2020-2021学年高考数学（理）考点：三角函数的图象与性质

2020-2021学年高考数学（理）考点：三角函数的图象与性质

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：三角函数的图象与性质 ‎ ‎1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ‎(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．‎ ‎(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．‎ ‎2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)‎ 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 ‎[－1,1]‎ ‎[－1,1]‎ R 周期性 ‎2π ‎2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ‎[2kπ－π，2kπ]‎ 递减区间 ‎[2kπ，2kπ＋π]‎ 无 对称中心 ‎(kπ，0)‎ 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 概念方法微思考 ‎1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？‎ 提示　正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．‎ ‎2．函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？‎ 提示　(1)f (x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；‎ ‎(2)f (x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．‎ ‎1．（2019•新课标Ⅱ）若，是函数两个相邻的极值点，则　　‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，是函数两个相邻的极值点，‎ ‎，‎ 故选．‎ ‎2．（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以为最小正周期且在区间，单调递增的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】不是周期函数，可排除选项；‎ 的周期为，可排除选项；‎ 在处取得最大值，不可能在区间，单调递增，可排除．‎ 故选．‎ ‎3．（2019•新课标Ⅲ）设函数，已知在，有且仅有5个零点．下述四个结论：‎ ‎①在有且仅有3个极大值点 ‎②在有且仅有2个极小值点 ‎③在单调递增 ‎④的取值范围是，‎ 其中所有正确结论的编号是　　‎ A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】当，时，，，‎ 在，有且仅有5个零点，‎ ‎，‎ ‎，故④正确，‎ 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，‎ 下面判断③是否正确，‎ 当时，，，‎ 若在单调递增，‎ 则，即，‎ ‎，故③正确．‎ 故选．‎ ‎4．（2018•新课标Ⅲ）函数的最小正周期为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的最小正周期为，‎ 故选．‎ ‎5．（2018•新课标Ⅰ）已知函数，则　　‎ A．的最小正周期为，最大值为3 ‎ B．的最小正周期为，最大值为4 ‎ C．的最小正周期为，最大值为3 ‎ D．的最小正周期为，最大值为4‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数 ‎，‎ 故函数的最小正周期为，‎ 函数的最大值为，‎ 故选．‎ ‎6．（2017•天津）设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则　　‎ A．， B．， ‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】由的最小正周期大于，得，‎ 又，，得，‎ ‎，则，即．‎ ‎，‎ 由，得．‎ ‎，．‎ 取，得．‎ ‎，．‎ 故选．‎ ‎7．（2017•新课标Ⅱ）函数的最小正周期为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的最小正周期为：．‎ 故选．‎ ‎8．（2017•新课标Ⅲ）函数的最大值为　　‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数 ‎．‎ 故选．‎ ‎9．（2017•新课标Ⅲ）设函数，则下列结论错误的是　　‎ A．的一个周期为 ‎ B．的图象关于直线对称 ‎ C．的一个零点为 ‎ D．在，单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】．函数的周期为，当时，周期，故正确，‎ ‎．当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故正确，‎ 当时，，则的一个零点为，故正确，‎ ‎．当时，，此时函数不是单调函数，故错误，‎ 故选．‎ ‎10．（2017•山东）函数的最小正周期为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选．‎ ‎11．（2020•北京）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解法1:，‎ 其中，，‎ 所以最大值为，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以，‎ 所以，时均满足题意，‎ 故可选时，．