高三数学二轮复习考前综合测评卷(一)文

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考前综合测评卷(一) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.设集合 A={x|x-1≥0},集合 B={x|2x-x2>0},则 A∩B 等于( ) (A)(0,2) (B)[-1,0) (C)[1,2) (D)⌀ 2.已知 i 是虚数单位,若 a+bi= - (a,b∈R),则 a+b 的值是( ) (A)0 (B)- i (C)- (D) 3.f(x)=Asin(ωx+ )(A,ω, 为常数,A>0,ω>0,0< <π)的图象如图所示,则 f( )等于 ( ) (A)1 (B) (C) (D) 4.一直三棱柱的每条棱长都是 3,且每个顶点都在球 O 的表面上,则球 O 的表面积为( ) (A)21π (B)24π (C)28π (D)36π 5.已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,其上有两点 A(x1,y1),B(x2,y2)满足|AF|-|BF|=2,则 y1+ -y2- 等于( ) (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 6.已知直线 2mx-y-8m-3=0 和圆 C:(x-3)2+(y+6)2=25 相交于 A,B 两点,当弦 AB 最短时,m 的值 为( ) (A)- (B)-6 (C)6 (D) 7.下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=lg(ln x)的定义域与值域相同的是( ) (A)y=ln(x-1) (B)y= (C)y=2x-1 (D)y= 8.执行如图的程序框图,若输入 k 的值为 5,则输出 S 的值为( ) 第 8 题图 (A)14 (B)30 (C)62 (D)32 9.某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积 为( ) (A)4π+16+4 (B)5π+16+4 (C)4π+16+2 (D)5π+16+2 第 9 题图 10.某日,甲、乙二人随机选择早上 6:00～7:00 的某一时刻到达黔灵山公园早锻炼,则甲比乙 提前到达超过 20 分钟的概率为( ) (A) (B) (C) (D) 11.已知函数 f(x)=sin ωx- cos ωx(ω>0)的图象的相邻两对称轴间的距离为 ,则当 x ∈[- ,0]时,f(x)的最大值和单调增区间分别为( ) (A)1,[- ,- ] (B)1,[- ,- ] (C) ,[- ,0] (D) ,[- ,0] 12.已知函数 g(x)= 若方程 g(x)-mx-m=0 有且仅有两个不等的实根,则 实数 m 的取值范围是( ) (A)(- ,-2)∪[0,2] (B)(- ,-2]∪[0,2] (C)(- ,-2]∪[0,2) (D)(- ,-2]∪[0,2) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.设点 P 是△ABC 所在平面内一点,且 + =2 ,则 + = . 14.如图,△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D,P(x,y)为 D 中任意一点,则 z=2x+3y 的最大 值为 . 15.在锐角三角形中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 27( + )= 104cos C,则 = . 16.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试,考试结束后刘老师向四名学 生了解考试情况.四名学生回答如下: 甲说:“我们四人都没考好.” 乙说:“我们四人中有人考得好.” 丙说:“乙和丁至少有一人没考好.” 丁说:“我没考好.” 结果,四名学生中有两人说对了,则这四名学生中的 两人说对了. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 若 An 和 Bn 分别表示数列{an}和{bn}的前 n 项的和,对任意正整数 n,an =2(n+1),3An-Bn=4n. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)记 cn= ,求{cn}的前 n 项和 Sn. 18.(本小题满分 12 分) 如图是某市 2 月 1 日到 14 日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表.某人 随机选择 2 月 1 日至 2 月 13 日中的某一天到该市出差,第二天返回(往返共两天). 