2019高三数学（人教A版 文）一轮课时分层训练37 空间几何体的表面积与体积

2019高三数学（人教A版 文）一轮课时分层训练37 空间几何体的表面积与体积

课时分层训练(三十七)　‎ 空间几何体的表面积与体积 ‎ (对应学生用书第207页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)‎ A．　　　　　　 B． C．2π D．4π B　[依题意知，该几何体是以为底面半径，为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V＝π()2×2＝π.]‎ ‎2．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)‎ A． B．4π C．2π D． D　[依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝＝2，解得R＝1，所以V＝R3＝.]‎ ‎3．(2017·浙江高考)‎ 某几何体的三视图如图7210所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)‎ ‎ 【导学号：79170237】‎ 图7210‎ A．＋1 B．＋3‎ C．＋1 D．＋3‎ A　[由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，‎ ‎∴该几何体的体积 V＝×π×12×3＋××××3＝＋1.‎ 故选A．]‎ ‎4．某几何体的三视图如图7211所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是(　　)‎ 图7211‎ A．2 B． C． D．3‎ D　[由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝×(1＋2)×2＝3，‎ ‎∴V＝x·3＝3，解得x＝3.]‎ ‎5．(2016·江南名校联考)一个四面体的三视图如图7212所示，则该四面体的表面积是(　　)‎ 图7212‎ A．1＋ B．2＋ C．1＋2 D．2 B　[四面体的直观图如图所示．侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝，AC＝2.‎ 设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，‎ ‎∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.‎ 又OS＝OB＝1，∴SB＝，‎ 故△SAB与△SBC均是边长为的正三角形，故该四面体的表面积为2×××＋2××()2＝2＋.]‎ 二、填空题 ‎6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．‎ 　[设新的底面半径为r，由题意得 ×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8，‎ ‎∴r2＝7，∴r＝.]‎ ‎7．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．‎ ‎ 【导学号：79170238】‎ ‎ 12　[设正六棱锥的高为h，棱锥的斜高为h′.‎ 由题意，得×6××2××h＝2，‎ ‎∴h＝1，‎ ‎∴斜高h′＝＝2，‎ ‎∴S侧＝6××2×2＝12.]‎ ‎8．某几何体的三视图如图7213所示，则该几何体的体积为________．‎ 图7213‎ π　[由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋×π×12×1＝π.]‎ 三、解答题 ‎9．(2018·福州模拟)已知底面为正方形的四棱锥PABCD，如图(1)所示，PC⊥平面ABCD，其中图(2)为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为4 cm的全等的等腰直角三角形．‎ ‎(1)根据图(2)所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；‎ ‎(2)求四棱锥PABCD的侧面积．‎ 图7214‎ ‎[解]　(1)该四棱锥的俯视图为内含一条对角线，边长为4 cm的正方形，俯视图如图所示，其面积为16 cm2‎ ‎(2)侧面积为2××4×4＋2××4×4＝16＋16 ‎10．如图7215，从正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点中选出的4个点恰为一个正四面体的顶点．‎ 图7215‎ ‎(1)若选出4个顶点包含点A，请在图中画出这个正四面体；‎ ‎(2)求棱长为a的正四面体外接球的半径．‎ ‎[解]　(1)如图所示，选取的四个点分别为A，D1，B1，C．‎ ‎(2)棱长为a的正四面体外接球的半径等于正方体外接球的半径等于正方体对角线长的一半，因为正四面体的棱长a，所以正方体的边长为a ‎，因此外接球的半径为×a＝A．‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图7216所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(　　)‎ 图7216‎ A．1　　　　 B．2　　　　‎ C．4　　　　 D．8‎ B　[如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B．]‎ ‎2．(2018·赣州模拟)在四面体SABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，SA＝AC＝2，AB＝1，则该四面体的外接球的表面积为________. ‎ ‎【导学号：79170239】‎ ‎8π　[设四面体SABC的外接球的半径为r，四面体SABC可看成如图所示的长方体的一部分，则四面体的外接球的球心为SC的中点，∴2r＝SC＝＝＝2，∴r＝，∴该四面体的外接球的表面积S＝8π.‎ ‎]‎ ‎3．一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图7217，已知圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.‎ ‎(1)试确定R与r的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；‎ ‎(2)求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比．‎ 图7217‎ ‎[解]　(1)不妨设球的半径为4；‎ 则球的表面积为64π，圆锥的底面积为12π，‎ ‎∴圆锥的底面半径为2；‎ 由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形 由此可以求得球心到圆锥底面的距离是＝2，‎ 所以圆锥体积较小者的高为4－2＝2，‎ 同理可得圆锥体积较大者的高为4＋2＝6；‎ 又由这两个圆锥的底面相同，‎ ‎∴较大圆锥与较小圆锥的体积之比等于它们高之比，即3∶1‎ ‎(2)由(1)可得两个圆锥的体积和为·π·(2)2·8＝32π，‎ 球的体积为·π·43＝π，‎ 故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为32π∶π＝3∶8‎