2020-2021学年高一数学单元知识梳理：函数的概念与性质
2020-2021 学年高一数学单元知识梳理：函数的概念与性质
1.同一函数的判定方法
(1)定义域相同；
(2)对应关系相同(两点必须同时具备)．
2.函数解析式的求法
(1)定义法；
(2)换元法；
(3)待定系数法；
(4)解方程(组)法；
(5)赋值法．
3.函数的定义域的求法
(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．
(3)复合函数问题
①若函数 f(x)的定义域为[a，b]，函数 f[g(x)]的定义域应由 a≤g(x)≤b 解出；
②若函数 f[g(x)]的定义域为[a，b]，则函数 f(x)的定义域为函数 g(x)在[a，b]上的值域．
注意：①函数 f(x)中的 x 与函数 f[g(x)]中的 g(x)地位相同．
②定义域所指永远是 x 的范围．
4.函数值域的求法
(1)配方法(二次或四次)；
(2)判别式法；
(3)换元法；
(4)函数的单调性法．
5.判断函数单调性的步骤
(1)设 x1，x2 是所研究区间内任意两个自变量的值，且 x1
0 时，此时 a＋1>1，
由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得 a＝－
2
3 (舍去)；
②当 1－a>1，即 a<0 时，此时 a＋1<1，由 f(1－a)＝f(1＋a)，得－(1－a)－2a＝2(1＋a)
＋a，解得 a＝－ ，符合题意．综上所述，a＝－ .
三、函数的单调性与奇偶性
单调性是函数的一个重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系
转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证
明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面应用十分广泛．
奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数图象的对称性可以缩小问题研究的范围，
常能使求解的问题避免复杂的讨论．
[典例 3]（2020·邢台市第二中学高一开学考试）设函数 ()yfx 的定义域为 R，并且满足
( ) ( ) ( )f x y f x f y ， 1 12f
，当 0x 时， ()0fx .
（1）求 (0)f 的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）如果 ( ) (2 ) 2f x f x ，求 x 的取值范围.
【解析】（1）令 0xy，则 (0) (0) (0)f f f，∴ (0) 0f .
（2）令 yx ，得 (0)()()0ffxfx ，
∴ ( ) ( )f x f x ，故函数 ()fx是 R 上的奇函数.
（3）任取 12,Rxx 且 12xx ，则 210xx.
∵ 21f x f x
2111fxxxfx
2111fxxfxfx
21 0f x x ，
∴ 12f x f x .故 是 上的增函数.
∵ 1 12f
，∴ 1111122222ffff
，
()(2)2fxfx
∴ ( ) (2 ) ( (2 ) (2 2) (1)f x f x f x x f x f .
又由 ()yfx 是定义在 上的增函数，得 221x ，解得
2
1x
四、函数图象及应用
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函
数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于函数图象正确
地画出．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的
优点．
[典例 4] 设函数 f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明：函数 f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数 f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上 f(x)的单调性；
(4)求函数的值域．
【解析】(1)证明：∵函数 f(x)的定义域关于原点对称，
且 f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即 f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)当 0≤x≤3 时，
f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2.
当－3≤x<0 时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.
即 f(x)＝
)03(2)1(
)30(,2)1(
2
2
xx
xx
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．
(3)函数 f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上单调递减，
在[－1,0)和[1,3]上单调递增．
(4)当 0≤x≤3 时，函数 f(x)＝(x－1)2－2 的最小值为－2，最大值为 f(3)＝2；
当－3≤x<0 时，函数 f(x)＝(x＋1)2－2 的最小值为－2，最大值为 f(－3)＝2.故函数 f(x)
的值域为[－2,2].
五、幂函数的图象问题
对于给定的幂函数图象，能从函数图象的分布、变化趋势、对称性等方面研究函数的定
义域、值域、单调性、奇偶性等性质．注意图象与函数解析式中指数的关系，能够根据
图象比较指数的大小．
[典例 5] 如图是幂函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd 在第一象限内的图象，则 a，b，c，
d 的大小关系为( )
A.a
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