‎ 解法，，‎ 又函数的最大值为2，‎ 所以当且仅当，时函数取到最大值，‎ 此时，，‎ 则，‎ 于是，时均满足题意，‎ 故可选时，．‎ 故答案为：．‎ ‎12．（2020•上海）函数的最小正周期为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的最小正周期为，‎ 故答案为：．‎ ‎13．（2020•江苏）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数的图象向右平移个单位长度可得 ‎，‎ 则的对称轴为，，‎ 即，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是，‎ 故答案为：，‎ ‎14．（2019•北京）函数的最小正周期是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ 的周期，‎ 故答案为：．‎ ‎15．（2018•北京）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数，若对任意的实数都成立，‎ 可得：，，解得，，‎ 则的最小值为：．‎ 故答案为：．‎ ‎16．（2018•江苏）已知函数的图象关于直线对称，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的图象关于直线对称，‎ ‎，，‎ 即，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 故答案为：．‎ ‎17．（2017•新课标Ⅱ）函数的最大值是__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】，‎ 令且，，‎ 则，‎ 当时，，‎ 即的最大值为1，‎ 故答案为：1‎ ‎18．（2017•新课标Ⅱ）函数的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数，其中，‎ 可知函数的最大值为：．‎ 故答案为：．‎ ‎19．（2020•上海）已知函数，．‎ ‎（1）的周期是，求，并求的解集；‎ ‎（2）已知，，，，求的值域．‎ ‎【解析】（1）由于的周期是，所以，所以．‎ 令，故或，整理得或．‎ 故解集为或，．‎ ‎（2）由于，‎ 所以．‎ 所以．‎ 由于，，‎ 所以．‎ ‎，‎ 故，‎ 故．‎ 所以函数的值域为．‎ ‎20．（2019•全国）已知函数．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）设，求在区间，的最大值与最小值．‎ ‎【解析】．‎ ‎（1）的最小正周期；‎ ‎（2），‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 即在区间，的最大值为，最小值为．‎ ‎1．（2020•东湖区校级模拟）若函数的图象的一条对称轴为，则的最小值为　　‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】把函数，‎ 根据所得图象的一条对称轴方程是，‎ 可得：，，‎ 可得：，‎ 由于：，‎ 故的最小值为．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•镜湖区校级模拟）函数的部分图象如图所示，给出以下结论，则其中正确的为　　‎ ‎①的最小正周期为2；②图象的一条对称轴为直线；‎ ‎③在上是减函数；④的最大值为．‎ A．①④ B．②③ C．①③ D．③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数的部分图象如图所示，‎ 可得，①正确；‎ 由图知，左侧第一个零点为：，所以对称轴为：，所以不是对称轴，②不正确；‎ 在，，上是减函数；③正确；‎ 因为正负不定，的最大值为．所以④不正确 综上可得：①③正确．‎ 故选．‎ ‎3．（2020•二模拟）设函数，已知在，上单调递增，则的取值可以是　　‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】在，上，，，‎ 函数在，上单调递增，‎ ‎，且，‎ 求得，‎ 故选．‎ ‎4．（2020•天津二模）已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】时，‎ 可得：，．‎ 要是函数有且只有两个零点，‎ 则，‎ 解得：．‎ 故选．‎ ‎5．（2020•香坊区校级一模）已知函数的最小正周期为，函数图象关于直线对称，且满足函数在区间上单调递增，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，函数的最小正周期为，‎ 即，则，‎ 则，‎ 函数图象关于直线对称，且满足函数在区间上单调递增，‎ 则函数在时取得最大值，则有，‎ 变形可得：，‎ 又由，即，则，‎ 故选．‎ ‎6．（2020•新华区校级模拟）函数在区间上单调，且 恒成立，则此函数图象与轴交点的纵坐标为　　‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，，即，，即．‎ 因为时，取得最大值，所以，‎ 即，，，即，，‎ 故选．‎ ‎7．（2020•松原模拟）已知函数，则下列结论错误的是　　‎ A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．若将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，则得函数的图象 D．函数在区间上单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】对于函数，‎ 令，可得，故函数的图象关于点对称，故正确；‎ 令，可得，是最小值，故函数的图象关于直线对称，故正确；‎ 将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，‎ 可得函数的图象，故选项正确；‎ 在区间上，，，没有单调性，故错误，‎ 故选．