【推荐】专题10 圆、椭圆、抛物线的最值、范围、定值、定点-2018版高人一筹之高三数学一轮复习特色专题训练（浙江版）

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十、圆、椭圆、抛物线的最值、范围、定值、定点 一、选择题 ‎1．【2017年云南省第二次统一检测】已知，直线与曲线只有一个公共点 ，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线化简为： ，圆心到直线的距离为 ，整理为： ，即 ，整理为 ，设 ，所以 ，解得 或 （舍），即 ，解得： ，故选C.‎ ‎2．【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知两点， （），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎3．设，若直线与圆相切，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛：与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．‎ ‎(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．‎ ‎4．【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下适应性月考卷七】已知直线上总存在点，使得过点作的圆： 的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（ ）‎ A. 或 B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图，设切点分别为A，B．连接AC，BC，MC，由及知，四边形MACB为正方形，故若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心到直线的距离，即∴，故选C．‎ ‎5．若方程x-2cosθ‎2‎‎+y-2sinθ‎2‎=1‎‎0≤θ<2π的任意一组解x,y都满足不等式y≥‎3‎‎3‎x，则θ的取值范围是( )‎ A. π‎6‎‎,‎‎7π‎6‎ B. ‎5π‎12‎‎,‎‎3π‎12‎ C. π‎2‎‎,π D. ‎π‎3‎‎,π ‎【答案】D ‎6．【2017届河北省衡水中学高三下第二次摸底】椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，且的外接圆的方程为，将分别代入可得，由可得，即，所以，即，所以，应选答案A.‎ ‎7．【2017届山西省实验中学高三下模拟】已知圆的方程为，过直线： （）上的任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则直线在轴上的截距为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图,由,得圆心坐标为(3,4)，‎ 要使切线长最小,即圆心到直线l: (a>0)的距离最小，‎ ‎8．【2017届重庆市巴蜀中学高三三诊】设是双曲线的右顶点， 是右焦点，若抛物线的准线上存在一点，使，则双曲线的离心率的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的准线方程为,正好是双曲的右准线.由于AF= ,所以AF弦,圆心,半径圆上任取一点P, ,现在转化为圆与准线相交问题.所以,解得.填A.‎ ‎9．【2017年湖南省考前演练卷三】中心为原点的椭圆焦点在轴上， 为该椭圆右顶点， 为椭圆上一点， ，则该椭圆的离心率的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎10．【2018届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线y‎2‎‎=4x的焦点为F，点Px,y为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则PFPA的最小值是（ ）‎ A. B. ‎2‎‎2‎ C. ‎3‎‎2‎ D. ‎‎2‎‎3‎‎3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，‎ 所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1，‎ 所以∠NPA=45°，‎ PFPA‎=cos∠NPA=‎2‎‎2‎．‎ 故选B．‎ ‎11．【2017届河北省石家庄市高三二模】已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足， ，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 结合图形知，当 点为椭圆的右顶点时， ‎ 取最小值 最小值是 故选：C．‎ ‎12．【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】设为坐标原点， 是以为焦点的抛物线（）上任意一点， 是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，设，则，可得．当且仅当时取得等号，选A.‎ 二、填空题 ‎13．【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】直线与抛物线y‎2‎‎=4x交于两不同点A，B.其中Ax‎1‎‎,‎y‎1‎，Bx‎2‎‎,‎y‎2‎，若y‎1‎y‎2‎‎=-36‎，则直线恒过点的坐标是__________．‎ ‎【答案】‎‎9,0‎ ‎【解析】设直线为x=my+n,‎则x=my+ny‎2‎‎=4x得y‎2‎‎-4my-4n=0‎,‎∴‎y‎1‎‎+y‎2‎=4my‎1‎y‎2‎‎=-4n,‎y‎1‎y‎2‎‎=-36‎ ‎∴-4n=-36,∴n=9,‎直线为x=my+9‎，恒过‎9,0‎ 故答案为‎9,0‎.‎ ‎14．