郴州市 2017 届高三第三次教学质量监测试卷 理科数学

郴州市 2017 届高三第三次教学质量监测试卷 理科数学

郴州市 2017 届高三第三次教学质量监测试卷 理科数学 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一 项符合题目要求. 1.已知集合    20,1,2,3,4 , | 2 0A B x x x    ，则 A B  A.  2,4 B.  2,4 C.  0,3,4 D.  3,4 2.设 1 ,z i i  为虚数单位，若复数 22 zz  在复平面内对于的向量为OZ  ，则向量OZ  的模是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 3.《算法统宗》是明代程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点 被加增，共灯三百八十一”，其意思大致是：有一座七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍， 共有 381 盏灯，则宝塔从上至下的第三层的红灯数使 A. 14 B. 12 C. 8 D. 10 4.运行如图所示的程序，若输入 x 的值为 256，则输出的 y 值是 A. 1 3 B. 3 C. 3 D. 1 3  5.某地市高三理科所有学生有 15000 名，在一次调研测试中，数 学成绩 服从正态分布  2100,N  ，已知  80 100 0.35P    ，则按分层抽样的方式取 100 分试卷进行 分析，则应从 120 分以上的试卷中抽取 A. 5 分 B. 10 分 C. 15 分 D. 20 分 6.已知函数   3sin 3cosf x x x  ，当  0,x  时，   3f x  的概率为 A. 1 3 B. 1 2 C. 1 5 D. 1 4 7.如图，在棱长为 a 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， P 为 1 1A D 的 中点，Q 为 1 1A B 上任意一点， ,E F 为CD 上任意两点，且 EF 的长 为定值，则下面的四个值中不为定值的是 A.点Q 到平面 PEF 的距离 B.直线 PE 与平面QEF 所成的角 C.三棱锥 P QEF 的体积 D. 二面角 P EF Q  的大小 8.已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 2 2 ，同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于 直线 1 0x y   对称，则椭圆 C 的方程为 A. 2 28 16 19 9 x y  B. 2 29 16 18 9 x y  C. 2 28 9 19 16 x y  D. 2 29 9 18 16 x y  9.已知函数       cos 0 ,f x x f x      是  f x 的导函数，若    0, 0f f   ，且 , 2      在区间上没有最小值，则 取值范围是 A.  0,2 B.  0,3 C. 2,3 D. 2, 10. 如图，在边长为 4 的长方形 ABCD 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心Q 在线段 BC （含端点）上运 动， P 是圆Q 上及内部的动点，设向量 AP mAP nAD    （ ,m n 为实数），则 m n 的取值范围 是 A. 2 21 ,24 4       B. 3 2,24 4      C. 3 9,4 4      D. 2 91 ,4 4      11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面 积为 A. 41 41 48  B. 41 4  C. 4 D. 4 3  12.已知函数    2 3 log 1 1, 1 3 2, x x k f x x x k x a            ，若存在 k 使 得函数  f x 的值域为 0,2 ，则实数 a 的取值范围是 A. 1, 3 B.  0,1 C.  0,1 D. 1, 3   第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.设直线l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A,B 两点， AB 为 C 的 实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为 . 14.已知  52 1mx xx      的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中含 x 的系数 为 . 15.在直角三角形 ABC 中， 2C  , 3AC  ，对平面内的任意一点 M ，平面内有一点 D 使得 3 2MD MB MA    ，则CD CA   . 16.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，对任意 n N  ，   11 32 n n n nS a n     ，且   1 0n nt a t a   恒成立，则实数t 的取值范围为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分 12 分）如图，在 ABC 中， 30 , 5,B AC D  为 AB 边上的点， （1）求 ABC 面积的最大值； （2）若 2,CD ACD  ，的面积为 2， ACD 为 锐角，求 BC 的长. 18.（本题满分 12 分） 2017 年郴州市两会召开前夕，某网站推出 两会热点大型调查，调查数据表明，民生问题 时百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此 问题的约占 80%，现从参与者中随机选出 200 人，并将这 200 人按年龄分组：第 1 组  15,25 ，第 2 组 25,35 ，第 3 组 35,45 ， 第 4 组 45,55 ，第 5 组 55,65 ，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求出频率分布直方图中的 a 值，并求出这 200 的平均年龄； （2）现在要从年龄较小的第 1,2,3 组用分层抽样的方法抽取 12 人，再从这 12 人中随机抽取 3 人赠送礼品，求抽取的 3 人中至少有 1 人的年龄在第 3 组的概率； （3）若要从所有参与调查的人（人数很多） 中随机选出 3 人，记关注民生问题的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望. 19.（本题满分 12 分）如图，在三棱锥 P ABC 中, AC BC ,平面 PAC  平面 ABC ， 2, 4, ,PA PC AC BC E F    分别是 ,PC PB 的中点，记平面 AEF 与平面 ABC 上的交线为直 线 .l （1）求证：直线l  平面 PAC ； （2）直线l 上是否存在一点 Q，使得直线 PQ 与 EF 所 成的角和直线 PQ 与平面 AEF 所成的角互余？若存 在， 求出 AQ 的值；若不存在，请说明理由. 20.（本题满分 12 分）已知抛物线 2: 8E y x ，圆  2 2: 2 4M x y   ,点 N 为抛物线 E 上的动 点，O 为坐标原点，线段ON 的中点 P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线 C 的方程； （2）点   0 0 0, 5Q x y x  是曲线 C 上的点，过点 Q 作圆 M 的两条切线，分别与 x 轴交于 A,B 两 点，求 QAB 面积的最小值. 21.（本题满分 12 分）已知函数    2 2 1 ln .f x ax a x x    （1）当 0a  时，求函数  f x 的单调递增区间； （2）当 0a  时，求函数  f x 在 1 ,12      上的最小值； （3）记函数  y f x 的图象为曲线 C，设点    1 1 2 2, , ,A x y B x y 是曲线 C 上的不同两点，点 M 为 线段 AB 的中点，过点 M 作 x 轴的垂直交曲线 C 于点 N,判断曲线 C 在点 N 处的切线是否平行于直线 AB，并说明理由. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。 22.（本题满分 10 分）选修4-4：参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系 xoy 中，曲线C 的参数方程为 2cos 2 2sin x y       （ 为参数），直线l 的参数方 程为 21 2 2 2 x t y t      （t 为参数）以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系. （1）写出直线l 的普通方程以及曲线 C 的极坐标方程； （2）若直线l 与曲线 C 的两个交点分别为 M,N，直线l 与 x 轴的交点为 P,求 PM PN 的值. 23.（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 在平面直角坐标系中，定义点    1 1 2 2, , ,P x y Q x y 之间的直角距离为：   1 2 1 2,L P Q x x y y    . 已知平面上三点      ,1 , 1,2 , 5,2 .A x B C （1）若    , ,L A B L A C ，求 x 的取值范围； （2）当 x R 时，不等式    , ,L A B t L A C  恒成立，求t 的最小值.