‎ ‎8．（2020•二模拟）已知函数的最小正周期为2，则的值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的最小正周期为2，‎ 则，解得；‎ 所以．‎ 故选．‎ ‎9．（2020•黄州区校级二模）若函数，则　　‎ A．（1）（3）（2） B．（1）（2）（3） ‎ C．（2）（1）（3） D．（3）（2）（1）‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于函数，‎ ‎（1），（2），（3），‎ ‎，（1）；‎ ‎，（2）；‎ ‎，（1），‎ 故有（1）（2）（3），‎ 故选．‎ ‎10．（2020•碑林区校级模拟）关于函数有下列四个结论：①是奇函数；②是周期函数；③，；④在区间内单调递增．其中所有正确结论的序号是　　‎ A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数，函数的定义域为，‎ ‎，‎ 所以函数为奇函数．故①正确．‎ ‎，所以函数的最小值正周期为，故函数为周期函数，故②正确．‎ 当时，，，不对；故③错误；‎ 由在单调递增，而在单调递减，可知在单调递增，‎ 函数在单调递增，根据①可知是奇函数，在区间，单调递增，‎ 则在区间内单调递增；故④正确；‎ 故选．‎ ‎11．（2020•全国I卷模拟）直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，若在，上是增函数，则的取值范围是　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线与函数图象的相邻两个交点的距离为一个周期，则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 由，‎ 解得，；‎ 所以函数在，上是单调增函数；‎ 又在上是单调增函数，‎ 即，，，‎ 解得；‎ 所以的取值范围是，．‎ 故选．‎ ‎12．（2014•泸州二模）下列不等式成立的是　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于，而函数在区间，上是增函数，故有，故排除．‎ 由于，而函数在区间，上是增函数，故有，故排除．‎ 由于，，而函数在区间 0，，上是增函数，故有，即，故排除．‎ 由于，，且函数在区间上是减函数，故，‎ 即，故正确，‎ 故选．‎ ‎13．（2013•资阳二模）下列不等式成立的是　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于，函数在 0，上是增函数，故有，‎ 即，故排除．‎ 由于函数 在，上是增函数，，，故排除．‎ 由于函数 在上是增函数，，故排除．‎ 由于，，函数在上是减函数，‎ ‎，即，故正确，‎ 故选．‎ ‎14．（2013•新津县校级一模）函数的最小正周期为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由正切函数的周期公式得：．‎ 故选．‎ ‎15．（2020•辽宁模拟）函数图象的对称中心坐标为　　‎ A．， B．， C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于D函数的对称中心为，‎ 令，解得，‎ 故函数的对称中心为，‎ 故选．‎ ‎16．（2013•宝鸡二模）已知正切函数的图象关于点对称，则　　‎ A．或0 B．1或0 C．或0或1 D．1或 ‎【答案】C ‎【解析】正切函数的图象关于点对称，是正切函数的图象的对称中心，‎ ‎，．‎ 故，0 或1，‎ 故选．‎ ‎17．（2020•靖远县四模）已知直线是函数图象的一条对称轴，则的最小值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，可得，‎ 则，‎ 即，‎ 因为，所以．‎ 故选．‎ ‎18．（2020•河南模拟）函数的图象的一条对称轴方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，‎ 所以，‎ 则 ‎，‎ 所以其图象的对称轴方程为，‎ 解得，‎ 当时，．‎ 故选．‎ ‎19．（2020•河南模拟）已知函数图象的一条对称轴是，且在上是单调函数，则的最大值为　　‎ A．5 B．6 C．10 D．12‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数图象的一条对称轴是，‎ ‎，即，．‎ 且在上是单调函数，‎ 显然对称轴在此区间的左侧．‎ ‎，，两边同时乘以，‎ 可得①，‎ 且②，‎ 再把①②这2个式子相加，‎ 可得，，即得最大值为12，‎ 故选．‎ ‎20．（2020•重庆模拟）函数的图象　　‎ A．关于直线对称 B．关于点对称 ‎ C．关于轴对称 D．关于轴对称 ‎【答案】B ‎【解析】对于函数，令，可得，‎ 故它的图象关于点对称，‎ 故选．‎ ‎21．（2020•乐山模拟）已知点在函数且，的图象上，直线是函数的图象的一条对称轴．若在区间内单调，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，，得，得，‎ 又因为在区间内单调，‎ 所以，得，得．所以．‎ 又因为，所以或3．‎ 当时，，得，‎ 又，所以，‎ 此时直线是函数的图象的一条对称轴，且在区间内单调．‎ 所以．‎ 当时，，得，‎ 又，所以，‎ 此时，‎ 所以直线不是函数的图象的一条对称轴．‎ 所以，，‎ 故选．‎ ‎22．（2020•朝阳区二模）已知函数，则下列四个结论中正确的是　　‎ A．函数的图象关于，中心对称 ‎ B．函数的图象关于直线对称 ‎ C．函数在区间内有4个零点 ‎ D．函数在区间，上单调递增 ‎【答案】C ‎【解析】对于函数，‎ 令，求得，故函数的图象不关于，中心对称，故排除；‎ 令，求得，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故排除；‎ 在区间上，，，当，，0， 时，，‎ 故函数在区间内有4个零点，故正确；‎ 在区间，上，，，没有单调性，故错误，‎ 故选．