2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练25 平面向量基本定理及向量的坐标表示

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练25 平面向量基本定理及向量的坐标表示

课时规范练25　平面向量基本定理及向量的坐标表示 基础巩固组 ‎1.向量a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是(　　)‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　‎ A.e1=(0,0),e2=(1,2) ‎ B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)‎ C.e1=(3,5),e2=(6,10) ‎ D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)‎ ‎2.(2017广东揭阳一模)已知点A(0,1),B(3,2),向量BC=(-7,-4),则向量AC=(　　)‎ A.(10,7) B.(10,5)‎ C.(-4,-3) D.(-4,-1)‎ ‎3.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,2) B.(2,+∞)‎ C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)‎ ‎4.已知平面向量a=(1,-2),b=(2,m),且a∥b,则3a+2b=(　　)‎ A.(7,2) B.(7,-14) C.(7,-4) D.(7,-8)‎ ‎5.已知向量AC‎,AD和AB在正方形网格中的位置如图所示,若AC=λAB+μAD,则λμ=(　　)‎ A.-3 B.3 C.-4 D.4‎ ‎6.在△ABC中,点P在边BC上,且BP=2PC,点Q是AC的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于(　　)‎ A.(-2,7) B.(-6,21)‎ C.(2,-7) D.(6,-21)‎ ‎7.设A1,A2,A3,A4是平面上给定的4个不同点,则使MA‎1‎‎+MA‎2‎+MA‎3‎+‎MA‎4‎=0成立的点M的个数为(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.4〚导学号21500537〛‎ ‎8.(2017福建龙岩一模)已知平面内有三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),且AB‎∥‎AC,则x的值为　　　　　. ‎ ‎9.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=　　　　　. ‎ ‎10.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.‎ ‎11.‎ 如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知AM=c,AN=d,则AB=　　　　　　　　　　,AD=　　　　　　　.(用c,d表示) ‎ ‎12.(2017湖南模拟)给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为‎2π‎3‎.如图所示,点C在以O为圆心的AB上运动.若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,则x+y的最大值为　　　　　. ‎ 综合提升组 ‎13.(2017河北武邑中学一模,理7)在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边BC上的动点,且|AB|=3,|AC|=4,AD=λAB+μAC(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,|AD|的值为(　　)‎ A.‎7‎‎2‎ B.3 C.‎5‎‎2‎ D.‎‎12‎‎5‎ ‎14.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且BC=3CD,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎1‎‎2‎ B.‎‎0,‎‎1‎‎3‎ C.‎-‎1‎‎2‎,0‎ D.‎‎-‎1‎‎3‎,0‎ ‎15.设O在△ABC的内部,且有OA+2OB+3OC=0,则△ABC的面积和△AOC的面积之比为(　　)‎ A.3 B.‎5‎‎3‎ ‎ C.2 D.‎3‎‎2‎〚导学号21500538〛‎ ‎16.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则向量a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为　　　　　. ‎ 创新应用组 ‎17.(2017辽宁大连模拟)在△ABC中,P是BC边的中点,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若cAC+aPA+bPB=0,则△ABC的形状为(　　)‎ A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形,但不是等边三角形 ‎18.(2017全国Ⅲ,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为(　　)‎ A.3 B.2‎2‎ ‎ C.‎5‎ D.2〚导学号21500539〛‎ 参考答案 课时规范练25　平面向量基本 定理及向量的坐标表示 ‎1.B　由题意知,A选项中e1=0;C,D选项中的两个向量均共线,都不符合基底条件,故选B.‎ ‎2.C　由点A(0,1),B(3,2),得AB=(3,1).‎ 又由BC=(-7,-4),得AC‎=AB+‎BC=(-4,-3).故选C.‎ ‎3.D　由题意,得向量a,b不共线,则2m≠3m-2,解得m≠2.故选D.‎ ‎4.B　因为a∥b,所以m+4=0,‎ 所以m=-4.‎ 所以b=(2,-4).