【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于两点， 是椭圆右焦点，则的周长的最小值为__________， 的面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】 10 .‎ ‎15．【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】设圆与抛物线相交于两点， 为抛物线的焦点，若过点且斜率为 的直线与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为，则的值__________ ，若直线与抛物线相交于两点，且与圆相切，切点在劣弧上，则的取值范是__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】如图所示，联立圆与抛物线的方程可得交点坐标为： ‎ ‎∵点F坐标为(0,1),∴kFB=,∴kl>kFB，‎ 所以直线l与圆交于P1、P3两点,与抛物线交于P2、P4两点，‎ 设 把直线l方程：y=x+1代入x2=4y,得x2−4x−4=0,∴x2+x4=4；‎ 把直线l方程：y=x+1代入x2+y2=12,得2x2+2x−11=0,∴x1+x3=−1‎ ‎∴，‎ ‎∵直线m与该圆相切,∴,即，‎ 又|MF|=y1+1,|NF|=y2+1，‎ ‎∴，‎ ‎∵,∴分别过A. B的圆的切线的斜率为.‎ ‎∴k∈[],∴0⩽k2⩽2,∴，‎ ‎∵b>0,∴b∈[]‎ 所以|MF|+|NF|的取值范围为.‎ ‎16．【2018届河南省中原名校高三上第一次联考】如图，两个椭圆， 内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个判断：‎ ‎ ①P到F1（－4，0）、F2（4，0）、E1（0，－4）、E2（0，4）四点的距离之和为定值；‎ ‎ ②曲线C关于直线y＝x、y＝－x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．‎ ‎ ④曲线C总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为________________．‎ ‎【答案】②③‎ 故答案为：②③．‎ 三、解答题 ‎17．【2018届南宁市高三摸底】已知抛物线C:y‎2‎=axa>0‎上一点Pt,‎‎1‎‎2‎到焦点F的距离为‎2t.‎ ‎（l）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）抛物线上一点A的纵坐标为1，过点Q‎3,-1‎的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM,AN的斜率分别为k‎1‎‎,‎k‎2‎，求证：k‎1‎‎×‎k‎2‎为定值.‎ ‎【答案】(1)y‎2‎‎=x；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程，两个未知数，可求得抛物线方程。（2）由（1）知抛物线的方程y‎2‎‎=x，及A‎1,1‎，Q‎3,-1‎，设过点Q‎3,-1‎的直线的方程为x-3=my+1‎,代入y‎2‎‎=x得y‎2‎‎-my-m-3=0‎,由韦达定理可求得k‎1‎k‎2‎为定值上。‎ 试题解析：（1）由抛物线的定义可知PF‎=t+a‎4‎=2t，则a=4t，‎ 由点Pt,‎‎1‎‎2‎在抛物线上，则at=‎‎1‎‎4‎，‎ ‎∴a×a‎4‎=‎‎1‎‎4‎，则a‎2‎‎=1‎，‎ 由a>0‎，则a=1‎，‎ ‎∴抛物线的方程y‎2‎‎=x.‎ ‎18．【2018届广西柳州市高三上摸底】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为5.‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】试题分析：(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于p的等式求p,则抛物线方程可求; (2)由(1)求出M的坐标,设出直线DE的方程 ,联立直线方程和抛物线方程,化为关于y的一元二次方程后D,E两点纵坐标的和与积,利用 得到t与m的关系,进一步得到DE方程,由直线系方程可得直线DE所过定点.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意设抛物线方程为，‎ 其准线方程为，‎ ‎∵到焦点的距离等于到其准线的距离， ‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎∵‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即，得： ，‎ ‎∴，即或，‎ 代人①式检验均满足，‎ ‎∴直线的方程为： 或.‎ ‎∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.‎ ‎19．【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】已知动点满足： .‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线过定点 ，证明见解析.‎ 试题解析：（1）由已知，动点到点， 的距离之和为，‎ 且，所以动点的轨迹为椭圆，而， ，所以，‎ 所以，动点的轨迹的方程： . ‎ ‎（2）设， ，则，由已知得直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为： ‎ 由　得，‎ 所以， ， ‎ 直线的方程为： ，所以，‎ 令，则，‎ 所以直线与轴交于定点.　　　　　　　　　‎ ‎20．【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎经过点A‎1,‎‎3‎‎2‎，C的四个顶点构成的四边形面积为‎4‎‎3‎.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）E,F为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线AE,AF，使其满足:①直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数；②线段EF的中点在直线x=‎‎1‎‎2‎上.