2018届高三数学一轮复习： 第3章 第6节 正弦定理和余弦定理

2018届高三数学一轮复习： 第3章 第6节 正弦定理和余弦定理

第六节 正弦定理和余弦定理 [考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量 问题． 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R.(R 为△ABC 外接圆半 径) a2＝b2＋c2－2bc·cos_A； b2＝c2＋a2－2ca·cos_B； c2＝a2＋b2－2ab·cos_C 变形形式 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝ a 2R ，sin B＝ b 2R ，sin C＝ c 2R cos A＝b2＋c2－a2 2bc ； cos B＝c2＋a2－b2 2ca ； cos C＝a2＋b2－c2 2ab 解决问题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条 边； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其 他两角 (1)已知三边求各角； (2)已知两边和它们的夹角，求第 三边和其他两个角 2.三角形常用面积公式 (1)S＝1 2a·ha(ha 表示边 a 上的高)； (2)S＝1 2absin C＝1 2acsin B＝1 2bcsin A. (3)S＝1 2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)． 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，若 A＞B，则必有 sin A＞sin B.( ) (2)在△ABC 中，若 b2＋c2＞a2，则△ABC 为锐角三角形．( ) (3)在△ABC 中，若 A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，则 B＝45°或 135°.( ) (4)在△ABC 中， a sin A ＝ a＋b－c sin A＋sin B－sin C .( ) [解析] (1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. (2)错误．由 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＞0 知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三 角形． (3)错误．由 b＜a 知，B＜A. (4)正确．利用 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．(教材改编)在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC 的形状是( ) A．锐角三角形 B.直角三角形 C．钝角三角形 D.不能确定 C [由正弦定理，得 a 2R ＝sin A， b 2R ＝sin B， c 2R ＝sin C，代入得到 a2＋b2＜ c2，由余弦定理得 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＜0，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角 三角形．] 3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a ＝ 5，c＝2，cos A＝2 3 ，则 b＝( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 D [由余弦定理得 5＝b2＋4－2×b×2×2 3 ， 解得 b＝3 或 b＝－1 3(舍去)，故选 D.] 4．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A＝π 6 ，a＝1， b＝ 3，则 B＝________. π 3 或2π 3 [由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ，代入可求得 sin B＝ 3 2 ，故 B＝π 3 或 B＝2π 3 .] 5．在△ABC 中，A＝60°，AC＝4，BC＝2 3，则△ABC 的面积等于________． 2 3 [由题意及余弦定理得 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝c2＋16－12 2×4×c ＝1 2 ，解得 c＝2， 所以 S＝1 2bcsin A＝1 2 ×4×2×sin 60°＝2 3.] 利用正、余弦定理解三角形 在△ABC 中，∠BAC＝3π 4 ，AB＝6，AC＝3 2，点 D 在 BC 边上， AD＝BD，求 AD 的长． 【导学号：01772129】 [解] 设△ABC 的内角∠BAC，B，C 所对边的长分别是 a，b，c， 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC ＝(3 2)2＋62－2×3 2×6×cos3π 4 ＝18＋36－(－36)＝90， 所以 a＝3 10.6 分 又由正弦定理得 sin B＝bsin∠BAC a ＝ 3 3 10 ＝ 10 10 ， 由题设知 0＜B＜π 4 ， 所以 cos B＝ 1－sin 2B＝ 1－ 1 10 ＝3 10 10 .9 分 在△ABD 中，因为 AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B， 故由正弦定理得 AD＝ AB·sin B sinπ－2B ＝ 6sin B 2sin Bcos B ＝ 3 cos B ＝ 10.12 分 [规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可 以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的． 2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用． (2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时， 首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判 定中的应用． [变式训练 1] (1)(2017·郑州模拟)已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A， B，C 的对边， 且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－ 3c)sin A，则角 B 的大小为( ) A．30° B.45° C.60° D.120° (2)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A ＝4 5 ，cos C＝ 5 13 ，a＝1，则 b＝________. (1)A (2)21 13 [(1)由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C 及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a － 3c)sin A 得(b－c)(b＋c)＝(a－ 3c)a，即 b2－c2＝a2－ 3ac，∴a2＋c2－b2＝ 3ac.又∵cos B＝a2＋c2－b2 2ac ，∴cos B＝ 3 2 ，∴B＝30°. (2)在△ABC 中，∵cos A＝4 5 ，cos C＝ 5 13 ， ∴sin A＝3 5 ，sin C＝12 13 ，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝3 5 × 5 13 ＋4 5 ×12 13 ＝63 65. 又∵ a sin A ＝ b sin B ，∴b＝asin B sin A ＝ 1×63 65 3 5 ＝21 13.] 判断三角形的形状 (1)(2017·东北三省四市二联)在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B， C 的对边，满足 acos A＝bcos B，则△ABC 的形状为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 (2)(2016·安徽安庆二模)设角 A，B，C 是△ABC 的三个内角，则“A＋B＜C” 是“△ABC 是钝角三角形”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (1)D (2)A [(1)因为 acos A＝bcos B，由正弦定理得 sin Acos A＝sin Bcos B， 即 sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B 或 2A＋2B＝π，即 A＝B 或 A＋B＝π 2 ，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选 D. (2)由 A＋B＋C＝π，A＋B＜C，可得 C＞π 2 ，故三角形 ABC 为钝角三角形， 反之不成立．故选 A.] [规律方法] 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角 之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转 化的桥梁． 2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则 会有漏掉一种形状的可能． [变式训练 2] 设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 2sin Acos B＝sin C，那么△ABC 一定是( ) A．直角三角形 B.等腰三角形 C．等腰直角三角形 D.等边三角形 B [法一：由已知得 2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， 即 sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以 A＝B. 法二：由正弦定理得 2acos B＝c，再由余弦定理得 2a·a2＋c2－b2 2ac ＝c⇒a2＝ b2⇒a＝b.] 与三角形面积有关的问题 (2015·全国卷Ⅰ)已知 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边， sin2B＝2sin Asin C. (1)若 a＝b，求 cos B； (2)设 B＝90°，且 a＝ 2，求△ABC 的面积． [解] (1)由题设及正弦定理可得 b2＝2ac.2 分 又 a＝b，可得 b＝2c，a＝2c. 由余弦定理可得 cos B＝a2＋c2－b2 2ac ＝1 4.5 分 (2)由(1)知 b2＝2ac.7 分 因为 B＝90°，由勾股定理得 a2＋c2＝b2， 故 a2＋c2＝2ac，进而可得 c＝a＝ 2.9 分 所以△ABC 的面积为1 2 × 2× 2＝1.12 分 [规律方法] 三角形面积公式的应用方法： (1)对于面积公式 S＝1 2absin C＝1 2acsin B＝1 2bcsin A，一般是已知哪一个角就 使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． [变式训练 3] (2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为3 3 2 ，求△ABC 的周长． [解] (1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即 2cos Csin(A＋B)＝sin C，3 分 故 2sin Ccos C＝sin C. 可得 cos C＝1 2 ，所以 C＝π 3.5 分 (2)由已知得 1 2absin C＝3 3 2 . 又 C＝π 3 ，所以 ab＝6.9 分 由已知及余弦定理得 a2＋b2－2abcos C＝7， 故 a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25. 所以△ABC 的周长为 5＋ 7.12 分 [思想与方法] 1．在解三角形时，应熟练运用内角和定理：A＋B＋C＝π，A 2 ＋B 2 ＋C 2 ＝π 2 中 互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数． 2．判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常 用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 3．在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. [易错与防范] 1．已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两 解、无解． 在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 2.在判定三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，以免漏解．