.Com]‎ 故对于 ‎4. （福建卷）已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列： ‎（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；‎ ‎（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1, bn+1=，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；‎ ‎（Ⅲ）若，求a的取值范围.‎ ‎ （I）解法一： ‎ 故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}‎ ‎5. （湖北卷）设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且 ‎ （Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设，求数列的前n项和Tn.‎ 解：（1）：当 故{an}的通项公式为的等差数列.‎ 设{bn}的通项公式为 故 ‎（II） 两式相减得 ‎6. （湖北卷）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 ‎ （Ⅰ）证明 ‎（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；‎ ‎（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有 解：（Ⅰ）证法1：∵当即 ‎ 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n≥3时有， ‎∵ 证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式 ‎ （i）当n=3时， 由 知不等式成立.‎ ‎（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即 则 即当n=k+1时，不等式也成立.‎ 由（i）、（ii）知， 又由已知不等式得 ‎ （Ⅱ）有极限，且 ‎ （Ⅲ）∵ 则有 故取N=1024，可使当n>N时，都有 ‎7. （湖南卷）已知数列为等差数列，且 ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）证明 ‎（I）解：设等差数列的公差为d.‎ ‎ 由即d=1.‎ 所以即 ‎（II）证明因为，‎ 所以 ‎8. （湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.‎ ‎ （Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；‎ ‎ （Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不 要求证明）‎ ‎　 （Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的 ‎ 最大允许值是多少？证明你的结论.‎ 解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 ‎ （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得 ‎ ‎ 因为x1>0，所以a>b.‎ ‎ 猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.‎ ‎ （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*‎ ‎ 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知 ‎ 00.‎ 又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,‎ 所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.‎ 由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).‎ 综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.‎ ‎9. （江苏卷）设数列｛an｝的前项和为,已知a1=1, a2=6, a3=11,且, 其中A,B为常数.‎ ‎(Ⅰ)求A与B的值;‎ ‎(Ⅱ)证明数列｛an｝为等差数列;‎ ‎(Ⅲ)证明不等式.‎ 解：(Ⅰ)由，，，得，，．‎ 把分别代入，得 解得，，．‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，即 ， ①‎ 又． ②‎ ‎②-①得，，‎ 即． ③‎ 又． ④‎ ‎④-③得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，又，‎ 因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列．‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知，．考虑．‎ ．‎ ‎∴．‎ 即，∴．‎ 因此，．‎ ‎10. （辽宁卷）已知函数设数列}满足，数列}满足 ‎ （Ⅰ）用数学归纳法证明；‎ ‎ （Ⅱ）证明 解：（Ⅰ）证明：当 因为a1=1，‎ 所以 ………………2分 下面用数学归纳法证明不等式 ‎ （1）当n=1时，b1=，不等式成立，‎ ‎ （2）假设当n=k时，不等式成立，即 那么 ………………6分 ‎ 所以，当n=k+1时，不等也成立。‎ 根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。 …………8分 ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， 所以 …………10分 故对任意………………（12分）‎ ‎11. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。‎ ‎（Ⅰ）求的通项；‎ ‎（Ⅱ）求的前n项和。‎ 解：（Ⅰ）由 得 即 可得 因为，所以 解得，因而 ‎ （Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故 则数列的前n项和 前两式相减，得 即 ‎12. (全国卷Ⅰ) 设等比数列的公比为，前n项和。‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设，记的前n项和为，试比较与的大小。‎ 解：（Ⅰ）因为是等比数列， 当 上式等价于不等式组： ①‎ 或 ②‎ 解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－10且－1<<0或>0‎ 当或时即 当且≠0时，即 当或=2时，即 ‎13. (全国卷II) 已知是各项为不同的正数的等差数列，、、成等差数列．又，．‎ ‎(Ⅰ) 证明为等比数列；‎ ‎(Ⅱ) 如果数列前3项的和等于，求数列的首项和公差．‎ ‎ (I)证明：∵、、成等差数列 ‎∴2=+，即 又设等差数列的公差为，则(－)=(－3)‎ 这样，从而(－)=0‎ ‎∵≠0‎ ‎∴=≠0‎ ‎∴ ‎∴是首项为=，公比为的等比数列。‎ ‎(II)解。∵ ∴=3 ∴==3‎ ‎14.(全国卷II)已知是各项为不同的正数的等差数列，、、成等差数列．又，．