空气质量指数 污染程度 小于 100 优良 大于等于 100 且小于 150 轻度 大于等于 150 且小于 200 中度 大于等于 200 且小于 300 重度 大于等于 300 且小于 500 严重 大于等于 500 爆表 (1)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(只写出结论不要求证明) (2)求此人到达当日空气质量优良的概率; (3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率. 19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 A EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面 AEF⊥平面 EFCB,EF=2,四边形 EFCB 是高为 的等腰梯形,EF∥BC,O 为 EF 的中点. (1)求证:AO⊥CF; (2)求 O 到平面 ABC 的距离. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= + ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x+2y-3=0. (1)求 a,b 的值; (2)证明:当 x>0,且 x≠1 时,f(x)> . 21.(本小题满分 12 分) 设直线 l:y=k(x+1)(k≠0)与椭圆 x2+3y2=a2(a>0)相交于两个不同的点 A,B,与 x 轴相交于点 C, 记 O 为坐标原点. (1)证明:a2> ; (2)若 =2 ,求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程. 请考生在第 22～23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)(选修 4 4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C 的极坐标方程为ρ2= ,直线 l 的参数方程为 (t 为参数). (1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (2)若直线 l 交曲线 C 于 M,N 两点,求|MN|的值. 23.(本小题满分 10 分)(选修 4 5:不等式选讲) 关于 x 的不等式 lg(|x+3|-|x-7|)0 解得 x>1. 故 y=lg(ln x)的定义域为(1,+∞). 其值域为 R,与选项 A 符合,故选 A. 8.B n=1,S=0;n=2,S=2;n=3,S=6;n=4,S=14;n=5,S=30>25.结束.故选 B. 9.D 由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个侧面面 积之和为 2×4×2=16,两个底面面积之和为 2× ×2× =2 ;半圆柱的侧面积为π×4=4 π,两个底面面积之和为 2× ×π×12=π,所以几何体的表面积为 5π+16+2 ,故选 D. 10.D 设甲到的时间为 x,乙到的时间为 y. (x,y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60} 是一个矩形区域,对应的面积为 60×60=3 600,则甲比乙提前到达 超过 20分钟为事件 A={(x,y)|y-x≥20,0≤x≤60,0≤y≤60},对应的面积为 ×40×40=800, 由几何概率模型可知甲比乙提前到达超过 20 分钟的概率为 = .故选 D. 11.D 因为 f(x)=sin ωx- cos ωx=2sin(ωx- )的图象的相邻两对称轴间的距离为 , 所以周期 T=π= , 计算得出ω=2, 所以 f(x)=2sin(2x- ), 因为 x∈[- ,0]时, 2x- ∈[- ,- ], 所以利用正弦函数的图象和性质可得 f(x)的最大值为 . 单调增区间为[- ,0].选 D. 12.C 画出 g(x)的图象如图所示. 方程 g(x)-mx-m=0 有两个不等的实根, 即 g(x)的图象与直线 y=m(x+1)有两个交点. 直线 y=m(x+1)过定点(-1,0), 过点 A 时,m=2,过点 B 时,m=0,所以 m∈[0,2). 设 y=m(x+1)在点 C(x0,y0)处与 g(x)相切, 则 m=- . 切线方程为 y-( -3)=- (x-x0), 代入(-1,0), 得- +3=- , 解得 x0=- . 所以 m=- ,过点 D(0,-2)时,m=-2. 所以 m∈(- ,-2]. 综上,m∈(- ,-2]∪[0,2). 13.解析:由 + =2 可得 ( - )+( - )=2 , 整理得 + =0. 答案:0 14.解析:由题意,目标函数 z=2x+3y 的可行域为△ABC 边界及其内部(如图所示). 令 z=0,即 2x+3y=0,平移直线 2x+3y=0 至目标函数的可行域内, 可知当 2x+3y=z 过点 A(2,1)时,z 取得最大值,即 zmax=2×2+3×1=7. 答案:7 15.解析:因为在锐角三角形中,27( + )=104cos C, 所以由余弦定理得 27( + )=27× =104× , 所以 a2+b2= c2, = = = = = . 答案: 16.解析:甲与乙的关系是对立事件,二人说话矛盾,必有一对一错,如果选丁正确,则丙也是 对的,所以丁错误,可得丙正确,此时乙正确. 答案:乙,丙 17.