‎ 所以3a+2b=(7,-14).‎ ‎5.A　设小正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则AC=(2,-2),AB=(1,2),AD=(1,0).由题意,得(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0),即‎2=λ+μ,‎‎-2=2λ,‎解得λ=-1,‎μ=3,‎所以λμ=-3.故选A.‎ ‎6.B　如图,BC=3PC=3(2PQ‎-‎PA)=6PQ-3PA=(6,30)-(12,9)=(-6,21).‎ ‎7.B　设M(x,y),Ai=(xi,yi)(i=1,2,3,4),‎ 则MAi=(xi-x,yi-y).‎ 由‎∑‎i=1‎‎4‎MAi=0,‎ 得x‎1‎‎+x‎2‎+x‎3‎+x‎4‎-4x=0,‎y‎1‎‎+y‎2‎+y‎3‎+y‎4‎-4y=0,‎ 即x=‎1‎‎4‎(x‎1‎+x‎2‎+x‎3‎+x‎4‎),‎y=‎1‎‎4‎(y‎1‎+y‎2‎+y‎3‎+y‎4‎),‎ 故点M只有1个.‎ ‎8.1　由题意,得AB=(3,6),AC=(x,2).‎ ‎∵AB‎∥‎AC,‎ ‎∴6x-6=0,解得x=1.‎ ‎9.‎5‎　|b|=‎2‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎‎=‎‎5‎.‎ 由λa+b=0,得b=-λa,‎ 故|b|=|-λa|=|λ||a|,‎ 所以|λ|=‎|b|‎‎|a|‎‎=‎5‎‎1‎=‎‎5‎.‎ ‎10.(-1,1)或(-3,1)　由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或a+b=(-1,0),故a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).‎ ‎11.‎2‎‎3‎(2d-c)　‎2‎‎3‎(2c-d)　设AB=a,AD=b.‎ 因为M,N分别为DC,BC的中点,‎ 所以BN‎=‎‎1‎‎2‎b,DM‎=‎‎1‎‎2‎a.‎ 又c=b+‎1‎‎2‎a,‎d=a+‎1‎‎2‎b,‎ 所以a=‎2‎‎3‎(2d-c),‎b=‎2‎‎3‎(2c-d),‎ 即AB‎=‎‎2‎‎3‎(2d-c),AD‎=‎‎2‎‎3‎(2c-d).‎ ‎12.2　以O为坐标原点,OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,‎ 则A(1,0),B‎-‎1‎‎2‎,‎‎3‎‎2‎.‎ 设∠AOC=αα∈‎‎0,‎‎2π‎3‎,‎ 则C(cos α,sin α).‎ 由OC=xOA+yOB,‎ 得cosα=x-‎1‎‎2‎y,‎sinα=‎3‎‎2‎y,‎ 所以x=cosα+‎3‎‎3‎sinα,‎y=‎2‎‎3‎‎3‎sinα,‎ 所以x+y=cos α+‎3‎sin α ‎=2sinα+‎π‎6‎.‎ 又α∈‎0,‎‎2π‎3‎,‎ 所以当α=π‎3‎时,x+y取得最大值2.‎ ‎13.C　因为AD=λAB+μAC,而D,B,C三点共线,所以λ+μ=1,‎ 所以λμ≤λ+μ‎2‎‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎,‎ 当且仅当λ=μ=‎1‎‎2‎时取等号,此时AD‎=‎1‎‎2‎AB+‎‎1‎‎2‎AC,‎ 即D是线段BC的中点,‎ 所以|AD|=‎1‎‎2‎‎|‎BC|=‎5‎‎2‎.故选C.‎ ‎14.D　依题意,设BO=λBC,其中1<λ<‎4‎‎3‎,则AO‎=AB+BO=‎AB+λBC‎=‎AB+λ(AC‎-‎AB)‎ ‎=(1-λ)AB+λAC.‎ 又AO=xAB+(1-x)AC,且AB‎,‎AC不共线,‎ 所以x=1-λ∈‎-‎1‎‎3‎,0‎,‎ 即x的取值范围是‎-‎1‎‎3‎,0‎.故选D.‎ ‎15.A　设AC,BC的中点分别为M,N,则OA+2OB+3OC=0可化为(OA‎+‎OC)+2(OB‎+‎OC)=0,即OM+2ON=0,所以OM=-2ON.‎ 所以M,O,N三点共线,即O为中位线MN的三等分点,‎ 所以S△AOC=‎2‎‎3‎S△ANC=‎2‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎S△ABC=‎1‎‎3‎S△ABC,所以S‎△ABCS‎△AOC=3.‎ ‎16.(0,2)　∵向量a在基底p,q下的坐标为(-2,2),‎ ‎∴a=-2p+2q=(2,4).‎ 令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),‎ 所以‎-x+y=2,‎x+2y=4,‎解得x=0,‎y=2,‎ 故向量a在基底m,n下的坐标为(0,2).‎ ‎17.A　如图,由cAC+aPA+bPB=0,得c(PC‎-‎PA)+aPA-bPC=(a-c)PA+(c-b)PC=0.∵PA与PC为不共线向量,∴a-c=c-b=0,‎ ‎∴a=b=c.‎ ‎18.A　建立如图所示的平面直角坐标系,‎ 则A(0,1),B(0,0),D(2,1).‎ 设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=‎|BC|·|CD|‎‎|BD|‎‎=‎2×1‎‎5‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎,‎ 即圆的方程是(x-2)2+y2=‎4‎‎5‎.‎ 易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).‎ 由AP=λAB+μAD,‎ 得x=2μ,‎y-1=-λ,‎ 所以μ=x‎2‎,λ=1-y,‎ 所以λ+μ=‎1‎‎2‎x-y+1.‎ 设z=‎1‎‎2‎x-y+1,‎ 即‎1‎‎2‎x-y+1-z=0.‎ 因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=‎4‎‎5‎上,‎ 所以圆心C到直线‎1‎‎2‎x-y+1-z=0的距离d≤r,‎ 即‎|2-z|‎‎1‎‎4‎‎+1‎‎≤‎‎2‎‎5‎‎5‎,解得1≤z≤3,‎ 所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.‎