中考数学复习最短路径问题专项训练题

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中考数学复习最短路径问题专项训练题

中考数学复习最短路径问题专项训练题 一、两条线段和最短 ‎1、如图,在平面直角坐标中,二次函数图象的顶点坐标为C(4,-),且在x轴上截得的线段AB的长为6.‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)点P在y轴上,且使得△PAC的周长最小,求:‎ ‎①点P的坐标;‎ ‎②△PAC的周长和面积;‎ y x B A O C ‎2、使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数y=x﹣1,令y=0,可得x=1,我们就说1是函数y=x﹣1的零点.‎ 己知函数y=x2﹣2mx﹣2(m+3)(m为常数).‎ ‎(1)当m=0时,求该函数的零点;‎ ‎(2)证明:无论m取何值,该函数总有两个零点;‎ ‎(3)设函数的两个零点分别为x1和x2,且,此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧),点M在直线y=x﹣10上,当MA+MB最小时,求直线AM的函数解析式.‎ ‎ ‎ 二、三条线段和最短 ‎3、如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c与y轴交于点A(0,3),与x轴分别交于B(1,0)、C(5,0)两点.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点D为线段OA的一个三等分点,求直线DC的解析式;‎ O y x A B C ‎(3)若一个动点P自OA的中点M出发,先到达x轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标,并求出这个最短总路径的长.‎ 三、线段的平移 ‎4、如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax 2上.‎ ‎(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标;‎ ‎(2)平移抛物线y=ax 2,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点.‎ ‎① 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB ′最短,求此时抛物线的函数解析式;‎ ‎② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.‎ y O A ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎-2‎ ‎-4‎ ‎-2‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎4‎ x B C D ‎5、(2013•泉州)如图1,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A(﹣6,0),过点E(﹣2,0)作EF∥AB,交BO于F;‎ ‎(1)过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G;过点G作直线GD∥AB,交x轴于点D,以圆O为圆心,OH长为半径在x轴上方作半圆(包括直径两端点),使它与GD有公共点P.如图2所示,当直线l绕点F旋转时,点P也随之运动,证明:=.‎ ‎(2)在(1)中,若点M(2,),探索2PO+PM的最小值.‎ 练习:1.(2013•广安)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,已知点A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).‎ ‎(1)求此抛物线的解析式.‎ ‎(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点,(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.‎ ‎①动点P在什么位置时,△PDE的周长最大,求出此时P点的坐标;‎ ‎②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时,求出对应的P点的坐标.(结果保留根号)‎ ‎ ‎ ‎2.如图(1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠o)的顶点为C(1,4),交x轴于A、B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为(3,0)‎ ‎(1)求抛物线的函数解析式;‎ ‎(2)如图(2)T是抛物线上的一点,过点T作x轴的垂线,垂足为点M,过点M作MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,若△DNM∽△BMD,求点T的坐标;‎ ‎(3)如图(3),过点A的直线与抛物线相交于E,且E点的横坐标为2,与y轴交于点F;直线PQ是抛物线的对称轴,G是直线PQ上的一动点,试探究在x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点围成的四边形周长最小?若存在,求出这个最小值及点G、H的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎3.(2014•宝安区二模)已知:如图1,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心P(3,0),半径为5,⊙P与抛物线y=ax2+bx+c ‎(a≠0)的交点A、B、C刚好落在坐标轴上.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点D为抛物线的顶点,经过C、D的直线是否与⊙P相切?若相切,请证明;若不相切,请说明理由;‎ ‎(3)如图2,点F是点C关于对称轴PD的对称点,若直线AF交y轴于点K,点G为直线PD上的一动点,则x轴上是否存在一点H,使C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小?若存在,求出这个最小值及点G、H的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎4.(2014•黄冈二模)如图,菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°,以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系.动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动,同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动,当点P到达终点时停止运动,运动时间为t,直线PQ交边AD于点E.‎ ‎(1)求出经过A、D、C三点的抛物线解析式;‎ ‎(2)是否存在时刻t使得PQ⊥DB,若存在请求出t值,若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)设AE长为y,试求y与t之间的函数关系式;‎ ‎(4)若F、G为DC边上两点,且点DF=FG=1,试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N,使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值.‎
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