若存在，求出直线AE和AF的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎;(2) 直线AE,AF的方程分别为y=‎3‎‎2‎x，y=-‎3‎‎2‎x+3‎或y=-‎3‎‎2‎x+3‎，y=‎3‎‎2‎x.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由已知得‎1‎a‎2‎‎+‎9‎‎4‎b‎2‎=1‎ab=2‎‎3‎a>b>0‎，‎ 解得a‎2‎‎=4,b‎2‎=3‎，‎ ‎∴椭圆C的方程x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎.‎ ‎(2)设直线AE的方程为y-‎3‎‎2‎=kx-1‎，代入x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎，得 ‎3+4‎k‎2‎x‎2‎‎+4k‎3-2kx+4k‎2‎-12k-3=0‎‎.(*)‎ 设Ex‎1‎‎,‎y‎1‎，Fx‎2‎‎,‎y‎2‎，且x=1‎是方程(*)的根，‎ ‎∴x‎1‎‎=‎‎4k‎2‎-12k-3‎‎3+4‎k‎2‎，‎ 用‎-k代替上式中的k，可得x‎2‎‎=‎‎4k‎2‎+12k-3‎‎3+4‎k‎2‎，‎ 故EF中点横坐标为x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎=‎3+4‎k‎2‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎，‎ 解得k=±‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴直线AE,AF的方程分别为y=‎3‎‎2‎x，y=-‎3‎‎2‎x+3‎或y=-‎3‎‎2‎x+3‎，y=‎3‎‎2‎x.‎ ‎21．【2018届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知椭圆C‎1‎‎:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎ a>b>0‎的离心率为，过点E‎7‎‎,0‎的椭圆C‎1‎的两条切线相互垂直.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C‎1‎的方程；‎ ‎（Ⅱ）在椭圆C‎1‎上是否存在这样的点P，过点P引抛物线C‎2‎‎:x‎2‎=4y的两条切线l‎1‎‎,‎l‎2‎，切点分别为B,C，且直线BC过点A‎1,1‎？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎；(Ⅱ)满足条件的点P有两个.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，‎ 则kNE‎=1‎，NE的直线方程为y=x-‎‎7‎，‎ 因为椭圆C‎1‎‎:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎ a>b>0‎的离心率为，‎ 所以椭圆C‎1‎‎:x‎2‎‎4‎c‎2‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1‎，‎ 所以y=x-‎7‎,‎x‎2‎‎4‎c‎2‎‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1,‎ Δ=0‎，则c=1‎，‎ 所以椭圆方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎.‎ ‎（Ⅱ）设点Bx‎1‎‎,‎y‎1‎，Cx‎2‎‎,‎y‎2‎，Px‎0‎‎,‎y‎0‎，‎ 由x‎2‎‎=4y，即y=‎‎1‎‎4‎x‎2‎，得y‎'‎‎=‎1‎‎2‎x，‎ ‎∴抛物线C‎2‎在点B处的切线l‎1‎的方程为y-y‎1‎=‎x‎1‎‎2‎x-‎x‎1‎，‎ 即y=x‎1‎‎2‎x+y‎1‎-‎‎1‎‎2‎x‎1‎‎2‎，‎ ‎∵y‎1‎‎=‎‎1‎‎4‎x‎1‎‎2‎，∴y=x‎1‎‎2‎x-‎y‎1‎.‎ ‎∵点Px‎0‎‎,‎y‎0‎在切线l‎1‎上，∴y‎0‎‎=x‎1‎‎2‎x‎0‎-‎y‎1‎.①‎ 同理，y‎0‎‎=x‎2‎‎2‎x‎0‎-‎y‎2‎.②‎ 综合①、②得，点Bx‎1‎‎,‎y‎1‎，Cx‎2‎‎,‎y‎2‎的坐标都满足方程y‎0‎‎=x‎2‎x‎0‎-y.‎ ‎∵经过Bx‎1‎‎,‎y‎1‎，Cx‎2‎‎,‎y‎2‎两点的直线是唯一的，‎ ‎∴直线BC的方程为y‎0‎‎=x‎2‎x‎0‎-y，‎ ‎∵点A‎1,1‎在直线BC上，∴y‎0‎‎=‎1‎‎2‎x‎0‎-1‎，‎ ‎∴点P的轨迹方程为y=‎1‎‎2‎x-1‎.‎ 又∵点P在椭圆C‎1‎上，又在直线y=‎1‎‎2‎x-1‎上，‎ ‎∴直线y=‎1‎‎2‎x-1‎经过椭圆C‎1‎内一点‎0,-1‎，‎ ‎∴直线y=‎1‎‎2‎x-1‎与椭圆C‎1‎交于两点.‎ ‎∴满足条件的点P有两个.‎ ‎22．【2018届江苏省仪征中学高三10月检测】椭圆C： 的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列，记△的面积为S.‎ ‎（1）求椭圆C的方程.‎ ‎（2）试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？‎ ‎（3）求S的范围.‎ ‎【答案】(1) （2）5（3）‎ 设直线的方程为,代入椭圆方程，消去，根据、、恰好构成等比数列，求出,进而表示出，即可得出结论。‎ 表示出的面积，利用基本不等式，即可求出的范围。‎ ‎（2）依题意，直线斜率存在且，设直线的方程为（），、‎ 由 ‎，因为、、恰好构成等比数列，‎ 所以，‎ 即；‎ 所以       ‎ 此时 得，且（否则：，则，中至少有一个为，直线、中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）    ‎ 所以；‎ 所以 所以是定值为5；       ‎ ‎（3）（，且）‎ 所以 .‎