‎ ‎(Ⅰ) 证明为等比数列；‎ ‎(Ⅱ) 如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项和公差．‎ ‎(注：无穷数列各项的和即当时数列前项和的极限)‎ 解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，由 得 ‎ 即，得 因 当=0时，{an}为正的常数列 就有 ‎ 当=时，,就有 于是数列{}是公比为1或的等比数列 ‎（Ⅱ）如果无穷等比数列的公比=1，则当→∞时其前项和的极限不存在。‎ 因而=≠0，这时公比=， ‎ 这样的前项和为 则S= ‎ 由，得公差=3，首项==3‎ ‎15. (全国卷III) 在等差数列中，公差的等差中项.‎ 已知数列成等比数列，求数列的通项 解：由题意得：……………1分 ‎ ‎ 即…………3分 又…………4分 ‎ 又成等比数列,‎ ‎∴该数列的公比为，………6分 ‎ 所以………8分 又……………………………………10分 所以数列的通项为……………………………12分 ‎16. （山东卷）已知数列的首项前项和为，且 ‎（I）证明数列是等比数列；‎ ‎（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.‎ 解：由已知可得两式相减得 即从而当时所以又所以从而 故总有，又从而即数列是等比数列；‎ ‎（II）由（I）知 因为所以 从而= ‎=-= 由上-=‎ =12①‎ 当时，①式=0所以；‎ 当时，①式=-12所以 当时，又 所以即①从而 ‎17．(上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.‎ 假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,‎ ‎(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?‎ ‎(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?‎ ‎ [解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,‎ ‎ 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n,‎ ‎ 令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.‎ 到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.‎ ‎(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,‎ 其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.‎ ‎ 由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.‎ ‎ 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.‎ ‎ 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.‎ ‎18. （天津卷）已知.‎ ‎（Ⅰ）当时，求数列的前n项和；‎ ‎（Ⅱ）求.‎ ‎（18）解：（Ⅰ）当时，．这时数列的前项和 ．　　　①‎ ‎①式两边同乘以，得　　　　 ②　‎ ‎①式减去②式，得　　 若，‎ ，‎ 若， ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），当时，，则．‎ 当时， 此时，．‎ 若，．‎ 若，．‎ ‎19. （天津卷）若公比为c的等比数列｛｝的首项＝1且满足：（＝3，4，…）。‎ ‎ （I）求c的值。‎ ‎（II）求数列｛｝的前项和。‎ ‎20. （浙江卷）已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，了＋1，c＋4成等比数列，求a，b，c．‎ 解：由题意，得 由(1)(2)两式，解得 将代入(3),整理得 解得 或 故,或 经验算，上述两组数符合题意。‎ ‎21（浙江卷）设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：‎ ‎ x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x2＋an x＋bn上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离．‎ ‎ (Ⅰ)求x2及C1的方程．‎ ‎ (Ⅱ)证明{}是等差数列．‎ 解：（I）由题意，得。‎ 设点是上任意一点，则 令 则 由题意，得即 又在上，‎ 解得 故方程为 ‎(II)设点是上任意一点，则 令，则.‎ 由题意得g，即 又 即 （*）‎ 下面用数学归纳法证明 ‎①当n=1时， 等式成立。‎ ‎②假设当n=k时，等式成立，即 则当时，由（*）知 又 即当时，等式成立。‎ 由①②知，等式对成立。‎ 是等差数列。‎ ‎22. (重庆卷)数列{an}满足a1=1且8an+1-16an+1+2an+5=0 (n³1)。记(n³1)。‎ ‎ (1) 求b1、b2、b3、b4的值；‎ ‎ (2) 求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。‎ 解法一：‎ ‎（I） ‎（II）因， 故猜想 因，（否则将代入递推公式会导致矛盾）。 ‎∵ 故的等比数列.‎ , 解法二：（Ⅰ）由 整理得 ‎（Ⅱ）由 所以 故 由得 故 解法三：‎ ‎（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ） 从而 故 ‎23. (重庆卷)数列{an}满足.‎ ‎（Ⅰ）用数学归纳法证明：；‎ ‎（Ⅱ）已知不等式，其中无理数e=2.71828….‎ ‎ （Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立.‎ ‎ （2）假设当时不等式成立，即 那么. 这就是说，当时不等式成立.‎ 根据（1）、（2）可知：成立.‎ ‎（Ⅱ）证法一：‎ 由递推公式及（Ⅰ）的结论有 两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得 即 ‎（Ⅱ）证法二：‎ 由数学归纳法易证成立，故 令 取对数并利用已知不等式得 上式从2到n求和得 因 故成立 ‎24. （江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.‎ 解：方法一：先考虑偶数项有： ‎ ‎ ………‎ ‎ ‎ ‎ 同理考虑奇数项有： ‎………‎ ‎ ‎ 综合可得 ‎ 方法二：因为 ‎ 两边同乘以，可得：‎ 令 所以 ‎………‎ ‎ 又 ‎∴ ‎∴ ‎25. （江西卷）已知数列 ‎（1）证明 ‎（2）求数列的通项公式an.‎ 解：（1）方法一 用数学归纳法证明：‎ ‎1°当n=1时， ‎ ∴，命题正确.‎ ‎2°假设n=k时有[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ 则 ‎ 而 又 ‎∴时命题正确.‎ 由1°、2°知，对一切n∈N时有 方法二：用数学归纳法证明：‎ ‎ 1°当n=1时，∴；[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎ 2°假设n=k时有成立，‎ ‎ 令，在[0，2]上单调递增，所以由假设 有：即 也即当n=k+1时 成立，所以对一切 ‎ （2）下面来求数列的通项： ,‎ 又bn=－1，所以