‎ ‎23．（2020•广西二模）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，那么函数的图象　　‎ A．关于点，对称 B．关于点，对称 ‎ C．关于直线对称 D．关于直线对称 ‎【答案】B ‎【解析】相邻两条对称轴之间的距离等于，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 令，；‎ 即对称轴为：，；‎ 故均错误；‎ 令，；‎ 即对称中心为：，，；‎ 即错，对；‎ 故选．‎ ‎24．（2020•商洛模拟）若函数在，上的最小值小于零，则的取值范围为　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，‎ ‎，，‎ 设，则，，‎ 作出函数的图象如图，‎ 由得，‎ 则或，‎ 则当时的，第一个零点为，‎ 即当时，，‎ 要使在，上的最小值小于0，‎ 则只需要，即可，‎ 得，得，‎ 的取值范围为，．‎ 故选．‎ ‎25．（2020•广州一模）设函数，若对于任意的都有成立，则的最小值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数，若对于任意的，都有，‎ 是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值就是函数的半周期，‎ ‎；‎ 故选．‎ ‎26．（2019•西湖区校级模拟）函数的值域是　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】由余弦函数的单调性，函数在，上是增，在上减，故其最大值在处取到为1‎ 最小值在处取到为0，故其值域是，；‎ 故选．‎ ‎27．（2020•广西一模）已知函数的一个零点是，则当取最小值时，函数的一个单调递减区间是　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】的一个零点是，‎ 由得，得，即或，，‎ ‎，的最小值为，‎ 此时，‎ 由，，得，，‎ 当时，的一个单调递减函数区间为，，‎ 故选．‎ ‎28．（2020•咸阳一模）函数的单调递增区间是　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解得，，‎ 函数的单调递增区间是．‎ 故选．‎ ‎29．（2020•新疆一模）函数在区间单调递减，在区间有零点，则的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，，‎ 得，，‎ 即函数的单调递减区间为，，，‎ 在区间单调递减，‎ 且，，‎ 即，得，，‎ 即，，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 由得，‎ 在区间有零点，‎ 满足，‎ 当时，，‎ 得，‎ 综上，‎ 故选．‎ 二、填空题 ‎30．（2020•道里区校级一模）若，是函数两个相邻的零点，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】因为，是函数两个相邻的零点，‎ 所以，‎ 解得．‎ 故答案为：2．‎ ‎31．（2019•西湖区校级模拟）函数的最小正周期是，则　2　，该函数的单调递增区间为__________．‎ ‎【答案】2；，，‎ ‎【解析】函数的最小正周期是，则，‎ 令，求得，‎ 故函数的增区间为，，，‎ 故答案为：2；，，．‎ ‎32．（2019•闵行区校级一模）在内使成立的的取值范围是__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎；‎ 又恒成立，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ 解得，，；‎ 又，使成立的的取值范围是，．‎ 故答案为：，．‎ ‎33．（2015•上海模拟）若函数与函数的最小正周期相同，则实数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的周期是；函数的最小正周期是：；‎ 因为周期相同，所以，解得 故答案为：．‎ ‎34．（2020•河南模拟）函数的图象的对称中心是__________．‎ ‎【答案】，，‎ ‎【解析】对于函数，令，求得，‎ 故函数的图象的对称中心是，，，‎ 故答案为：，，．‎ ‎35．（2019•新吴区校级模拟）正切曲线的对称中心的坐标是__________．‎ ‎【答案】，，‎ ‎【解析】根据正切函数图象的性质知，‎ 曲线的对称中心的坐标是，，．‎ 故答案为：，，．‎ ‎36．（2020•甘肃模拟）已知函数定义域为，值域为，，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】已知函数在上单调递减，当时，函数的，‎ 当时函数的，‎ 即，，‎ 所以．‎ 故答案为：3．‎ ‎37．（2020•青浦区二模）已知函数．‎ ‎（1）若函数的图象关于直线对称，求的最小值；‎ ‎（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）因为 所以函数的图象的对称轴由下式确定：‎ 从而．由题可知当时，有最小值；‎ ‎（2）当时，，‎ 从而，则，‎ 由可知：或．‎ ‎38．（2017•浙江二模）已知直线是函数图象的一条对称轴．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求函数，的值域．‎ ‎【解析】（1）直线是函数图象的一条对称轴，‎ ‎，，，．‎ ‎（2）函数 ‎，‎ ‎，，，，，，．‎ ‎39．（2014•南京模拟）已知函数 ‎（1）求函数的对称轴方程；‎ ‎（2）当时，若函数有零点，求的范围；‎ ‎（3）若，，求的值．‎ ‎【解析】（1），‎ 令可得：，‎ 对称轴方程为：．‎ ‎（2） ，‎ ‎，‎ ‎，‎ 函数有零点，即有解．‎ 即．‎ ‎（3）即即，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