解:(1)由于 an=2(n+1), 所以{an}为等差数列,且 a1=4. 所以 An= = =n2+3n, 所以 Bn=3An-4n=3(n2+3n)-4n =3n2+5n, 当 n=1 时,b1=B1=8, 当 n≥2 时,bn=Bn-Bn-1 =3n2+5n-[3(n-1)2+ 5(n-1)] =6n+2. 由于 b1=8 适合上式,所以 bn=6n+2. (2)由(1)知 cn= = = ( - ), 所以 Sn= [( - )+( - )+( - )+( - )+…+( - )+( - )] = (1+ - - ) = - ( + ). 18.解:(1)从 2 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. (2)设 Ai 表示事件“此人于 2 月 i 日到达该市”(i=1,2,…,13). 根据题意,P(Ai)= ,且 Ai∩Aj=⌀ (i≠j). 设 B 为事件“此人到达当日空气优良”, 则 B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13. 所以 P(B)=P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)= . (3)设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件 A, 即“此人出差期间空气质量指数至少有一天大于等于 150 且小于 300”, 由题意可知 P(A)=P(A4∪A5∪A6∪A7∪A8∪A9∪A10∪A11) =P(A4)+P(A5)+P(A6)+P(A7)+P(A8)+P(A9)+P(A10)+P(A11)= . 19.(1)证明:因为△AEF 是等边三角形,O 为 EF 的中点, 所以 AO⊥EF. 又因为平面 AEF⊥平面 EFCB,AO⊂平面 AEF,平面 AEF∩平面 EFCB=EF, 所以 AO⊥平面 EFCB, 又 CF⊂平面 EFCB, 所以 AO⊥CF. (2)解:取 BC 的中点 G,连接 OG. 由题设知,OG⊥BC. 由(1)知 AO⊥平面 EFCB, 又 BC⊂平面 EFCB, 所以 OA⊥BC, 因为 OG∩OA=O, 所以 BC⊥平面 AOG. 过 O 作 OH⊥AG,垂足为 H, 则 BC⊥OH, 因为 AG∩BC=G, 所以 OH⊥平面 ABC. 因为 OG= ,AO= , 所以 OH= , 即 O 到平面 ABC 的距离为 . 20.(1)解:f′(x)= - . 由于直线 x+2y-3=0 的斜率为- ,且过点(1,1). 故 解得 a=1,b=1. (2)证明:由(1)知 f(x)= + , 所以 f(x)- = (2ln x- ) 令函数 h(x)=2ln x- (x>0), 则 h′(x)= - =- . 所以当 x≠1 时,h′(x)<0.而 h(1)=0, 故当 x∈(0,1)时,h(x)>0, 可得 h(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0, 可得 h(x)>0. 从而当 x>0,且 x≠1 时,f(x)- >0, 即 f(x)> . 21.(1)证明:由 y=k(x+1),得 x= y-1. 将 x= y-1 代入 x2+3y2=a2, 消去 x,得( +3)y2- y+1-a2=0.(*) 由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点, 得Δ= -4( +3)(1-a2)>0, 整理得( +3)a2>3,即 a2> . (2)解:设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由(*)得 y1+y2= , 由 =2 ,C(-1,0),得 y1=-2y2, 代入上式,得 y2= . 于是,S△OAB= |OC|·|y1-y2| = |y2| = ≤ = , 其中,上式取等号的条件是 3k2=1, 即 k=± , 由 y2= ,可得 y2=∓ , 将 k= ,y2=- 及 k=- ,y2= 这两组值分别代入(*),均可解出 a2=5,所以,△OAB 的面积取 得最大值时的椭圆方程是 x2+3y2=5. 22.解:(1)由ρ2= , 得 3ρ2+ρ2sin2θ=12(*), 将ρ2=x2+y2,ρsin θ=y 代入(*)式, 得 3x2+4y2=12, 即 + =1. 故曲线 C 的直角坐标方程为 + =1. 由 消去参数 t, 得 x- y+1=0. 故直线 l 的普通方程为 x- y+1=0. (2)将直线 l 的参数方程 (t 为参数)代入椭圆方程 C: + =1,得 13t2-12 t-36=0. 所以 t1+t2= ,t1t2=- . 因为椭圆的左焦点 F1(-1,0)在直线 l 上,且 M,N 在 x 轴的异侧, 所以|MN|=|t1-t2| = = = . 23.解:(1)当 m=1 时,原不等式可变为 0<|x+3|-|x-7|<10, 可得其解集为{x|21 即可, 即 m>1 时,f(x)

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